具非均勻剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)的同步分析

李娜 劉輝昭

摘要 討論了具非均勻剪切項(xiàng)的全局耦合相位振子系統(tǒng)由非同步狀態(tài)向同步狀態(tài)轉(zhuǎn)變的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其中剪切項(xiàng)的強(qiáng)度服從洛倫茲分布。利用改進(jìn)的Kuramoto模型，通過(guò)運(yùn)用OA約化方法，得到了相位振子系統(tǒng)的約化方程，進(jìn)而利用微分方程的穩(wěn)定性理論，得到了系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差閾值，這里得到標(biāo)準(zhǔn)差閾值方法與現(xiàn)有文獻(xiàn)中通過(guò)構(gòu)造擬設(shè)的方法所求得標(biāo)準(zhǔn)差閾值方法更為一般，此外還通過(guò)作出約化方程的波形圖、相圖以及序參量隨時(shí)間變化的圖像來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證所得結(jié)果。當(dāng)剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差超過(guò)該閾值時(shí)，系統(tǒng)在任意耦合強(qiáng)度下不可能同步，當(dāng)剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差小于該閾值時(shí)，系統(tǒng)在耦合強(qiáng)度超過(guò)某一定值時(shí)會(huì)產(chǎn)生同步。這與在無(wú)剪切項(xiàng)作用下，系統(tǒng)可以通過(guò)調(diào)整耦合強(qiáng)度最終達(dá)到同步狀態(tài)的結(jié)果不同，說(shuō)明了剪切項(xiàng)對(duì)耦合相位振子系統(tǒng)具有重要的影響。

關(guān) 鍵 詞 耦合振子系統(tǒng)；Kuramoto模型；剪切項(xiàng)；標(biāo)準(zhǔn)差閾值；同步

中圖分類(lèi)號(hào) O29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

同步現(xiàn)象涉及物理、生物、化學(xué)等自然科學(xué)、工程學(xué)甚至社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域[1-6]。該類(lèi)問(wèn)題最早是由惠更斯于1673年發(fā)現(xiàn)2個(gè)相鄰的鐘擺出現(xiàn)同步擺動(dòng)而引發(fā)學(xué)者廣泛關(guān)注。1955年，Wiener[7]開(kāi)始在數(shù)學(xué)上來(lái)研究含大量耦合振子的系統(tǒng)同步現(xiàn)象。1967年Winfree[8]利用平均場(chǎng)理論給出了簡(jiǎn)化的耦合振子摸型。1975年，Kuramoto[9]在Winfree的研究基礎(chǔ)上提出了如式（1）的全局耦合相位振子平均場(chǎng)模型：

[θi（t）=ωi+KNj=1Nsin（θj（t）-θi（t）），i=1，2，...，N，] （1）

式中：[θi]為第[i]個(gè)振子的相位；[ωi]為第[i]個(gè)振子的滿(mǎn)足一定分布的固有頻率；[N]為系統(tǒng)總振子數(shù)目；[K]為耦合強(qiáng)度。

為了刻畫(huà)系統(tǒng)中振子相位的有序程度，通常引入如式（2）的復(fù)序參量：

[r（t）=R（t）eiψ（t）=N-1k=1Neiθk（t）]， （2）

來(lái)描述系統(tǒng)的有序程度，式中：[ψ（t）]為系統(tǒng)中所有振子的平均相位；[R（t）]表示系統(tǒng)中所有振子的平均振幅。文獻(xiàn)[10]指出，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到完全同步時(shí)，即[θi（t）=θj（t），?i，j=1，2，...，N]，此時(shí)[r（t）=1]；而當(dāng)振子之間相位沒(méi)有固定關(guān)系時(shí)（非同步），在[N→∞]時(shí)，[r（t）=0]，因此序參量可以描述振子系統(tǒng)有序程度。

Kuramoto[11]利用平均場(chǎng)理論得到[r（t）]的自洽方程，進(jìn)而得到如下的結(jié)論：當(dāng)耦合強(qiáng)度從零增加至某一定值[K0]時(shí)，序參量會(huì)經(jīng)歷從零到非零轉(zhuǎn)變，相應(yīng)的系統(tǒng)隨著耦合強(qiáng)度的增加由非同步狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥綘顟B(tài)。

