混雜隨機系統基于離散時間狀態觀測的幾乎必然指數鎮定

余珮琳　崔瑤　程培*

摘??? 要：基于離散時間狀態觀測，研究混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定.在擴散項和漂移項中同時加入反饋控制器，通過選取適當的Lyapunov函數，利用Markov鏈的平穩分布和穩定性分析的方法，得到混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定，再通過含有線性反饋控制器系統的穩定性來說明所得結果的可行性.

關鍵詞：混雜隨機系統;離散時間觀測;Lyapunov函數;幾乎必然指數鎮定;p階矩指數穩定

中圖分類號：O231????????????????? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.02.017

0?引言

隨機系統，是一類受隨機因素作用的時間過程的數學模型.由于實際系統中不可避免的存在隨機因素，且很多實際系統也無法避免它的影響.因此在很多領域及工程實際應用中，隨機系統得到廣泛的應用，隨機系統的理論也得到學者廣泛關注[1-2].其中重要的一類是混雜隨機微分方程，也被稱為帶有Markov切換的隨機微分方程.

近年來，越來越多的學者研究了混雜隨機系統的鎮定性[3-5]，但是大多數學者研究的是其p階矩指數鎮定和均方指數鎮定[6-9].考慮到連續時間觀測費時費力，所以研究者通常采取對系統進行離散時間觀測的方法.而反饋控制依賴離散時間觀測值導致控制系統成為一個特殊的混雜隨機微分方程.在公開的文獻資料中，研究這類離散時間狀態反饋控制的文獻非常少，文獻[10]中毛學榮老師首次對這方面開展相關研究.該研究基于離散時間觀測，考慮加入混雜隨機微分方程漂移項的狀態反饋控制函數[u（x（t/τ）τ，? r（t） ，? t）]，使得系統達到均方指數鎮定.文獻[11]在此基礎上做了改進，使得系統的鎮定估計更加準確.后來又有一些學者在此基礎上研究了系統的幾乎必然指數鎮定，如文獻[12]研究了混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定和不鎮定.文獻[13-14]利用M-矩陣的相關性質研究混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定.

本文將繼續研究隨機混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定，不同于文獻[13-14]的是本文運用Markov切換的平穩分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等隨機分析技巧，得到系統幾乎必然指數鎮定的條件，即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]，很顯然本文得到的條件保守性更小.最后通過含有線性反饋控制器系統的穩定性來說明所得結果的可行性.

1?準備知識

本文采用以下記號：記[（Ω， F， Ftt≥0， P）]為含有滿足通常條件的代數流[Ftt≥0]的完備概率空間.令[B（t）=（B1（t）， B2（t）， …， Bm（t））T]為定義在該空間上的m維布朗運動.對于[x∈?n]，[x]表示其歐幾里得范數.令[r（t）（t≥0）]為定義在概率空間上取值于有限狀態空間[S=（1， 2， …， N）]的右連續Markov鏈，滿足

[Ρr（t+δ）=jr（t）=i=γijδ+o（δ） ，??? ??? if? i≠j，1+γiiδ+o（δ） ， if? i=j.]

其中，[δ>0]且[γii=-Σj≠iγij]，[o（δ）]為無窮小量，[γij≥0]表示從[i]到[j]的轉移概率.記[Γ=（γij）N×N]，[Γ]是一個[N×N]的常數轉移矩陣.假定Markov鏈[r（?）]是不可約的.[π=（π1 ， π2 ， …， πm）∈?1×N]為平穩分布.另外，對[j∈S]，當[πj>0]及[∑πj>0]，有[π Γ=0].

在[t≥0]上，考慮以下閉環系統

[dx（t）=f（x（t） ，? r（t） ，? t）dt+u（x（[tτ]τ） ，? r（[tτ]τ） ，? t）dB（t）].????????? （1）

[x0∈?n]為系統（1）的初始狀態，[x（t;t0，x0）]為系統（1）的唯一解.[f：?n×S→?n]，[u：? ?n×S→?n×m].當[τ→0]時，上述系統（1）轉變成以下相關的混雜隨機系統

[dy（t）=f（y（t） ，? r（t）， t）dt+u（y（t） ，? r（t）， t）dB（t）].????????????????? （2）

[y0∈?n]為系統（2）的初始狀態，[y（t ;? t0 ，? x0）]為系統（2）的唯一解.

