冪指數(shù)型非線性濃度梯度芯片設(shè)計及性能分析

姜云峰 張思祥 孟冀豫 王哲 李姍姍

摘要 微流體濃度梯度的生成與微通道結(jié)構(gòu)及實驗流體流量比例密切相關(guān)。本文通過對比傳統(tǒng)與新型濃度梯度生成芯片的方法與特點，根據(jù)微流體的流動及傳質(zhì)擴散特性，采用被動混合原理設(shè)計了一種可在通道不同位置處生成不同濃度梯度的蛇形結(jié)構(gòu)微通道芯片。建立了基于有限元的多物理場耦合模型，通過調(diào)整入口微流體流量比及擴散系數(shù)，得到流道內(nèi)濃度分布結(jié)果，設(shè)計制作了帶有蛇形微通道的PDMS微流控芯片并進行實驗。兩相流體分別選用去離子水和紅色染料，實驗流體在入口處總流量為10 μL/min。通過分析微通道出口處流體濃度的分布規(guī)律，驗證了該裝置的可靠性。

關(guān) 鍵 詞 濃度梯度；有限元法；蛇形微通道；多物理場耦合；微流控芯片

中圖分類號 O651 文獻標志碼 A

0 引言

一般情況下，特征尺寸大于1 000 μm的尺度稱為常規(guī)尺度，介于1 ～ 1 000 μm之間的尺度稱為微尺度[1-3]。相比常規(guī)尺度流體，微流體存在著尺度效應(yīng)，其流動特性受流體流量、粘度、擴散系數(shù)及微通道尺寸、結(jié)構(gòu)等多種因素影響[4-5]。微流體濃度梯度芯片技術(shù)的進步，對醫(yī)學(xué)、化學(xué)、生物及相關(guān)學(xué)科的發(fā)展具有積極的促進作用。

傳統(tǒng)濃度梯度生成裝置存在一定不足，主要體現(xiàn)在效率低、精準性差、易產(chǎn)生誤差等方面[6-8]。如利用吸管尖端或凝膠儲集物生成溶液濃度梯度的方法費時費力，效率較低。實際中的藥物篩選、趨化分析和毒性評價中往往需要大量不同濃度的樣本溶液，而且諸如疾病診斷、精準醫(yī)療和藥品檢測等過程更需要精準的濃度梯度，這些都是傳統(tǒng)生成濃度梯度方式難以克服的，并且在實驗與應(yīng)用過程中，傳統(tǒng)方法容易產(chǎn)生誤差，如在樣品轉(zhuǎn)移過程中，或者在吸管或器皿中有殘留的溶液等都會產(chǎn)生誤差。此外，傳統(tǒng)方法產(chǎn)生的濃度梯度空間分辨率不高，難以控制梯度[9-10]。

微流體濃度梯度芯片較傳統(tǒng)裝置而言具有很強的優(yōu)越性，比如：濃度梯度芯片的微通道尺度與單元尺度匹配度在幾微米左右，且多維通道的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境相對獨立；微通道的傳質(zhì)傳熱速度快、效率高，能滿足高通量分析要求；微流體濃度梯度生成平臺的多個操作單元可以進行靈活組合或集成，具有并行處理大量試驗的能力等，因此被廣泛用于藥物篩選、趨化分析和毒性評價等領(lǐng)域。

目前，新型微流體濃度梯度生成芯片種類很多，包括紙基通道型[11-13]、基質(zhì)吸附型[14-18]、液滴型[19-20]、時間演化型[21]、流阻型[22-23]以及圣誕樹型[24-29]等。這些微流體芯片具有動態(tài)可控性，且可生成較精準的時空濃度梯度，但通常芯片結(jié)構(gòu)設(shè)計較為復(fù)雜。本文利用蛇形微通道作為基礎(chǔ)單元進行研究，具有結(jié)構(gòu)簡單，加工方便等特點。流體流經(jīng)微通道時由于蛇形結(jié)構(gòu)特性使得流體不停被動轉(zhuǎn)換方向，不同濃度流體交界面處擴散加速，形成濃度梯度條帶。通過改變?nèi)肟诹黧w的流量比例，可得到微通道不同位置處的濃度梯度條帶。此外，通過改變流體擴散系數(shù)可使流體達到均一濃度時流經(jīng)的微通道長度變短，由此說明仿真時可通過改變流體擴散系數(shù)實現(xiàn)復(fù)雜模型的簡化，為復(fù)雜仿真簡單化奠定了基礎(chǔ)。