近年來(lái)關(guān)于耦合振子系統(tǒng)的同步研究持續(xù)增多，Tanaka等考慮了系統(tǒng)中有阻尼作用的情況[12-13]，在原模型中添加了慣性項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)在具有阻尼作用下系統(tǒng)出現(xiàn)不連續(xù)的相變和滯后現(xiàn)象，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。文獻(xiàn)[14]研究了振子系統(tǒng)在單向最近鄰耦合項(xiàng)作用下的情況，利用改進(jìn)簡(jiǎn)化的Kuramoto相位模型，發(fā)現(xiàn)振子數(shù)在小于臨界值時(shí)系統(tǒng)只出現(xiàn)同步狀態(tài)或者非同步狀態(tài)，不會(huì)出現(xiàn)部分同步狀態(tài)，而當(dāng)振子數(shù)目大于該臨界值時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)規(guī)律的同步狀態(tài)與非同步狀態(tài)共存的現(xiàn)象，并且對(duì)系統(tǒng)中出現(xiàn)的部分同步狀態(tài)規(guī)律及其穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，得到了部分同步狀態(tài)的漸近穩(wěn)定解。文獻(xiàn)[15]討論了耦合振子系統(tǒng)在具全局耦合作用的網(wǎng)絡(luò)上，分別在有噪聲和無(wú)噪聲的情況下的同步現(xiàn)象，并且得到了相應(yīng)的振子系統(tǒng)平均場(chǎng)的振幅與頻率的顯式解。

剪切項(xiàng)是振子振動(dòng)出現(xiàn)復(fù)雜行為的非常關(guān)鍵的非線(xiàn)性成分[9]，亦是振子系統(tǒng)重要的組成成分，剪切項(xiàng)對(duì)耦合振子系統(tǒng)的作用卻是不可忽視的，但在耦合振子系統(tǒng)中關(guān)于剪切項(xiàng)的研究是稀缺的，所以對(duì)具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)的研究是非常有必要的。在剪切項(xiàng)固定（為常數(shù)）時(shí)，文獻(xiàn)[17]通過(guò)對(duì)實(shí)際的耦合納米機(jī)械振子組成的耦合振子系統(tǒng)的研究，得到系統(tǒng)達(dá)到同步（鎖相）狀態(tài)的邊界解，并得到系統(tǒng)從非同步態(tài)向同步狀態(tài)轉(zhuǎn)化的結(jié)果。

文獻(xiàn)[18]通過(guò)OA流形理論，并利用構(gòu)造擬設(shè)的方法研究了耦合相位振子在非均勻剪切項(xiàng)的作用下振子族之間的同步動(dòng)力學(xué)，得到了臨界耦合強(qiáng)度與剪切強(qiáng)度的關(guān)系式，并說(shuō)明了剪切項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差可能阻礙系統(tǒng)同步的發(fā)生。

本文主要研究振子之間的非均勻剪切項(xiàng)在服從指定分布時(shí)，對(duì)耦合振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響，利用OA流形約化方法以及微分方程定性理論，發(fā)現(xiàn)了在非均勻剪切項(xiàng)作用下，剪切項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)耦合振子系統(tǒng)的同步行為有重要的影響，在超過(guò)剪切項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差的閾值時(shí)，會(huì)阻止系統(tǒng)中振子同步行為的發(fā)生，耦合振子系統(tǒng)處于穩(wěn)定的非同步狀態(tài)。

本文中根據(jù)經(jīng)典的Kuramoto相位模型考慮具非均勻剪切項(xiàng)的全局耦合相位振子系統(tǒng)，系統(tǒng)描述如下[9]，其中振子i所受系統(tǒng)內(nèi)其他振子的非均勻剪切項(xiàng)表示為[qi]：

[θi（t）=ωi+Kqi+KNj=1N[sin（θj（t）-θi（t））-qicos（θj（t）-θi（t））]，i=1，2，...，N]。 （3）

1 理論分析

在系統(tǒng)式（3）中引入復(fù)序參量[r（t）]可得

[θi（t）=ωi+Kqi+KR（t）[sin（ψ（t）-θi（t））-qicos（ψ（t）-θi（t））]]。 （4）

考慮系統(tǒng)在[N→∞]的熱力學(xué)極限情況下，[N]個(gè)耦合振子的運(yùn)動(dòng)由如下的方程描述[19]：

[θ=v（θ，t）]。 （5）

本文中所考慮的具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)式（3）中的速度項(xiàng)[v（θ，t）]為

