集合思想在高中數學問題中的應用

劉茹紅

摘 要：集合是近代數學中的一個重要概念，也是學生進入高中的新課程學習中第一個內容，內容雖少但集合思想是解決某些數學的重要工具，因此學好集合知識是為學好高中數學其他知識打下基礎。

關鍵詞：集合思想;高中數學

一、數形結合思想的應用：數形結合思想溝通了數和形的內在聯系，使得由某個圖形性質給出的點集和滿足某性質的實數對組成的集合建立起一一對應的關系，進而用代數方法解答幾何問題，對代數命題給出幾何解釋，還能夠通過幾何圖形來解決代數問題。

例題1：（2016濟寧一模）已知全集U=R，集合，則（ ）

A.[1，3] B.（1，3] C.[-1，4] D.[-1，4）

解析：答案D因為，又因為，

在數軸上（如圖所示）表示出集合A，B，所以B=[1，4）.

評注：將數量關系與空間形式巧妙結合，使問題得以直觀、簡單解決。使用數形結合思想時，需要熟悉相關概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特征。

二、分類與整合思想的應用：分類是根據研究對象的性質差異，分各種不同的情況分析解決問題。

例題2：（2017佛山二模文）已知函數f（x）=|x-1|+|x+a|-x-2.

（1）當a=1時，求不等式f（x）>0的解集;

（2）設a>-1，且存在，使得，求a的取值范圍.

解析：（1）當a=1時，不等式即，等價于或或

解得或或.

即不等式的解集為

（2）當時，，不等式可化為，若存在，使得，則.所以a的取值范圍為.

評注：將集合的知識與不等式綜合也是近年來高考考查的一個重要方向。分類時，要注意：確定對象的全體，明確分類的標準，做到不重不漏。

三、化歸與轉化思想的應用：化歸，轉化就是通過化未知為已知，化抽象為具體，化復雜為簡單來解決問題的一種數學思想。

例題3：（2013福建）已知集合，則“a=3”是“”的（ ）

充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：答案A當a=3時，，反之，當時，a=2或3，所以“a=3”是“”的充分而不必要條件，選A.

評注：簡易邏輯與集合有著密切的聯系，很多問題可以轉化為集合的觀點用集合思想來解。本題將問題中的“充分，必要條件”的轉化為集合的知識加以解決，快捷簡便。

四、有限與無限思想的應用：當元素是無窮多個時，我們采用描述法表示集合，實現有限與無限的完美結合。

例題4如圖，在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（ ）

A. B. C. D.

解析：答案C函數y=ex與y=lnx的圖象關于直線y=x

對稱，故陰影部分的面積為，由幾何概型的概率計算公式得，黃豆落到陰影部分的概率為。

評注：在使用牛頓-萊布尼茨公式求不規則圖形面積時，將曲邊多邊形的面積表示成若干個定積分的和，通過定積分將曲邊多邊形的無限個小矩形面積的和與有限的積分值和諧的統一起來。

集合思想為我們處理問題開辟了一條新的道路.用集合思想方法來處理數學問題表現得更直觀，更深刻，更簡捷。在學習過程中，注意對集合思想進行挖掘、滲透，不僅可以有效地掌握知識，而且可以加強各部分知識內容的聯系，突出數學問題的本質，使復雜關系條理化、清晰化.對于開拓學生解題思路，簡化運算過程，提高學生分析解決問題的能力，從而優化思維品質，拓展數學視野，都具有十分重要的意義。

參考文獻

[1]楊梅.集合思想在高中數學中的應用[J].數學學習與研究，2016（15）：91+93.

[2]諶敢.高中數學新教材中集合思想的應用[J].新課程研究（上旬刊），2012（03）：10-11.