1 蛇形微通道濃度梯度生成的數(shù)學(xué)模型建立

1.1 雷諾數(shù)方程

對于微尺度流體的理論研究是基于微流體力學(xué)的基本理論，本文研究的是微流體在層流狀態(tài)下通過流體擴散形成濃度梯度。要生成期望的濃度梯度，必須根據(jù)微流體動力學(xué)基本方程的原理對流體流動進行精確操控。

[Re=ρudη]， （1）

式（1）為雷諾數(shù)（Reynolds number）表達式。式中：ρ代表流體密度；[u]代表的是速度矢量；d為特征長度；η代表動力學(xué)黏度。雷諾數(shù)是描述微流體流動的無量綱參數(shù)，是流體慣性力與黏性力的比。當(dāng)Re<2 000時，粘性力影響遠大于慣性力，流體處于比較穩(wěn)定的層流狀態(tài)。一般來說，根據(jù)雷諾數(shù)公式估算可知微米尺度下流體的雷諾數(shù)約為10-2數(shù)量級，故其為層流狀態(tài)。

1.2 連續(xù)方程

本文實驗流體為具有一定速度的連續(xù)流體，當(dāng)微流體穩(wěn)定、連續(xù)不斷地流過微通道時，由于通道中任意流體不能中斷和堆積，所以，依據(jù)流體力學(xué)質(zhì)量守恒定律，同一時間內(nèi)，通過微通道任一截面微流體的質(zhì)量相等，流場中任意一點的密度滿足連續(xù)性方程

[?ρ?t+?·（ρu）=0]。 （2）

當(dāng)流體為定常流動的不可壓縮流體時， ?/?t=0，流體密度ρ可認為恒定，此時式（2）可簡化為

[?·u=0]。 （3）

1.3 控制方程

假定實驗流體為不可壓縮的牛頓流體，根據(jù)動量守恒原理， 可導(dǎo)出流場中黏度與密度為常數(shù)的黏性不可壓縮流體的運動方程，即納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），簡稱N-S方程。

[?u?t+（u·?）u=1ρ（-?p+η?2u）+fv]， （4）

式中：p代表壓力；[?]代表拉普拉斯算子；[fv]代表單位質(zhì)量流體的體積力。

N-S方程描述了真實流體的動力學(xué)基本規(guī)律，在流體力學(xué)中具有重要意義。理論上講，若初始條件和邊界條件確定，N-S方程組基本可以確定流體的流動。

1.4 傳質(zhì)方程

微流體在傳輸過程中通過擴散傳質(zhì)生成了濃度梯度，在實際的研究與應(yīng)用中，大部分擴散都是非穩(wěn)態(tài)擴散，其特點是擴散過程中，微元濃度和擴散通量均隨時間變化而變化，并且通過各處的擴散通量隨著距離改變而改變，對于這類擴散可應(yīng)用菲克第二定律描述：

[?c?t=??x（D?c?x）]， （5）

式中，c代表物質(zhì)的濃度D代表擴散系數(shù)。對于流動中的流體，除了要考慮擴散傳輸特性外，還要考慮對流對其濃度分布的影響。這時，需要在菲克第二定律的方程中加上對流項，可得到式（8）的對流-擴散方程

[?c?t+u·?c=D?2c]。 （6）

方程中等號左邊第2項為對流項，等號右邊為擴散項。該方程描述的是微流體在流動過程中的傳質(zhì)規(guī)律，通過對方程求解可得微流體的濃度分布。當(dāng)微流體受多個物理場影響時，可用有限元法（FEM）進行多物理場耦合求解。

2 蛇形微通道濃度梯度生成的物理模型建立

2.1 幾何模型建立及網(wǎng)格劃分

設(shè)置濃度梯度生成芯片的微通道高度為40 μm，寬度為100 μm，微通道總長度為2 mm。由于微通道的橫縱比較大，故可將其簡化為忽略高度的二維模型來進行仿真計算，其幾何模型的網(wǎng)格劃分如圖1所示。使用基于有限元理論的Comsol Multiphysics 5.3 仿真軟件進行數(shù)值模擬，通過求解多個耦合方程組得到最終結(jié)果的初始數(shù)據(jù)，之后進行數(shù)據(jù)處理。選用自由三角形網(wǎng)格對蛇形微通道的幾何模型進行網(wǎng)格劃分，其求解精度嚴重依賴于網(wǎng)格劃分數(shù)目的多少。理論上，網(wǎng)格劃分越密集求解精度越高，但網(wǎng)格數(shù)目過多則會增加計算時間并且耗費計算機大量內(nèi)存。為平衡計算精度與計算時間的關(guān)系，本文芯片結(jié)構(gòu)在微通道轉(zhuǎn)折處網(wǎng)格設(shè)置較密，如圖 1 所示，通過優(yōu)化計算，此處選定網(wǎng)格數(shù)目為20 608個。