[v（θ，t）=ω+Kq+K2i（r（t）e-iθ（1-iq）-r*（t）eiθ（1+iq））]。 （6）

引入相位的概率密度函數(shù)[fθ，ω，q，t][20]，則[fθ，ω，q，tdθdωdq]表示振子相位處于[θ]到[θ+dθ]，固有頻率處于[ω]到[ω+dω]，剪切強(qiáng)度處于[q]到[q+dq]之間的振子比率。

[r（t）]是序參量在[t]時(shí)刻的值，可以用來(lái)刻畫(huà)耦合系統(tǒng)在[t]時(shí)刻的狀態(tài)，[r*（t）]表示[r（t）]的共軛

[r（t）=-∞∞-∞∞02πf（θ，ω，q，t）eiθdθdωdq]， （7）

由不存在擴(kuò)散項(xiàng)的Feynman-Kac公式，得到系統(tǒng)式（5）等價(jià)于不帶擴(kuò)散項(xiàng)的Fokker-Planck方程，即連續(xù)方程

[??tf+??θ（vf）=0]。 （8）

由上述討論可得密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]服從連續(xù)方程

[??tf+??θ（{ω+Kq+K2i[r（t）e-iθ（1-iq）-c.c.]}f）=0]， （9）

式中，c.c.代表前一項(xiàng)[r（t）e-iθ（1-iq）]的復(fù)共軛量。

由于密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]是實(shí)的且其中[θ]以[2π]為周期的，可將[fθ，ω，q，t]以傅里葉展開(kāi)式展開(kāi)，得到

[fθ，ω，q，t=p（ω，q）2πl(wèi)=-∞∞fl（ω，q，t）eilθ]， （10）

式中：[fl=f*-l]；[f0=1]；且[p（ω，q）]是固有頻率[ω]和剪切強(qiáng)度[q]的聯(lián)合概率密度函數(shù)。密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]的傅里葉展開(kāi)式的第1項(xiàng)決定了序參量因而十分重要。

[r*（t）=-∞∞-∞∞p（ω，q）f1（ω，q，t）dωdq]。 （11）

將傅里葉展開(kāi)式（10）代入到連續(xù)性方程（9）中可得到

[??tf+il（ω+Kq）fl-Kl2[r*（t）（1+iq）fl-1-r（t）（1-iq）fl+1]=0]， （12）

由Ott和Antonsen發(fā)現(xiàn)下列擬設(shè)是Kuramoto模型帶有固有頻率分布系統(tǒng)式（3）的一個(gè)特殊解[21]

[fl（ω，q，t）=a（ω，q，t）l]。 （13）

由OA流形約化理論[21]，在此處借助于上面得到的積分微分方程（7）、（12），將[a（ω，q，t）]代入到方程（7）、（12）中得到

[?a（ω，q，t）?t+i（ω+kq）a（ω，q，t）+k2[r（t）（1-iq）a（ω，q，t）2-r*（t）（1+iq）]=0]。 （14）

在上述討論中假設(shè)固有頻率[ω]與剪切強(qiáng)度[q]是彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，即有[p（ω，q，t）=g（ω）h（q）]，在本文中取固有頻率[ω]與剪切強(qiáng)度[q]分別具有如下的服從洛倫茲分布的概率密度函數(shù)：

[g（ω）=δπ（ω-ω0）2+δ2，h（q）=γπ（q-q0）2+γ2，] （15）

式中：[ω0]為固有頻率的均值；[δ]為固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差；[q0]為剪切強(qiáng)度的均值；[γ]為剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差。因而[δ]以及[γ]均不小于0，即[δ≥0]和[γ≥0]。

在系統(tǒng)中的振子的固有頻率[ω]以及剪切項(xiàng)的強(qiáng)度[q]分別服從的洛倫茲分布式（15）可以化為下列形式：

[g（ω）=12πi（1ω-ω0-iδ-1ω-ω0+iδ） ，h（q）=12πi（1q-q0-iγ-1q-q0+iγ） 。] （16）

再者，[a（ω，q，t）]在選取適當(dāng)?shù)腫ω]復(fù)平面上是解析延拓的[22]，那么方程（11）可以通過(guò)在復(fù)[ω]平面的下半平面上作一無(wú)窮大的圍道，利用留數(shù)定理可計(jì)算出關(guān)于固有頻率[ω]的極點(diǎn)[ωp=ω0-iδ]的積分值

