例說新課程理念下高中數(shù)學(xué)變式作業(yè)設(shè)計問題

宮興榮

[摘 ?要：所謂變式作業(yè)，是指對課堂教學(xué)中的內(nèi)容和例題進(jìn)行有目的、有計劃的一種延伸，是提高高中數(shù)學(xué)成績最有效的作業(yè)方式之一。變式作業(yè)作為一種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計方式，已為廣大數(shù)學(xué)教師所熟悉，傳統(tǒng)的變式作業(yè)一般以“一題多變”或者“一題多解”的形式出現(xiàn)，因其能夠很好地訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，歷來為廣大一線教師所青睞。

關(guān)鍵詞：新課程;數(shù)學(xué)作業(yè);變式設(shè)計]

變式作業(yè)就是以學(xué)生課堂上所學(xué)的知識和例題為基礎(chǔ)，緊密圍繞課堂教學(xué)目標(biāo)開展的活動，通過改變例題中的條件或者結(jié)論而重新編制的新題目作為學(xué)生的課后作業(yè)。變式作業(yè)主要是為了強(qiáng)化對知識的理解，提高對概念的理解、推理論證、抽象概括、空間想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)處理等能力。下面以筆者教學(xué)過程中的兩個案例為例說明變式作業(yè)的好處。

案例一：筆者在執(zhí)教人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線和方程》過程中在講完橢圓的方程一節(jié)后，針對課書例3和練習(xí)題第3題的變式作業(yè)。

附：例3：點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交與點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-[49]，試求點(diǎn)M的軌跡方程。

例3：在教學(xué)的過程中主要目的是要求學(xué)生掌握直接法求軌跡方程的步驟，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力，筆者從課堂教學(xué)來看，此例題的設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過最后求出的軌跡方程學(xué)生對橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程有了更深層次的理解。筆者對例3的變式作業(yè)設(shè)計如下：

作業(yè)1.1：點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交與點(diǎn)M，且它們的斜率之積是[49]，試求點(diǎn)M的軌跡方程。

設(shè)計目的：作業(yè)1.1與例3的區(qū)別在于條件中[49]與-[49]的區(qū)別，它們應(yīng)該屬于同一種類型的題，是對直接法求軌跡方程的直接應(yīng)用，從學(xué)生的作業(yè)反饋看效果很好。

作業(yè)1.2：點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交與點(diǎn)M，且它們的斜率之積是[b2a2]，求點(diǎn)M的軌跡方程。

設(shè)計目的：首先是數(shù)字向字母的一個轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的字母運(yùn)算能力，其次是對橢圓軌跡方程的進(jìn)一步的理解和掌握。

作業(yè)1.3：點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交與點(diǎn)M，且它們的斜率之積是k（k[≠]0），則點(diǎn)M的軌跡方程是[x2a2-y2ka2=1x≠±a]。

可以看到變式二高度概括了變式一的兩種情形，甚至包括當(dāng)[k=-1]時軌跡為圓方程的情形。而且當(dāng)[k<0]時，A，B是否為橢圓的長軸或短軸視k而定。接下去我們考慮點(diǎn)A，B在y軸上的情形。

結(jié)論：在軌跡是橢圓方程中，點(diǎn)A，B可能是橢圓的長軸也可能是短軸，但在雙曲線方程中，點(diǎn)A，B就是雙曲線實(shí)軸的頂點(diǎn)。

思考：如果把以上變式看做是原命題的話。那么它的逆命題是否成立呢？即已知雙曲線方程和雙曲線上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，它們的斜率乘積滿足什么條件呢？

俗話說溫故而知新，學(xué)過的知識需要不斷地加以應(yīng)用和鞏固提升。

案例二：筆者在執(zhí)教人教A版必修5第二章《數(shù)列》過程中在講完等差數(shù)列的性質(zhì)一節(jié)后，針對等差數(shù)列的性質(zhì)的變式作業(yè)。

附：課堂上給學(xué)生講等差數(shù)列的條性質(zhì)：

等差數(shù)列an中，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，①[d=an-amn-m];②若[m+n=p+q]，則[am+an=ap+aq];③數(shù)列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n……也成等差數(shù)列。

筆者在教學(xué)過程中對這三個性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生做了推導(dǎo)，并進(jìn)行了相應(yīng)題目的訓(xùn)練，課堂上學(xué)生對這三個性質(zhì)的應(yīng)用不是非常的熟練，所以在留作業(yè)時由易到復(fù)雜的順序。

作業(yè)1：

（1）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3+a4+a5=12，則a1+a2+……+a7等于 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9等于 ? ? ? ? ? ? ? 。

作業(yè)2：

（1）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前3m項(xiàng)和為90，則它的前2m項(xiàng)和為 ? ? ? ? ? ? ? 。

案例三：筆者在執(zhí)教人教A版必修5第三章《不等式》過程中在講完基本不等式一節(jié)后，針對利用基本不等式求函數(shù)的最值和值域的變式作業(yè)。

這次的作業(yè)主要是為了強(qiáng)化解法而設(shè)計的作業(yè)，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)的過程中經(jīng)常說通法通解，這些最基本的方法必須掌握，對重點(diǎn)內(nèi)容必須強(qiáng)化解決。因此本節(jié)課后作業(yè)就是通法的再次運(yùn)用。

附：課堂例題 ?已知函數(shù)[fx=x+4x]，[x∈][1，2]，求函數(shù)f（x）的最值。

課堂上師生探討了兩種解法，一種是基本不等式的應(yīng)用，一種是利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

作業(yè)1：已知函數(shù)[fx=x+4x]，[x∈][1，4]，求函數(shù)f（x）的最值。

作業(yè)2：已知函數(shù)[fx=x+ax][a>0]，[x∈][1，2]，求函數(shù)f（x）的最值。

這些作業(yè)由簡單到復(fù)雜，引入了參數(shù)的討論，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，題量不多但思維量特別大，提高了作業(yè)的鞏固效果。

總之，變式設(shè)計作業(yè)時一定要與課堂教學(xué)內(nèi)容、題目緊密相聯(lián)系，對學(xué)生的知識和能力要有充分的估計，一定要題量適中，符合學(xué)生的學(xué)情，便于學(xué)生開展思維能力的訓(xùn)練，達(dá)到應(yīng)有的效果。

（本文系2018年白銀市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《新課程理念下高中數(shù)學(xué)作業(yè)優(yōu)化策略的實(shí)踐研究》階段性研究成果，課題批準(zhǔn)號：BY【2018】G364）