2.2 仿真參數(shù)設(shè)置

仿真實驗中微通道結(jié)構(gòu)以及流體性能都依賴于幾何與物理參數(shù)的設(shè)置。參數(shù)設(shè)置支持常量或變量，通過對參數(shù)的調(diào)節(jié)可實現(xiàn)幾何模型的結(jié)構(gòu)改變，亦能改變實驗樣品的特性。本文采用不同濃度的水溶液作為實驗流體，實驗所需各參數(shù)設(shè)置如表1所示。

2.3 邊界條件及控制方程

仿真選用層流模塊模擬實驗流體在微通道中的流動；稀物質(zhì)傳輸模塊模擬流體的擴散和對流。每個模塊中均需要設(shè)置邊界條件和控制方程來模擬流體實際流動狀況。邊界條件的設(shè)置如圖2所示。

1）流場：Navier-Srokes（N-S） 方程

由第1節(jié)理論分析可知，低雷諾數(shù)流體流動過程中粘性力起主要作用，控制微流體運動的N-S 方程可表示為式（4）。

流體流動邊界條件設(shè)置為：

①入口總流量為1 μL/min。

②出口處抑制回流，滿足

[n.[-pI+η?u+?uT]=0]。 （7）

③微通道其余壁面流速邊界條件為u = 0，無滑移。

④出口處壓力滿足p = 0。

2）稀物質(zhì)傳輸：對流擴散方程

不同濃度流體流動過程中分子及離子會出現(xiàn)對流擴散現(xiàn)象，導(dǎo)致不同濃度流體混合，其原理可用式（8）表示。

微通道中物質(zhì)濃度邊界條件可設(shè)置為：

①入口處流體濃度分別為0 μmol/L和c0 = 1 μmol/L 。

②出口處濃度滿足

[-n?D?c=0]。 （8）

③其余邊界濃度表達式為

[n?D?c+uc=0]。 （9）

仿真中所采用主要參數(shù)如表1所示。

設(shè)置入口處流體總流量保持恒定，且2相不同濃度流體流量比可調(diào)，微通道正中心為濃度觀察參考線，由此觀察不同濃度梯度的生成。

3 實驗材料與方法

3.1 實驗試劑與儀器設(shè)備

實驗試劑：去離子水；紅墨水；PDMS聚合物和固化劑，美國DOW CORNING公司；異丙醇，天津市博迪化工股份有限公司；硅烷偶聯(lián)劑，天津市風(fēng)船化學(xué)試劑科技有限公司等。

實驗儀器設(shè)備：光學(xué)顯微鏡，日本尼康公司，型號E100；機械注射泵，保定蘭格恒流泵有限公司，型號LSP02-1B；等離子機，普特勒電氣科技有限公司，型號PDC-MG；真空泵，浙江飛越機電有限公司，型號FY-1H-N；真空釜，上海三愛思試劑有限公司；電子天平，上海市雙旭電子有限公司，型號YP3002；載玻片；注射器；鑷子；手套；平頭針頭；四氟管；紙杯；膠帶等。

3.2 濃度梯度生成的蛇形微通道制作與封裝

依照仿真實驗參數(shù)進行微通道結(jié)構(gòu)設(shè)計，如圖3a）所示，通道包含2個入口A和B，和一個出口C。2相流體由入口進入，經(jīng)過蛇形微通道后，由出口C流出。帶有微通道圖案的芯片由PDMS澆注而成，所需模板由大連拓微芯片科技有限公司加工制作。微通道圖案由AutoCAD繪圖軟件按尺寸參數(shù)繪制，定制了微通道形狀的玻璃陽膜，陽膜高度為30 μm。實驗時，將玻璃陽膜置于真空釜中進行硅烷化處理，之后將PDMS前聚物與固化劑以10：1的比例混合均勻并澆鑄于玻璃陽膜上，保持80 ℃固化1 h成型，脫模后可得到PDMS微通道結(jié)構(gòu)。將加工好的PDMS微通道入口和出口處打孔，帶圖案一面朝上與玻璃基底一起置于等離子鍵合機中進行氧等離子處理，約2 min后取出，并在1 min內(nèi)鍵合，最后將芯片置于80 ℃加熱臺加熱10 min，加強鍵合效果。封裝之后的芯片實物圖如圖3a）所示。