[r（t）=-∞∞a*（ωp，q，t）h（q）dq]。 （17）

同樣的選取適當(dāng)?shù)腫q]復(fù)平面，使[a（ωp，q，t）]在[q]復(fù)平面上是的解析延拓的，在[q]復(fù)平面的下半平面上利用留數(shù)定理計(jì)算出關(guān)于剪切項(xiàng)強(qiáng)度的極點(diǎn)[qp=q-iγ]的積分

[r（t）=a*（ωp，qp，t）]。 （18）

令式（18）中[ωp=ω0-iδ] ，[qp=q0-iγ]，并將得到結(jié)果代入式（14）中，可以得到具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)的約化方程

[r*（t）=-i（ω0-iδ+K（q0-iγ））r*（t）+K2{r*（t）[1+i（q0-iγ）]-r（t）[1-i（q0-iγ）]r*（t）2}]。 （19）

在接下來(lái)的討論中，不妨考慮振子之間的耦合強(qiáng)度[K>0]。為了使對(duì)復(fù)序參量[r（t）]討論更簡(jiǎn)便直觀，令[r*（t）=x（t）+iy（t）]代入式（19）中可得

[x（t）+iy（t）=-（ω0-iδ+K（q0-iγ））（ix（t）-y（t））+K2{x（t）-（q0-iγ）y（t）+i[（q0-iγ）x（t）+y（t）]-]

[[x（t）-（q0-iγ）y（t）]（x2（t）-y2（t））-i[x（t）-（q0-iγ）y（t）]2x（t）y（t）+]

[i[（q0-iγ）x（t）+y（t）]（x2（t）-y2（t））-[（q0-iγ）x（t）+y（t）]2x（t）y（t）}。] （20）

分離式（20）的實(shí)虛部得到

[x（t）=-（δ+K2（γ-1））x（t）+（ω0+K2q0）y（t）+K2（γ-1）x3（t）-K2q0y3（t）-K2（1-γ）x（t）y2（t）-K2q0x2（t）y（t） ，y（t）=-（ω0+K2q0）x（t）-（δ+K2（γ-1））y（t）+K2q0x3（t）+K2（γ-1）y3（t）+K2q0x（t）y2（t）+K2（γ-1）x2（t）y（t） 。] （21）

微分方程組（21）就是以復(fù)序參量為變量式（19）的等價(jià)方程，亦是具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)式（3）的約化系統(tǒng)。通過(guò)研究等價(jià)方程組（21）的動(dòng)力學(xué)，進(jìn)而研究復(fù)序參量的演化，最終可以得到有關(guān)具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)式（3）的有關(guān)同步狀態(tài)和非同步狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)。

顯然，（0， 0）是微分方程組（21）的平衡點(diǎn)。

再者令

[Φ（x，y）=K2（γ-1）x3（t）-K2q0y3（t）-K2（1-γ）x（t）y2（t）-K2q0x2（t）y（t） ，Ψ（x，y）=K2q0x3（t）+K2（γ-1）y3（t）+K2q0x（t）y2（t）-K2（1-γ）x2（t）y（t） 。] （22）

在（0， 0）鄰域內(nèi)，[Φ（x，y），Ψ（x，y）]對(duì)[x，y]連續(xù)可微，且[Φ（0，0）=Ψ（0，0）=0]，則方程（21）在平衡點(diǎn)（0， 0）處可以得到如下線(xiàn)性近似系統(tǒng)：

[x（t）=-（δ+K2（γ-1））x（t）+（ω0+K2q0）y（t） ，y（t）=-（ω0+K2q0）x（t）-（δ+K2（γ-1））y（t） 。] （23）

線(xiàn)性近似系統(tǒng)式（23）在（0， 0）處行列式為

[I0，0=-（δ+K2（γ-1））-（ω0+K2q0）ω0+K2q0-（δ+K2（γ-1））]。 （24）

可得到特征方程為

[（λ+δ+K2（γ-1））2+（ω0+K2q0）2=0]。 （25）

從而系統(tǒng)式（23）在（0， 0）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征值為

[λ1，2=-δ+K2（1-γ）±i（ω0+K2q0）]。

當(dāng)[Re（λ1，2）<0]時(shí)，即[γ>1-2δK]時(shí)，[（0，0）]點(diǎn)是線(xiàn)性近似系統(tǒng)式（23）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，由于[（0，0）]是原系統(tǒng)式（21）的雙曲平衡點(diǎn)[23]，[Φ（x，y），Ψ（x，y）]在原點(diǎn)鄰域內(nèi)對(duì)[x，y]連續(xù)可微，且[Φ（x，y），Ψ（x，y）=o（r），][r→0（r=x2+y2）]，因此[（0，0）]亦是原系統(tǒng)式（21）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