對于隨機混雜系統（1）假設以下條件都成立.

假設1.1? 存在正常數[K1]和[K2]，[?（x ，? y ，? i）∈?n×?n×S]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤K1x-y]， [u（x， i， t）-u（y， i， t）≤K2x-y].

假設1.2? 存在常數[αi∈?，ρi≥0]和[σi≥0]，使得：

[xTf（x， i， t）≤αix2]， [u（x， i， t）≤ρix]， [xTu（x， i， t）≥σix2]，

[?i∈S，?x∈?n].令[α=maxi∈Sαi]，[ρ=maxi∈Sρi].

假設1.3? 對于假設1.2中的常數[αi]，[ρi]，[σi] 及平穩分布[πi]，有以下式子成立

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

定義1.1? 若對[?x∈?n]，都有

[limt→∞sup（1/t）logx（t; t0， x0）<0， a.s].

則稱方程（1）的解幾乎必然指數穩定.

2?主要結果

在證明主要定理之前，先給出以下引理.

引理2.1[2]? 對于線性方程

[Γc=η]，?????????????????????????????????? （3）

其中[c、η∈?m]，[Γ]是一個[n×n]的常數轉移矩陣，有以下結論成立：

1）當且僅當[πη=0]時，方程（3）有解，其中[π]是關于[Γ]的平穩分布;

2）記[Im]是所有元素均為1的m維列向量，假設[c]與[c]是方程（3）的兩個解，則[c-c=γ0Im，?γ0∈?];

3）[c=γ0Im+h0]為方程（3）的任意解，[γ0∈?]且[h0∈?m]是方程（3）滿足[πh0=0]的唯一解.

引理2.2?? 由引理2.1知方程[Γc=v+βIm]有解[c=（c1， c2， …， cm）∈?m]， 其中，[v=（v1， v2， …， vm）T∈?m]，[β=-πv].

證? 定義列向量[v=（v1， v2， …， vm）T∈?m]，其中[vi=αi+12ρ2i-σ2i]，

令[β=-πv]，則[β=-Σi=1mπi（αi+12ρ2i-σ2i）>0].證畢.

令[cmin=min{ci}]，[cmax=max{ci}].

引理2.3? 若假設1.1—假設1.3成立，則對于[?（x0，r0）∈?n×S]，[?p∈（0，1）]及[γ>0]，混雜隨機系統（1）的解滿足

[Εy（t; x0， r0）p≤Mx0pe-γpt， ?t≥0]，

其中[M=1-pcmin1-pcmax].

證? 由引理2.2可知：

[vi-Σj=1Nγijcj=-β].?????????????????????????????????? （4）

故存在充分小的[p∈（0， 1）]，使得對[?i∈S]，下面兩式同時成立：

[1-pci>0]，???????????????????????????????????? （5）

[β-pσ2i2+Σj=1Nγijcjcip1-pci>0].???????????????????????????? （6）

由式（4）知

[Σj=1Nγij1-pcjp（1-pci）=-（Σj=1Nγijcj+Σj=1Nγijcjcip1-pci）].??????????????????? （7）

定義Lyapunov函數

[V（y， t， i）=（1-pci）eγptyp].

其中[γ=mini∈Sγi]，[γi=β+Σj=1Nγijcjcip1-pci-p2σ2i]，由式（6）知[γ>0].

簡記[y（t; x0， r0）=y（t）]，由Dynkin’s公式可得：

[ΕV（y（t）， t， r（t））=V（x0， 0， r（0））+Ε0tLV（y（s）， s， r（s））ds， t≥0]?????????????? （8）

其中，

[LV=pγ（1-pci）eγptyp+p（1-pci）eγptyp-2yTf（y， i， t）+ ? 12p（1-pci）eγptyp-2u（y， i， t）2-p（2-p）2（1-pci）eγptyp-4yTu（y， i， t）2+ ? Σj=1Nγij（1-pcj）eγptyp.]