3.3 實驗平臺搭建與芯片性能測試

如圖3b）所示搭建實驗平臺，2臺機械注射泵分別泵送緩沖液以及紅墨水至微通道中，2只注射器分別固定在注射泵上，針頭連接四氟管，四氟管另一端插入PDMS芯片預(yù)先打好的孔中，實現(xiàn)流體的注入。出口處接另一根四氟管將廢液倒出置紙杯中，芯片置于顯微鏡上實時觀察實驗現(xiàn)象。通過調(diào)節(jié)2臺注射泵可控制微通道內(nèi)緩沖液以及紅墨水的進樣流量比，當(dāng)兩股流體流經(jīng)蛇形微通道時，可形成不同濃度梯度。實驗中，計算機與顯微鏡的CCD相機相連，進行實驗結(jié)果（照片與視頻）的記錄。圖3c）為本實驗平臺的結(jié)構(gòu)框圖。

4 結(jié)果與討論

4.1 流場分布與流動過程分析

流體流動與傳質(zhì)相互耦合，流速是影響濃度梯度生成的重要指標。微通道內(nèi)流體流速主要是給定入口處流體初始速度的體現(xiàn)，流體流量比為最簡單的1∶1時，可對流速進行定性分析，假定微通道為理想的壁面光滑模型，微流體在通道內(nèi)流動方向以及流動狀態(tài)可由圖4a）表示，藍色線條表示流動形式，箭頭表示流動方向，如圖可以看出，流線分布均勻，故流體流動為層流狀態(tài)，經(jīng)過微通道后流動形式并無改變，符合層流仿真模塊設(shè)定。云圖4b）表示流體在微通道內(nèi)流速大小分布，由圖可知，流速在流道中呈現(xiàn)邊緣低中間高的狀態(tài)，原因在于流場邊界條件③導(dǎo)致流體流速降低。此外，微通道各級處流速大小均保持了良好的一致性。

4.2 濃度場的分布與濃度梯度分析

本文研究目的旨在生成不同濃度梯度，為驗證微通道結(jié)構(gòu)以及物理參數(shù)設(shè)計的合理性，流體流量比為最簡單的1：1時，對微通道內(nèi)的濃度進行定性分析。蛇形微通道結(jié)構(gòu)中流體生成濃度梯度主要靠分子擴散，擴散時間可用下式表示：

[t=l22D]， （10）

式中：l為擴散長度；D為流體擴散系數(shù)。當(dāng)2相流體流量比為1∶1時，擴散長度l =Wch/2。此時，微通道寬度一定，擴散時間僅與流體擴散系數(shù)相關(guān)。設(shè)定兩相流體擴散系數(shù)均為1×10-9 m2/s，微通道入口處2種流體的濃度分別為：緩沖液（buffer）濃度0 μmol/L，目標液體（dye） 濃度1 μmol/L。圖5為兩相流體以1∶1的流速比在微通道內(nèi)混合后的濃度場分布與濃度梯度分布。彩色云圖5a）表示流體在微通道內(nèi)濃度分布，藍色為低濃度，紅色為高濃度，如圖所示，流體可在微通道不同位置處生成不同濃度梯度，流體經(jīng)過蛇形微通道后，達到完全混合的平衡狀態(tài)。圖5b）顯示了微通道內(nèi)各級濃度梯度的變化，紅色表示梯度高，藍色表示梯度低，箭頭表示梯度的方向。由圖可知：入口處梯度最高，梯度隨單元匝數(shù)增加逐級遞減，梯度大小可由彩色云圖定性觀察出來，微通道最后一級處梯度為0，表明流體達到了完全穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即充分混合。

4.3 濃度梯度生成的影響因素

在微通道幾何模型結(jié)構(gòu)一定的情況下，濃度梯度的生成還受許多物理因素影響。本文根據(jù)式（12）重點研究微通道入口處2種不同濃度流體的流量比以及擴散系數(shù)對濃度梯度生成的影響。入口處緩沖液流量用Qb表示，總流量用Q表示且保持恒定（1 μL/min），則目標液體的流量為Qd = 1 - Q b。改變Qb與Q的比值，設(shè)置流量矩陣Qb /Q = [0.1，0.25，0.5，0.75，0.9]，觀察微通道不同級處濃度梯度分布。當(dāng)擴散系數(shù)為1×10-10 m2/s時，如圖6a） 所示，提取濃度觀察線處的微通道各級濃度分布數(shù)值，繪制歸一化位置與濃度曲線，改變流量比可得到不同濃度梯度的分布，濃度梯度變化率隨微通道匝數(shù)增加而逐級遞減，流體約在第11級處達到完全混合的平衡狀態(tài)。

