復雜截面橋梁壽命期可靠性設計分步優化

黃海新 劉丙勇 程壽山

摘要 針對傳統復雜截面結構壽命期優化效率低及未考慮結構劣化效應的問題，將傳統的直接以結構基本尺寸為優化變量的計算方案改為分3步優化：首先選取與截面造型無關的構件截面面積、抗彎慣矩、上下邊緣距橫截面中性軸的距離為中間變量，分別獲得可靠度約束下的最優值，繼而基于第一步優化結果，優化達到壽命期時所需的與構件造型有關的基本設計尺寸，最后考慮壽命期劣化效應的影響，逆向推算得結構初始設計尺寸。新型優化方案通過以構件共有的幾何參數為中間變量，減少了復雜截面優化過程中直接以設計變量進行迭代的工作量，提高了優化效率及優化模式的適用性。壽命期劣化效應的考慮兼顧了優化模型的耐久性.通過算例與傳統優化模式進行對比，驗證了新型整體分步優化模式的精度與效率。

關 鍵 詞 橋梁工程；可靠度；壽命期；分步優化；復雜截面

中圖分類號 U441 文獻標志碼 A

基于可靠性的優化設計，由于能考慮結構材料、外部荷載等客觀存在的不確定性，并在結構安全性和經濟性之間能達到一種最佳的平衡，正被越來越多的工程技術和科研人員所關注[1-6]。許林、唐承、Adamantios M等[7-9]以結構體系可靠度為約束條件，以結構設計成本為目標函數，獲得了結構設計變量的優化值，促進了確定性優化向不確定性優化的發展，但結構在壽命周期內的劣化性能并未考慮。王茜、陸春華、章金橋等[10-12]計入了結構性能的時變特性，但整體優化求解過程中，當截面造型復雜時則變量眾多，求解效率不高，且難以反映構件可靠度在體系中的分布情況，對結構后期維護工作難以提供有效指導。針對傳統結構壽命期優化未考慮結構劣化效應及復雜截面整體優化效率低的問題，引入與構件造型無關的中間設計變量，采用分步的求解思路，結合逆向反演的處理方式，以可靠度等為評價條件，最終獲得計入結構劣化效應的與構件造型有關的初始基本設計尺寸，通過靜定和超靜定結構算例進行分析，檢驗了所提優化方案的計算效率及廣泛適用性。

1 可靠性優化設計方案探析

1.1 傳統優化設計方案

由結構的整體可靠度，基于最優化理論，考慮實際的財力、物力、結構自重、尺寸等限制條件構造優化方程[13-15]，優化結構的設計尺寸。數學優化模型為

目標函數 [minC=C（X）]， （1）

邊界方程 [ βT（X，ρCC）≥βd]， （2）

[X=[xij] i=1，n； j=1，m]， （3）

式中：[C]為結構的初始建造費用；[X]為結構體系的設計變量；[xij]為構件[i]的第[j]個設計變量；[βT]為結構體系達到設計年限[T]時的可靠度值；[βd]為設計規定的體系可靠度最低值；[ρCC]為構件間的相關系數。

顯然，上述模型的優化方案在整個優化過程中是直接以構件截面設計尺寸為變量進行迭代求解。但橋梁結構往往由諸多構件組成，而每一構件又由多個截面尺寸變量決定，尤其是復雜的I型、箱型等不規則截面（見圖1），使得優化模型中變量數目眾多，導致上述模型在實際優化過程中整體優化效率較低。

1.2 新型優化設計方案

針對傳統方案優化復雜截面存在的不足，這里針對平面結構，引入與截面類型無關的截面面積[A]、抗彎慣矩[I]以及中性軸距離截面下邊緣最大距離[hx]距上邊緣最大距離[hs]作為中間優化變量，同時考慮構件劣化效應的影響并將其獨立計入，將原有的據體系可靠度直接優化構件設計尺寸分為3步優化。第1步：基于造價最低原則優化分配可靠度值，求解中間變量；第2步：根據第1步結果優化各構件達到壽命期時的設計尺寸；第3步考慮壽命期劣化效應的影響，由壽命期時的設計尺寸疊加劣化損失量求得初始設計尺寸。新型優化設計方案流程圖（見圖2）。