當(dāng)[Re（λ1，2）=0]，即[γ=1-2δK]時(shí)，對(duì)原系統(tǒng)式（21）進(jìn)行極坐標(biāo)變換化為

[r=K（γ-1）2r3 ，θ=-ω0+Kq02（r2-1） 。] （26）

對(duì)式（26）積分后可得到解為

[r=±1-K（γ-1）t-C1 ，θ=-（ω0+Kq02）t-lntC1K（γ-1）+C2 ，] （27）

式（27）中[C1，C2]為任意常數(shù)。由此可見(jiàn)，當(dāng)[t→+∞]時(shí)，此時(shí)剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差需滿(mǎn)足[γ<1]以保證[r]有意義，[r→0，θ→+∞]，因此[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

當(dāng)[Re（λ1，2）>0]，即[γ>1-2δK]時(shí)， 顯然[（0，0）]在線(xiàn)性近似系統(tǒng)式（23）中是不穩(wěn)定的，從而在系統(tǒng)式（21）中[（0，0）]是不穩(wěn)定的。

通過(guò)以上分析，以及微分方程的定性理論[23]，對(duì)于系統(tǒng)式（21）的平衡點(diǎn)[（0，0）]有如下的結(jié)論：當(dāng)[γ≤1-2δK]時(shí)，[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；而當(dāng) [γ>1-2δK]時(shí)，[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

最后，由前面復(fù)序參量的定義式（2）以及[r*（t）=x（t）+iy（t）]可知，在[（0，0）]點(diǎn)處，此時(shí)[x（t）=0，y（t）=0]，相應(yīng)的復(fù)序參量的模[r（t）=0]，對(duì)應(yīng)的耦合振子系統(tǒng)處于非同步狀態(tài)。

根據(jù)以上分析可以得到，當(dāng)[γ≤1-2δK]時(shí)，具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的非同步狀態(tài)，耦合振子系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生向同步狀態(tài)的轉(zhuǎn)化；當(dāng)[γ>1-2δK] 時(shí)，耦合振子系統(tǒng)處于穩(wěn)定的非同步狀態(tài)，此時(shí)具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)在剪切項(xiàng)的作用下振子不能達(dá)到同步狀態(tài)。故而具剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)的剪切項(xiàng)的強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差的臨界值為[γc=1-2δK]。

下面，通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證本文中得到的結(jié)論。

2 數(shù)值模擬

對(duì)系統(tǒng)式（21）進(jìn)行分析，選取參數(shù)值：[K=2，q0=0.5，ω0=3，δ=0.1]。利用上文理論分析可知剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差臨界值[γc=1-2δK=1-0.1=0.9]。下面通過(guò)MATLAB作出系統(tǒng)式（21）的波形圖與相圖，來(lái)說(shuō)明剪切項(xiàng)強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]對(duì)耦合振子系統(tǒng)同步狀態(tài)的影響，得到與上文分析的結(jié)果是相一致。

通過(guò)選取不同的剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]來(lái)對(duì)比剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)耦合振子系統(tǒng)的同步狀態(tài)與非同步狀態(tài)的穩(wěn)定性的影響。分別取[γ=0]，[γ=0.85]，[γ=0.90]，[γ=0.95]得到結(jié)果如圖1～圖6。