當(dāng)Qb /Q較小時，出口處最終濃度接近于目標溶液濃度，當(dāng)Qb /Q較大時，最終濃度接近于緩沖溶液濃度。特別當(dāng)Qb /Q = 0.5時，經(jīng)過蛇形微通道后，2相不同濃度流體逐漸混合均勻，達到0.5 μmol/L，可證明此蛇形微通道設(shè)計的合理性。為得到不同濃度梯度分布以及分析擴散系數(shù)對濃度梯度的影響，改變流體的擴散系數(shù)進行仿真模擬，分別增大擴散系數(shù)為1×10-9 m2/s和減小為1×10-11 m2/s，結(jié)果如圖6b）、c）所示，當(dāng)增大擴散系數(shù)時，流體達到平衡狀態(tài)的時間縮短，且生成的濃度梯度更為均一；減小擴散系數(shù)時，流體需經(jīng)過更長距離的微通道才能達到穩(wěn)定狀態(tài)。另外，無論流體擴散系數(shù)大小，流體均以相同的流動趨勢進行混合，直至達到平衡。由此可見，增大流體的擴散系數(shù)可實現(xiàn)微通道結(jié)構(gòu)簡化，達到低擴散系數(shù)流體在復(fù)雜微通道中流動的相同效果。

4.4 實驗結(jié)果分析

實驗選定的兩相流體分別由2臺機械注射泵以確定的流量泵送至微通道中，由于注射泵固有精度的限制，流量調(diào)至1 μL/min時誤差較大，故實驗時入口總流量設(shè)定為10 μL/min。流量增大，流體流經(jīng)微通道至出口所需的時間變短，因此，流體需要經(jīng)過更長距離才可充分擴散。調(diào)節(jié)兩相流體流量比，使緩沖液（去離子水）的流量占比滿足流量矩陣Qb /Q = [0.1，0.25，0.5，0.75，0.9]，光學(xué)顯微鏡下微通道入口以及出口處緩沖液（去離子水）與目標液體（紅墨水）在微通道中的分布如圖7a）所示，由于拍攝圖片為二維模式，兩相流體流量比例直觀地表現(xiàn)為各自在微通道中的寬度占比。兩相流體經(jīng)蛇形微通道混合后，在出口處分布形式如圖7a）所示，由圖可觀察到，流體在出口處未達到完全混合狀態(tài)，此時分析出口處的濃度梯度，相當(dāng)于截取流體達到完全混合前的某一時間的濃度梯度分布情況。兩相流體流量比不同時，可在出口處得到不同形式的濃度梯度條帶。

為定量分析出口處濃度梯度的分布規(guī)律，選取微通道出口處100 μm×100 μm的部分圖像用Matlab軟件進行灰度化處理，灰度圖像如圖7b）所示，提取所選部分圖像的中間位置為灰度值觀察線，定量計算圖像的灰度值。令緩沖液所表示的白色灰度為0（匹配濃度0 μmol/L），目標液體所表示的紅色灰度值為1（匹配濃度1 μmol/L），由此可歸一化不同濃度的數(shù)值。如圖7b）所示，點圖為不同流量比下灰度觀察線處歸一化位置與歸一化濃度的關(guān)系，歸一化位置坐標方向由圖中藍色箭頭表示。選取擬合函數(shù)y=xb用Matlab軟件對20個灰度值點進行曲線擬合，由圖7b）所示，所選函數(shù)能較好擬合散點灰度值，當(dāng)Qb/Q分別等于0.1，0.25，0.5，0.75，0.9時，函數(shù)中指數(shù)b分為為0.41，0.67，1.03，1.95，7.19，分別對應(yīng)由上到下的5條曲線。

5 結(jié)論

本文基于流體對流擴散原理分析了蛇形微通道中微流體濃度梯度的生成，得到了微通道不同位置處生成的不同形式濃度梯度帶。量化的微流體濃度梯度帶可通過增減微通道匝數(shù)在出口處提取出來。另外，采用改變?nèi)肟趯嶒灹黧w（緩沖液和目標溶液）流量比的方法得到不同濃度梯度序列。改變流體擴散系數(shù)進行仿真模擬，證明了無論擴散系數(shù)大小，流體最終都會以相同的變化趨勢趨于平衡。因此，可通過改變流體擴散系數(shù)的方法來實現(xiàn)仿真模型的簡化。通過實驗，對微通道出口處濃度梯度進行定量分析，證明了濃度梯度分布符合指數(shù)函數(shù)y =xb的曲線分布，因此，該芯片可用于非線性濃度梯度的生成。

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[責(zé)任編輯 楊 屹]