圖2中，將結構尺寸為設計變量的直接優化轉為有中間變量的分布優化，有

[X=[xij]→[Ai，Ii，hxi，hsi]]。 （4）

優化過程中通過將設計變量的個數由[m×n]變為[4n]，每一構件[i]僅保留4個變量[Ai]，[Ii]，[hxi]和[hsi]，使得優化方案初期成為一個具有通用性的設計平臺。

1.2.1 與構件造型無關的中間設計變量優化模型

1）模型的建立

在可靠度約束條件下，以造價最低為目標函數，基于中間設計變量可構建如下優化模型

目標函數 [minC=i=1nCi（Ai）]， （5）

邊界條件 [βT（βm， ρmm）≥βd]， （6）

[IiA2i>bl]， （7）

[IiA2i

[Ai，Ii，hxi，hsi>0]， （9）

其中 [βm=ψ（βci，ρcc）]， （10）

[βci=h（Ai，Ii，hxi，hsi）]， （11）

式中：[Ci]為構件[i]的花費值；[Ai]為構件的截面面積；[βT]為達到設計年限T時體系可靠度值；[βd]為規定的壽命期體系可靠度最低容許值；[βm]為失效模式的可靠度值；[ρmm]為失效模式間的相關系數；[βci]構件[i]的可靠度值；[ρcc]構件間的相關系數。

需要說明的是，式（7）和（8）是為使變量值與工程實際相符而構建的抗彎慣矩與截面面積之間的約束條件。常量參數[bi]和[bu]在實際計算過程中的取值可根據工程需求加以調整。

對平面結構，結合可靠度理論和相關力學知識。

[βci=mRi-mSiσ2Ri+σ2Si]， （12）

式中：[mRi]為構件[i]的抗力均值；[mSi]為構件[i]的效應均值；[σRi]為構件[i]的抗力方差；[σSi]為構件[i]的效應方差。

2）模型的求解

對靜定結構而言，各構件內力分布不受體系內構件剛度分布的影響，可直接根據作用求得構件效應值。對串聯結構，有

[βm=iβci]。 （13）

同時，為便于求解結構可靠度值，對抗力和效應同時乘以[AiIi]，則式（12）變為

[βci=m*Ri-m*Si（σ*Ri）2+（σ*Si）2]， （14）

式中，帶*變量為原變量與[AiIi]的乘積。

對超靜定結構而言，其內力分布除與外部荷載有關外，還與體系內構件的剛度分布有關，所以需采用迭代的方法進行求解。

結合上述各式，利用MATLAB編制程序即可優化求解各構件達到設計年限T時的最優中間變量值。

1.2.2 與構件造型有關的壽命期基本設計變量優化模型

基于第1步優化出的與構件截面造型無關的中間設計變量，據此可建立第2步與截面造型有關的達到壽命期T時的關于基本設計變量的優化模型。考慮到壽命期內劣化效應的影響與構件在空氣中裸露的面積有直接的關系，這里以橫截面周長最小為目標函數，以此來優化截面基本設計尺寸，達到減小壽命劣化效應，提升結構耐久性的目標。

目標函數 [minL=Φ（Xi）]， （15）

邊界條件 [f1（Xi）=A*if2（Xi）=I*if3（Xi）=h*xif4（Xi）=h*si]， （16）

式中，[A*i]，[I*i]，[h*xi]，[h*si]為基于第1步優化模型獲得的構件i的中間變量優化值。

需要說明的是，要完全嚴格達到上述邊界條件，有時是非常困難的，甚至難以獲得有效解。實際使用中將等式約束稍加放松，以差值最小為目標更為現實。為此，這是通過構造泛函來重新建立優化模型。