由假設1.2、式（4）和式（7）可得：

[LV≤p（1-pci）eγptyp（γ+αi+12ρ2i-σ2i+p2σ2i-Σj=1Nγijcj-Σj=1Nγijcjcip1-pci）≤ ?? p（1-pci）eγptyp（γ-β-Σj=1Nγijcjcip1-pci+p2σ2i）≤0.]

代入式（8）中有：

[ΕV（y（t）， t， r（t））≤V（x0， t0， r0）]，

因此

[（1-pcmax）eγptΕy（t; x0， r0）p≤（1-pcmin）x0p].

引理2.3得證.

引理 2.4[12]? 令假設1.1和假設1.2成立.

[Εx（t; x0， r0）2≤x02e（2α+ρ2）t]，

[Εx（t; x0， r0）-x（δt; x0， r0）2≤2τ（K21τ+ρ2）e（2α+ρ2）t≥0].

[?（x0， r0）∈?n×S]，[?t≥0].

引理2.5 [12]令假設1.1和假設1.2成立且[p∈（0， 1）]，對于[?（x0， r0）∈?n×S]，[?t≥0]

[Εx（t; x0， r0）-y（t; x0， r0）p≤x0pep（K1+1.5K22）t（H（τ）[e（2α+ρ2）t-1]）p/2].

其中 [H（τ）=6K22[τ（K21τ+ρ2）+2（1-e-γτ）]2α+ρ2].

類似于文獻[12]中的引理5，有以下引理成立.

引理 2.6? 若假設1.1—假設1.3成立且存在自由參數[ε∈（0， 1）]，[τ>0]是下列方程的唯一解

[ep（K1+1.5K22）（τ+log（Mε）/pγ）（H（τ）[e（2α+ρ2）（τ+log（Mε）/pγ）-1]）p/2=1-ε].

其中[γ， M]和[H（τ）]由引理2.3和引理2.5給出.對于[?τ∈（0， τ]]，存在正整數[k， λ]使得系統（1）滿足

[Εx（kkτ; x0， r0）p≤x0pe-λkkτ， ?k=1， 2， 3， ….]

[?（x0， r0）∈?n×S].

定理2.1? 若假設1.1—假設1.3成立，存在正常數[τ]，假設[τ≤τ]，則稱系統（1）幾乎必然指數鎮定.

證 令[τ∈（0， τ]]且[?（x0， r0）∈?n×S]，簡記[x（t; x0， r0）=x（t）]，對[?t≥0]，存在唯一的整數[k]使得[t∈[kkτ， （k+1）kτ）]，由系統（1）的時齊次性和引理2.4有

[Ε（x（t）2Fkkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）（t-kkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）kτ].

利用H?lder不等式知

[Ε（x（t）pFkkτ）≤C1xkkp].

其中[C1=e（α+0.5ρ2）pkτ].應用引理2.6可得：

[Εx（t）p≤C1Εxkkp≤C1x0pe-λkkτ≤C2x0pe-λt] .??????????????????? （9）

其中[C2=C1eλkτ].則系統（1）p階矩指數穩定，接下來由系統（1）的p階矩指數穩定推出其幾乎必然指數鎮定.

由式（9）可知：

[Εsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

再由Chebyshev’s不等式可知

[Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

令[Ak=supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ]，則：

[Σk=0∞Ρ（Ak）=Σk=0∞Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pΣk=0∞e-λkkτ<∞.]

由Borel-Cantelli’s引理有[Ρlimk→∞Ak=0]，即[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p<e-0.5λkkτ].

對[?ω∈Ω， ?k0=k0（ω）]使得：

[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t，ω）p<e-0.5λkkτ， ?k≥k0（ω）].

