B樣條曲面構建算法設計與實現

李博 吳麗娟 韓松 焦興強 吉登清

摘 要：本文重點介紹了B樣條曲面的基本概念、性質和分類，主要研究B樣條曲面的基本原理和構建算法的實現，通過對B樣條基函數進行詳細研究，引入兩個參數后，能更加靈活地調整曲線。最后，基于OpenGL生成兩片均勻B樣條曲面，并給出了運行結果。

關鍵詞：B樣條曲線;B樣條曲面;曲面構建

中圖分類號：TP391.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2019）02-0014-03

Design and Implementation of B-spline Surface Construction Algorithm

LI Bo1 WU Lijuan1 HAN Song1 JIAO Xingqiang1 JI Dengqing2

（1.Shenyang Normal University，Shenyang Liaoning 110034;2.Wuyi University，Jiangmen Guangdong 529030）

Abstract： This paper focused on the basic concept， properties and classification of B-spline surface. It mainly studied the basic principle of B-spline surface and the realization of its construction algorithm. Through the detailed study of B-spline basis function， the curve could be adjusted more flexibly by introducing two parameters. Finally， two uniform B-spline surfaces were generated based on OpenGL， and the running results were given.

Keywords： B-spline curve;B-spline surface;surface construction

目前，人們的生產和生活越來越受到計算機圖形學的影響，計算機圖形學不斷影響每一個使用計算機的人。計算機輔助幾何設計（CAGD）是一種伴著船舶、汽車、飛機等現代制造工業而興起的應用學科，其與計算機圖形學有著密不可分的聯系。計算機圖形學中較常用的曲線曲面有插值曲線曲面、Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面和非均勻有理樣條曲線曲面等。B樣條曲線曲面有著良好的局部性質，因此，在工程設計中得到了越來越廣泛的應用[1-5]。

1 B樣條曲線曲面

1.1 B樣條曲線的優點

Bezier曲線具有諸多優越性，但也存在不足：①特征多邊形頂點數決定了其階次數，當[n]較大時，不僅計算量增大，穩定性降低，而且控制頂點對曲線的形狀控制減弱;②不具有局部性，即修改一控制點對曲線產生全局性影響。

1972年，Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數，從而改進上述缺點。首先，B樣條曲線比Bezier曲線更貼近控制多邊形，且更光滑，其基函數的多項式次數可根據需要給定。其次，B樣條曲線能對曲線進行局部修改，由于B樣條曲線是分段構成的，所以控制多邊形的頂點對曲線的控制靈活而直觀。修改某一控制點只會引起與該控制點相鄰近的曲線形狀發生變化，遠處的曲線形狀不受影響，這使得B樣條廣泛應用于交互式自由曲線曲面的設計[6-10]。

1.2 B樣條曲線的定義

B樣條曲線定義如下：

[P（t）=i=0nPiNi（t），tmin≤t≤tmax，2≤k≤n+1] ? ? ? ? ?（1）

其中，[Pi]是控制多邊形的頂點集;[i]是大于0的整數，是B樣條的序號;[k]表示B樣條的冪次;[Pi]是B樣條曲線的[n+1]個控制頂點的頂點集。將各個控制頂點順序連線形成的折線圖形稱為控制多邊形。[Ni，k（t）]是定義在節點矢量[T]上的[k]次B樣條基函數，用[Ni，k（t）]表示第[i]個[k]次（[k+1]）階B樣條基函數，是由節點矢量的參數序列[T：t0≤t1≤...≤ti+k+1]所決定的[k-1]次分段多項式樣條。參數[t]的取值構成一個非遞減的參數序列[T]，被稱為節點向量。任意一個控制點最多只能影響[k]段曲線的形狀。

1.3 B樣條曲面的定義

B樣條曲面由B樣條曲線拼接而成，是通過兩個方向的控制頂點網格、兩個節點矢量和單變量的B樣條基函數的乘積來定義。一塊[m×n]次張量積B樣條曲面片，其方程為：

[Pu，v=i=0mj=0nPijNi，puNj，qv] ? ? ? ? ? ?（2）

其中，節點矢量[u]中含有[m+1]個節點，節點矢量[v]中含有[n+1]個節點，此時就構成一張控制網格，稱為B樣條曲面的特征網格。[Ni，pu]和[Nj，qv]是節點向量[u]和[v]按de Boor-Cox遞推公式決定的B樣條混合函數。

1.4 B樣條曲面的性質

①嚴格的凸包性。如果[Pt]位于控制頂點所建立的凸包內，曲線嚴格位于控制多邊形的凸包內（見圖1）。

②分段參數多項式。[Pt]在每個區間上都是次數不高于[k-1]次的多項式。

③可微性與連續性。[Pt]在每一曲線段內部是無限可微的，在定義域內重復度為[k]的節點處，則使[p-k]次可微或具有[p-k]階參數連續性。

④幾何不變性。B樣條曲線的形狀和位置與坐標系的選取無關。

⑤局部可調性。如果改變某個控制頂點的位置，只會影響那個頂點所對應的曲線段，對其他部分曲線沒有影響;同理，如果想改變某一段曲線的形狀，只需要改變對應的控制頂點，與其他頂點無關。

⑥近似性。在控制頂點不共線的情況下，當次數越高時，這組控制頂點所對應的B樣條曲線越光滑。

1.5 曲面的分類

B樣條曲面由一系列曲線拼接而成，在分類上同樣按照節點矢量分為三類：均勻B樣條曲面、準均勻B樣條曲面和非均勻B樣條曲面。

①均勻B樣條曲面，節點矢量[u，v]滿足條件：

[Δui=ui+1-ui=const>0，i=k，...，m+k] ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