[II=β1Δε2A+β2Δε2I+β3Δε2hx+β4Δε2hS]， （17）

其中 [ΔεA=f1（Xi）-A*i]， （18）

[ΔεI=f2（Xi）-I*i]， （19）

[Δεhx=f3（Xi）-h*xi]， （20）

[Δεhs=f4（Xi）-h*si]， （21）

式中：[βi]為懲罰因子；[Δε]為計算誤差；[fi]為關于構件i的基本設計尺寸[Xi]的函數。

基于上述構建的與構件截面造型有關的優化模型，即可優化獲得達到壽命期T時構件的基本設計尺寸。

1.2.3 計入壽命期劣化效應的初始基本設計尺寸

根據第2步優化得出的達到壽命期時結構最優設計尺寸，考慮劣化效應帶來的影響，反向推演疊加劣化量，得出結構初始基本設計尺寸值，有

[X0=XT+ΔX]， （22）

式中：[X0]為結構的初始設計尺寸；[XT]為第2步優化得出的結構達到壽命期時最優設計尺寸；[ΔX]為壽命期內結構劣化效應尺寸量。

2 優化模型探析

2.1 非正態分布時構件可靠度的求解

正態分布時構件可靠度的數值可采用式（11）求解。而對于非正態的情況，可以采用當量正態化的方法，求得結構的可靠度值。正態化的條件是：1）正態化前后在設計驗算點處的均值、方差和分布函數值相同；2）正態化前后在設計驗算點處的概率密度函數值相等，見圖3所示。

關于混凝土的劣化問題人們很早就有察覺并做了相應的研究。混凝土的耐久性很大程度取決于其自身的多孔性和滲透性，從而引發凍融破壞、堿骨料反應、中性化、氯鹽腐蝕等等一系列問題，并得到了相應的劣化函數[17-18]。

3 算例測試

3.1 準確性與高效性驗證

3.1.1 靜定結構算例

圖4給出一受隨機荷載作用的靜定結構。其中，構件①為桁架單元，構件②～④為梁單元。假設隨機荷載呈正態分布，荷載均值分別為P1=20 kN，P2=20 kN，P3=2 kN，L=1 m。使用材料為鋼材，強度標準值為235 MPa，彈性模量為2.06×105 MPa，荷載和材料強度的變異系數均取0.1。為模擬橋梁中活載作用下結構的內力正反效應，這里將P3分向下和向上2個作用方向分別進行工況分析。圖4僅給出了向下作用載荷工況。

經系統可靠度分析，2種工況下，結構第1種失效模式為②、③、④構件彎剪組合失效，第2種失效模式為①構件受壓失效。2種失效模式間等效為串聯。

取結構體系可靠度界限指標為2，以造價最低為目標，針對I型截面分別采用傳統優化方案和新型分步優化方案進行結構優化設計，迭代過程見圖5、圖6和圖7。

由圖5和圖6可知，新型方案和傳統方案的在獲得最優解（☆標注）的過程中均經過了多次迭代。優化初期，基于相同的截面初值，因構件②、③的截面彎矩大于構件④，可靠度指標很小，為滿足目標可靠度指標的約束條件，截面尺寸需加大，可靠指標度初期提升明顯，而構件④由于彎矩較小，初始可靠度指標較高，為獲得整體造價最低，可靠度指標初期迅速降低，構件①僅受軸力，截面需求不高，故初期亦下降明顯。新方案第1步優化模型最優結果與老方案優化結果十分接近，說明新型方案的計算精度是有保障的；同時，從各構件最優結果對比可發現，②構件可靠度值最小，究其原因，其作用效應最大，單位可靠度花費自然最高，為滿足總體結構造價最低，截面尺寸必然最小，而構件④恰好與其相反。顯然，結構體系最終失效模式表現為構件②的彎剪組合失效。

圖7以構件③為例，選取與傳統優化方案相同的I型截面，給出了利用第2步模型基于第1步優化結果進行與截面造型有關的基本尺寸變量的優化曲線。最優設計尺寸對應的可靠度指標為2.62，與第1步優化結果可靠度指標2.58吻合很好。

從計算效率看，圖5中傳統優化方案直接以截面設計尺寸為優化變量，耗時300 s時搜索過程結束，從中獲得最優解。根據圖6和圖7可知，新型優化方案結構整體第1步優化時長30 s，第2步優化時長50 s，2步總計80 s時搜索過程結束，從中得出最優解。可見新型優化方案運算效率還是較高的。