根據(jù)前面參數(shù)選擇可知曉[γc=1-2δK=0.9]，分別取[γ]的值為0，0.85，0.90，0.95，作出系統(tǒng)式（21）的波形圖、相圖以及復(fù)序參量的模值隨時(shí)間變化圖。從圖1可以觀察到，當(dāng)[γ=0]時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)中的剪切項(xiàng)的強(qiáng)度固定（[q]為常數(shù)），系統(tǒng)式（21）平衡點(diǎn)（0， 0）是不穩(wěn)定且有周期解產(chǎn)生，相對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)式（19）處于部分同步狀態(tài)，再者由圖2序參量的的變化趨勢(shì)是在較短的時(shí)間內(nèi)從0向1趨近，可知耦合振子系統(tǒng)從非同步態(tài)迅速地轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的同步態(tài)；隨著[γ]從0增大到0.85，此時(shí)[γ<γc]，由圖3可觀察到系統(tǒng)式（21）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)中的周期解個(gè)數(shù)逐漸增多，相應(yīng)的系統(tǒng)式（19）處于穩(wěn)定的部分同步狀態(tài)，由圖4可知序參量的模值[r（t）]也是從零逐漸趨于某一常數(shù)（大于零），與圖2相比，在相同的耦合強(qiáng)度的作用下，[γ=0]時(shí)序參量[r（t）]在8秒內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值0.97，而在[γ=0.85]時(shí)，序參量[r（t）]在約在100秒達(dá)到定值0.56，說(shuō)明隨著耦合振子系統(tǒng)內(nèi)剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差的增大，耦合振子系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定的同步狀態(tài)或部分同步狀態(tài)所需時(shí)間逐漸增加，系統(tǒng)中振子能達(dá)到的同步的比例是逐漸減小的。當(dāng)[γ]增大至0.90時(shí)，此時(shí)[γ=γc]，由圖5可知系統(tǒng)式（21）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)中周期解的個(gè)數(shù)逐漸的減少到1個(gè)，由圖6序參量的值[r（t）]接近于0，從0.012逐漸減小到0，說(shuō)明在此剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差作用下，耦合振子系統(tǒng)由不穩(wěn)定的非同步狀態(tài)向穩(wěn)定的非同步態(tài)轉(zhuǎn)變；當(dāng)[γ]達(dá)到0.95時(shí)，即此時(shí)[γ>γc]，圖7可觀察到系統(tǒng)式（21）的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，圖8中序參量[r（t）]接近于1，且在一段時(shí)間內(nèi)能較快速地趨于0，即對(duì)應(yīng)的振子系統(tǒng)較快的達(dá)到穩(wěn)定的非同步狀態(tài)。由以上分析，可以說(shuō)明在耦合強(qiáng)度一定時(shí)，剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]從零增大到[1-2δK]，耦合振子系統(tǒng)是處于同步或部分同步的狀態(tài)，但超過(guò)該值時(shí)，耦合振子系統(tǒng)處于非同步狀態(tài)，以上分析結(jié)果與前文中結(jié)論相一致。

本節(jié)中對(duì)具服從指定分布函數(shù)剪切項(xiàng)的耦合振子系統(tǒng)應(yīng)用Matlab做出數(shù)值模擬結(jié)果，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)值分別畫(huà)出了系統(tǒng)的波形圖與相圖，研究剪切項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)耦合振子系統(tǒng)同步狀態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)能較好的說(shuō)明之前得到的關(guān)于具剪切項(xiàng)耦合陣子系統(tǒng)的剪切項(xiàng)強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)系統(tǒng)同步有極大的影響，驗(yàn)證了存在剪切項(xiàng)的臨界標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)耦合振子系統(tǒng)在超過(guò)這一臨界值時(shí)，系統(tǒng)就不能達(dá)到同步狀態(tài)。并且也作出復(fù)序參量在一定的剪切項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差下隨時(shí)間變化趨勢(shì)的圖像，進(jìn)一步說(shuō)明了在剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差超過(guò)臨界值時(shí)，耦合振子系統(tǒng)在非均勻剪切項(xiàng)作用下不能達(dá)到同步狀態(tài)。

3 結(jié)論

本文利用改進(jìn)的Kuramoto模型研究了具非均勻剪切項(xiàng)對(duì)全局耦合相位振子系統(tǒng)同步行為的影響以及作用，通過(guò)引入序參量來(lái)描述系統(tǒng)的同步（有序）程度，得到關(guān)于序參量的微分方程組。通過(guò)對(duì)該方程組的穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性與剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系，從而揭示了具剪切項(xiàng)Kuramoto系統(tǒng)的剪切強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)同步的影響。利用數(shù)值模擬，進(jìn)一步證明了剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差在較大時(shí)會(huì)阻止耦合振子系統(tǒng)的同步，使耦合振子系統(tǒng)在充分大的耦合強(qiáng)度作用下保持非同步狀態(tài)。本文方法更具一般性.本文研究的是具剪切項(xiàng)的全局耦合的Kuramoto模型，而在耦合結(jié)構(gòu)不同時(shí)，例如局部耦合結(jié)構(gòu)下，具剪切項(xiàng)的振子系統(tǒng)的同步動(dòng)力學(xué)行為以及剪切項(xiàng)對(duì)耦合振子系統(tǒng)同步的影響等將在今后工作中深入研究。

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[責(zé)任編輯 楊 屹]