在探索規律中培養合情推理能力

余慧

合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等方式推斷出某些新結果的思維。如何在探索規律中培養學生的合情推理能力呢？筆者結合蘇教版小學數學五年級（上冊）《釘子板上的多邊形》一課的實例，具體論述學生合情推理能力的培養。

呈現有效素材，提供歸納基礎

合情推理的實質是從發現到猜想，教學時應為學生提供有效的素材，營造可進行合情推理的氛圍，幫助學生在歸納中發現并產生猜想。 給學生呈現有效的素材時應注意三點：提供結構關系相同或規律明顯的同類材料;提供的材料數量不少于3個;提供的材料蘊含的關系或呈現的規律，學生能夠探索獲得且具有推廣價值。“釘子板上的多邊形”課伊始就呈現了有效的素材，為學生提供了歸納的基礎。教材先呈現了4個內部是1個釘子的多邊形，學生數多邊形邊上釘子數，計算多邊形的面積。然后根據數據展開猜想發現探索方向——多邊形的面積與邊上釘子數有關系。接著，教師引導學生歸納：多邊形邊上的釘子數越多，面積就越大;多邊形的面積數是其邊上釘子數的一半，多邊形的共同特點是內部都只有一枚釘子……提供的這些關系結構相同的多邊形，便于學生從“多”中求同，歸納有效結論發展猜想。第二次探索安排學生在釘子板上圍出內部有2枚釘子的不同多邊形，再次呈現多個關系結構相同的材料，營造氛圍幫助學生歸納獲得有價值的規律。

整理表格數據，引發類比思考

類比是根據兩個不同對象的某些類似屬性，猜測它們在其他方向也可能有類似屬性的推理。類比推理的基礎是比較，關鍵是遷移。利用表格整理數據，把數據和思想結合有助于類比推理的展開。通過整理表格數據，凸顯已經解決問題和有待解決問題之間的關系，比較兩者之間的關系，學生遷移出有待解決的問題也可能具有類似的屬性，進而類比解決有待解決的問題。圖形內有1枚或2枚釘子這兩個環節思維方式都是歸納推理;圖形內有3枚或4枚釘子的這兩個環節，思維方式則不同，是類比推理。研究圖形內有3枚或4枚釘子的情況，學生整理表格對比數據，發現內部有1枚或2枚釘子的圖形面積S=n÷2、S=n÷2+1和內部有3枚、4枚釘子的圖形面積之間的內在聯系，悟出“圖形內部的釘子數增加1，圖形面積也隨之遞增1”的變化趨勢。再次類比推理得出S=n÷2+2、S=n÷2+3、S=n÷2-1。

引導表達思路，明確推理方法

引導學生運用數學語言有依據地進行討論和質疑，并清楚地表達自己的推理過程和結論，是培養合情推理能力的重點。教師應盡量為學生提供說的機會，注意表達語言的規范性和完整性，會用數學語言正確、清晰、簡明地表達推理思路。在學生分析內部只有1枚釘子的4個多邊形的面積數據后，鼓勵學生用規范的句式表達：“當圖形①的面積是2平方厘米，邊上的釘子數是4;當圖形②的面積是3平方厘米，邊上的釘子數是6……所以這些圖形面積的平方厘米數是邊上釘子數的一半。”引導學生討論并質疑：“這個規律對釘子板上所有的圖形都成立？”“這些圖形有什么共同特點？”學生注意圖形內部的釘子數，發現共同的前提條件是“圖形內部只有1枚釘子”。“誰能把剛才的規律完整地說一說？”逐步提高表達要求，用字母表示規律：“如果圖形內只有1枚釘子，那么它的面積的平方厘米數是它邊上釘子數的一半。你能用字母式子表示這個規律嗎？”掌握了方法之后，第二個規律的表達更加清晰：“當圖形內有2枚釘子時，它的面積的平方厘米數都比它邊上釘子數的一半多1，那么S=n÷2+1。”（如圖）如此完整一環扣一環地表達推理思路，不僅體現學生思維的條理性、邏輯性，更明確了合情推理的一般方法。

促進思維品質提升

合情推理看似合理，結論好像應該是正確的，但事實上并不一定正確。怎樣才能讓小學生體會合情推理的局限性呢？教師需引導學生通過歸納、類比等數學活動獲得的猜想，再驗證猜想反思解決問題的途徑和結論的合理性，把合情推理和演繹推理綜合應用。組織探索規律的活動，大致要經歷進入情境、產生猜想、發現規律、表達規律、回顧反思這些過程，這個過程不僅豐富了合情推理，也引進了演繹推理。類比推理得出S=n÷2+2、S=n÷2+3、S=n÷2-1之后，讓學生在小組里說說自己的想法，接著圍圖形、算面積進行驗證，這里就需要演繹推理。回顧探索這個環節也同樣要應用演繹推理。教師設計系列追問，激發深度思考：你借助了怎樣的特殊事例解決問題？你解決問題的依據是什么，是否科學？你所得出的結論能否推廣到其他情境？你能說明解決問題的過程和結論的合理性？在合情推理過程中能主動質疑，積極求證，學生才能辯證地看待合情推理與演繹推理，并把兩者綜合應用，共同促進思維品質的提升。

“探索規律”的過程是培養合情推理能力的良好載體。呈現有效素材、整理表格數據、引導表達思路、兩種推理綜合是培養合情推理能力的有效途徑。

（作者單位：福建省寧德市古田縣教師進修學校）