基于數學抽象素養培養的高三數學習題課設計

陳旭

摘 要：本文以一道高三數列壓軸題的解法為背景，以數學抽象素養三個水平要求為指導，以變式教學的形式展開教學設計。數學抽象素養的三個水平對應于教學的三種設計。水平一是簡單模仿、了解解法，在教學中引導學生看懂通法，了解解法。水平二是提煉通法、明晰規律，在教學中要突破難點，尋找解法背后的原理，并能進行一般性的應用。

關鍵詞：數學抽象素養;二個水平;數列放縮

數學抽象素養是形成理性思維的重要基礎。如何更好的在高三復習中提高學生的數學抽象素養是高三數學復習的一個重要課題。數列是高中數學的重要內容，思維的抽象性高，學生難以理解，難以提煉通性通法。本文以數列為背景，以數學抽象素養的三個水平劃分為依據進行數列習題課教學設計。習題課的教學設計離不開變式教學的理念：一題多解，多個角度理解問題，深挖題目本身;多題一解，提煉通性通法，拓展題目外延。本文結合變式教學的理解滲透數學抽象素養的培養。

1.水平一：簡單模仿、了解解法

例1設數列滿足

（1）求證：;

（2）求證：;

（3）設數列的前n項和為Sn，求證：

解：（1）略（2）解法一：證明n=1時，a1=3>2成立，假設n=k時，ak>2

則n=k+1時，∴綜上an>2

又

分析：數學歸納法是解決數列證明問題的通法之一，學生能進行簡單問題的模仿，并感悟方法的使用。屬于數學抽象素養的第一層次能力體現。

解法二：迭代法

分析：學生在解答過程中試圖從抽象的數據中歸納出一般性的規律，但對抽象規律的理解不到位，沒有成功。此處需要對數學抽象素養有更高的訓練。此種解答的數學抽象素養仍屬于第一層次。

解法三：第二問的參考答案

∴an+1-2與an-2同號∴a1>2，an+1>2

（3）參考答案解法

三邊同時求和可得

分析：學生能看懂答案，了解命題的條件和結論，但不能夠理解的形成原因，不能夠理解構造的原理，不能掌握數列內在的規律和聯系，所以需要進一步深入培養學生數學抽象素養的第二層次水平。

2.水平二：提煉通法，明晰規律

2.1第二問解法2障礙的處理

為了解決第二問解法2中的障礙，利用數形結合將具體數字迭代法進行幾何化，明晰內在規律。迭代法幾何化的基本思路：構造函數f（x）與y=x。將代數的迭代轉變為幾何的迭代，從抽象變為直觀，能更直觀的提煉出數列內在的單調性和取值范圍等規律。（如圖1）

圖1

分析：此處方法由學生探索得到，將具體的數據轉變成直觀的圖形，從圖形中抽象出數列內部單調性和取值的規律。學生在探索圖1迭代法幾何化

過程中培養了數學抽象素養。使數學抽象素養由第一層次向第二層次提升。

變式1：數列{an}滿足a1=1，，求證為遞減數列

解析：本題為2016浙江省調研卷最后一題第一問。構造函數為減函數，得到數列分為下標奇數、偶數的兩個單調數列，一個遞減逼近不動點橫坐標，一個遞增逼近不動點橫坐標。

2.2第二問解法三的理解

總結規律，并用抽象的數學語言給出證明和表述。通過分析生給出了如下的原理解釋：

證明{an}滿足構造函數y=f（x），求解方程f（x）=x，解得x=x0必然成立。

分析：能夠用恰當的數學語言解釋抽象的數學概念和規則;理解數學命題的條件與結論;能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系。能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證。屬于數學抽象素養的第二層次能力。

2.3第三問構造的原理探索

分析：分析答案，進一步引起沖突，希望學生有所思考，希望學生能在數學抽象思維上有所提升。學生自主完成代數到幾何的轉換，強化數形結合分析問題的能力。不僅僅是等比型的構造，還是兩點連線的斜率，可以利用導數的概念，求出斜率的取值范圍，進而解決問題，這樣就透過了問題，看懂了題目命制的原理。

3.結

在數學教學活動中，注重抽象能力的培養，有利于學生養成一般性思考問題的習慣，有利于學生更好的理解數學的概念、命題、結構和系統，有利于學生在其他學科的學習中化繁為簡，理解該學科的知識結構和本質特征。高三數學復習課不僅僅是應試的一部分也必須是學生數學核心素養培養的舞臺。希望學生能用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界。

參考文獻

[1]俞海東.一階非線性遞推關系問題的結構分析—函數觀點下的處理模式探討[J].中學教研（數學），2017（12）：26-30.

[2]孫軍波.用蛛網巧釋浙江壓軸題[J].中學教研（數學），2017（8）：48-50