[Δvj=vj+1-vj=const>0，j=1，...，n+l] ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

②準均勻B樣條曲線，節點矢量[u，v]滿足條件：

[u0=...=uk，um+1=...=um+k+1，Δui=ui+1-ui=const>0，i=k，...，m] ? ? ? ? （3）

[v0=...=v1，vn+1=vn+j+1，Δvj=vj+1-vj=const>0，j=1，...，n] ? ? ? ? ?（4）

③非均勻B樣條曲面。對于這種類型的B樣條曲面，只要節點矢量滿足以下條件即可：節點序列非遞減;兩端節點的重數小于等于次數+1，內節點的重數小于等于次數。

2 B樣條曲面的構建

2.1 算法設計

三次B樣條曲面是由三次B樣條曲線拓廣而來，以兩組正交的三次B樣條曲線控制點構造空間網格來生成曲面。給定了36個控制點，通過給定的控制點生成一個6×6的網格，對B樣條曲面基函數進行算法設計，分別從[u]向和[v]向進行賦值，讓控制點與基函數相乘求和，從而生成對應的型值點，連接型值點，通過編程進行循環操作，進而生成B樣條曲面。

2.2 算法實現

[k×l]階B樣條曲面[Pt，s]定義為：

[Pt，s=i=0nj=0mPijNi，ktNj，ts] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[tk-1≤t≤tn+1，st-1≤s≤st+1] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中，[Pij0≤i≤n，0≤j≤m]為控制頂點，[Ni，kt]和[Nj，ts]分別為[k]階和[l]階B樣條基函數。節點向量為[T1]和[T4]，[T4]：[0，0，...，0t，st，...，sm，1，...，1t]。

設在t方向上擴展曲面[P（t，s）]到[m+1]目標點[Pn+1，j，j=0，1，...m]。設[P（t，s）]中沿t方向的[m+1]條B樣條曲線為：

[Pjt=i=0nPijNikt，j=0，1...，m] ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

設與[Pjt]相應的第[j]條擴展曲線為[Qjt]，與[Qjt]相應[a]為[aj]，則與目標點[Pn+1j（j=0，1，...m）]相應的節點值為所有[a（j=0，1，...m）]的加權平均，即

[u=1+1m+1j=0maj] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

三次B樣條曲線的矩陣表達式：

[Pt=t3t2t1?16?-13-313-630-30301410?P0P1P2P3=T?MB?MG] ? ? ? ? ?（8）

其中，[MB]為三次B樣條曲線的系數矩陣，[MG]為幾何矩陣，為四個控制點的位置矢量。三次B樣條曲面時由三次B樣條曲線拓廣而來，以兩組正交的三次B樣條曲線控制點構造空間網格來生成曲面。依次用線段連接點列[Pi，ji=0，1，2，3;j=0，1，2，3]中相鄰兩點所形成的空間網格稱為控制網格。三次B樣條曲面的定義為：

[Pu，v=i=03j=03pijNi，3uNj，3v]，[u，v∈0，1×0，1] ? ? ? （9）

[Pu，v=N0，3（u）N1，3（u）N2，3（u）N3，3（u）?P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，0P1，2P1，3P2，0P2，0P2，2P2，3P3，0P3，0P3，2P3，3?N0，3（v）N1，3（v）N2，3（v）N3，3（v）] ? ? ? ? ? ?（10）

其中，[N0，3u]，[N1，3u]，[N2，3u]，[N3，3u]，[N0，3v]，[N1，3v]，[N2，3v]，[N3，3v]是三次B樣條基函數。

[N0，3u=16-u3+3u2-3u+1N1，3u=163u3-6u2+4N2，3u=16-3u3+3u2+3u+1N3，3u=16u3]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[N0，3v=16-v3+3v2-3v+1N1，3v=163v3-6v2+4N2，3v=16-3v3+3v2+3v+1N3，3v=16v3] ? ? ? ? ? ? ? （11）

將式（10）代入式（11）得：

[Pu，v=136?u3u2u1?-13-313-630-30301410?P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，1P1，2P1，3P2，0P2，1P2，2P2，3P3，0P3，1P3，2P3，3?-13-313-604-33311000?v3v2v1] （12）

三次B樣條曲面的矩陣表示為

[Pu，v=U?Mb?P?MTb?VT] ? ? ? ? ? ? （13）

其中：

[U=u3u2u1] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

[V=v3v2v1] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

[Mb=16?-13-313-630-30301410] ? ? ? ?   ? ? ? ? ? （16）

[P=P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，1P1，2P1，3P2，0P1，2P2，2P2，3P3，0P1，3P3，2P3，3] ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

2.3 運行結果分析

三次B樣條曲面是由三次B樣條曲線交織而成。曲面生成時可以先固定[u]，變化[v]得到一簇三次B樣條曲線;然后固定[v]，變化[u]得到另一簇三次B樣條曲線。與三次B樣條曲線相似，雙三次B樣條曲面一般情況下不通過控制網格的任何頂點。

3 結論

本文就B樣條曲線、曲面的定義、性質、分類以及算法等相關知識進行了全面系統的介紹，基于B樣條曲面方程，通過計算B樣條曲線的節點矢量以及B樣條基函數等，能夠得到曲面上的任意一點并生成B樣條曲面。

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