因此，對于[kkτ≤t≤（k+1）kτ，k≥k0（ω）]有

[1tlogx（t，ω）<-0.5λkkτp（k+1）kτ=-0.5λkp（k+1）].

對[?ω∈Ω]，令[t→∞]

[limt→∞ sup1tlogx（t，ω）≤-λ2p<0].

系統（1）幾乎必然指數鎮定.證畢.

注： 文獻[12]在假設1.2的成立條件下研究混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定.該文獻指出在???????? [γiu>0（i≠u）]成立的條件下，假設1.3即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]等價于以下式子

[-（α1+0.5ρ21-σ21） -γ12 … γ1N-（α2+0.5ρ22-σ22） -γ22 … γ2N ? ??? ?????????? ?-（αN+0.5ρ2N-σ2N） ???? -γN2 …??? γNN>0].

文獻[14]在假設1.1—假設1.2成立的條件下，運用條件[γiu∨（σ2i-0.5ρ2i-αi）>0]以及M-矩陣

[Α（p）=diag（θ1（p） ， …， θN（p））-Γ]，其中[θi（p）=（p（2-p）σ2i）/2-pρ2i/2-pαi]，得到系統（1）的幾乎必然指數鎮定.而本文僅需假設1.3成立，顯然限制性更小.

接下來將研究線性反饋控制函數為[u（x， i）=A（i）x]的系統的穩定性.

假設 3.1存在常數[K1>0]，[αi∈?（i∈S）]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤Kx-y]， [xTf（x， i， t）≤αix2]， [?x， y∈?n].

避免記號上的重復，先令[B（t）]為一個標量布朗運動.考慮以下閉環系統

[dx（t）=f（x（t） ， r（t） ， t）+A（r（t/τ））x（（t/τ））dB（t）]，??????????????????? （10）

其中[A（i）∈?n×n（i∈S）].記[A（i）=Ai]，[u（x， i）-u（y， i）≤Aix-y ，] [?x， y∈?n].

對[?i∈S]存在矩陣[Di∈?n×n]使得

[Di=1]， [λmin（Di+DiT）≥3].?????????????????????????? （11）

對于非負實數[δi]有：

[δ2i>4αi].???????&nbsp;????????????????????????????? （12）

令[Ai=δiDi（i∈S）]，對[?x∈?n]，記

[u（x， i）=Aix≤δix]，

[xTu（x， i）=xTAix=0.5xT（Ai+ATi）x≥34δix2].

所以當[ρi=δi， σi=34δi]，[u（x，i）≤ρix]，[xTu（x，i）≥σix2].

由式（12）可得[σi2-0.5ρ2i-αi=0.25δ2i-αi>0].即

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

簡單來說，若選擇上述[Di]和[δi]滿足條件式（11）式（12）且令[Ai=δiDi（i∈S）]，就可以通過定理2.1的結論得到系統（10）幾乎必然指數鎮定.

3?結論

本文對隨機混雜系統進行離散時間狀態觀測，在擴散項和漂移項中加入反饋控制，運用Markov切換的平穩分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等隨機分析技巧和建立特殊的Lyapunov函數，先得到混雜隨機系統的p階矩指數穩定，再由p階矩指數穩定推出混雜隨機系統的幾乎必然指數鎮定，最后給出含有另外一種反饋控制函數系統的幾乎必然指數鎮定.

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Almost surely exponential stabilization of stochastic hybrid system based on discrete-time state observations

YU Peilin， CUI Yao， CHENG Pei*

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230601， China）

Abstract： The paper studies the almost surely exponential stabilization of hybrid stochastic systems， based on the observations of discrete-time state and the control function which is embedded into the drift part and diffusion part. We get the almost surely exponential stabilization of the hybrid random? system by choosing appropriate Lyapunov function， using Markov chain stationary distribution and methods of stability analysis. The stability of the system with linear feedback controller is used to??????? illustrate the feasibility of the results.

Key words： hybrid random system; discrete time observation; Lyapunov function; almost surely??????? exponential stabilization; the pth moment exponential stabilization