3.1.2 超靜定結構算例

圖8為一帶系桿的兩鉸拱，跨徑[L=2 m]，荷載P = 10 kN。主拱和系桿均為復雜截面。系桿、主拱橫截面面積分別為[A1]和[A2]，主拱抗彎慣矩為[I2]，中性軸距離截面上下緣的最大距離分別為[hs2]和[hx2]。材料為鋼材，強度標準值為235 MPa，彈性模量為2.06×105 MPa，拱頂處受集中荷載P作用。荷載和材料特性變異系數均取0.1，結構體系最低可靠度界限指標為2。

圖9、圖10和圖11給出了體系中主拱和系桿新老方案優化過程中的可靠度變化情況。結構體系可靠度界限指標為2，構件為I型截面。

由圖9和圖10可見，傳統方案和新型方案優化過程中的變化趨勢基本相同。在構件初值相同的條件下，主拱彎矩、軸力作用效應遠大于系桿，使得系桿初始可靠度值大大高于主拱，在滿足可靠度約束的條件下，為獲得最低的造價，系桿可靠度指標迅速下降。由于主拱造價占結構體系總造價的比例較高，在達到最優結果時（☆標注），其可靠度值相對于系桿較低，這也充分體現了系桿拱橋中系桿的重要性，確保體系在拱腳處不出現無水平推力。

圖11以主拱為例，同樣選取I型截面，給出了利用第2步模型基于第1步優化結果進行與截面造型有關的基本尺寸變量的優化曲線，最優解對應的可靠度指標為2.09，與第1步優化結果可靠度指標2.10十分接近，滿足可靠度邊界條件。

從計算效率看，圖9中傳統優化方案達到2 200 s時停止優化搜索，從中得出直接以截面設計尺寸為優化變量的最優解。而從圖10和圖11可知，新型優化方案第1步優化時長130 s，第2步時長470 s，總計600 s時搜索過程結束，從中得出最優解。可見，對本超靜定結構算例來說，新型優化方案高效性亦十分明顯。

需要指出的是，由于橋梁結構在實際實施中，梁寬與梁高受到橋面寬度以及橋下凈空等諸多條件的限制，第2步優化模型可根據實際工程情況適當增加邊界條件，以使優化出的截面基本尺寸更加合理符合現實需求。如對I型截面，可設定邊界條件[b1>b2]，[b3>b2]，避免出現“中”型截面；對箱型截面，可增設[b3>2b2]，[h2>h3]邊界條件，防止優化截面出現異常。同時，第2步優化中應突出對關乎造價的截面面積差值的懲罰，以與第1步的優化目標相協調。

3.2 考慮壽命期劣化效應的影響

為確保結構具有足夠的耐久性，結構最終初始設計尺寸應計入結構在服役期內的劣化效應，即有必要實施新型方案的第3步。這里選取Kayser等人給出的鋼材劣化函數

[C=AtB]， （23）式中：[C]為鋼材的平均銹蝕厚度，單位μm；[t]為時間，單位a；[A]和[B]為影響腐蝕的系數，與環境及鋼材種類有關。

以I型截面為例，根據式（23）可獲得100 a壽命期內結構劣化效應尺寸量[ΔX]，利用式（22）反向累加得到結構初始設計尺寸。表1給出了靜定結構算例考慮劣化效應后I型截面設計尺寸初值。

4 結論

1）通過引入與截面造型無關的中間設計變量，構建了基于可靠性約束的分步優化模型，改善了傳統直接以構件截面尺寸為設計變量進行迭代優化，對截面造型復雜且構件數量眾多結構效率較低的問題。

2）基于分步優化模型，通過分別對靜定和超靜定結構算例進行測試，檢驗了模型的精度與效率。且優化模型無需提前獲知結構大致尺寸，一定程度上降低了設計人員的工作強度。

3）基于劣化函數，采用反演累加的方式，考慮了結構劣化對結構基本設計尺寸帶來的影響，獲得了壽命期內具有足夠耐久性的橋梁設計方案，方法簡單、便于操作。

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[責任編輯 楊 屹]