過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構設計與分析

韓 博，許允斗,2，姚建濤,2，*，張 碩，鄭 東，趙永生,2

(1.燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著航天事業的不斷發展，空間可展開機構在深空探測、衛星通信以及軍事偵查等領域得到了廣泛應用[1]。空間可展開機構在深空探測領域的一個重要應用是作為大口徑空間可展開天線的支撐機構，大口徑空間可展開天線多采用網狀反射面與桁架式支撐背架相結合的形式，這樣可以使其不僅有較小的質量，而且其展開收攏比較高。目前在軌運行的大口徑空間可展開天線主要有四面體構架式可展開天線、周邊桁架式可展開天線以及徑向肋式可展開天線等[2-5]，大口徑空間可展開天線的研發設計已經逐漸成為了航天領域的研究熱點之一。

深空探測領域需要大口徑天線與地面之間實現通訊和數據傳輸[6-9]，LU等[10]采用Hoekens直線單元機構組成了一種平面可展天線結構，楊毅和張武翔[11]通過組合空間對稱型6R(R表示轉動副)機構得到了一類平板式可展開天線機構， VU等[12]基于金字塔式可展開單元組合得到了多種平面可展開天線機構。在眾多類型的可展開天線中，周邊桁架式可展開天線具有折疊比大、質量較小、質量不隨口徑的增大而成比例增加的特點，在空間幾十米甚至百米量級大口徑可展開天線中具有顯著優勢[13-15]。美國于2000年發射了AstroMesh折展天線[16]，這是大口徑周邊桁架式可展開天線的早期在軌應用的范例；Escrig F最早在1985年提出了Pactruss雙層桁架可展開機構[17]，該結構含有內外兩層桁架，可顯著提升整體機構的結構剛度；Datashvili L等成功研制了口徑為六米的雙層縮放式可展桁架[18]。

目前，我國在大口徑可展開天線領域的研究還處于起步階段，相關研究也較少。關富玲等[19-20]研制了單雙層周邊桁架式可展開天線與四面體單元桁架式可展開天線原理樣機；文獻[21]基于一種改進型的剪叉機構構造了具有內外雙層的環形桁架可展天線機構，但是其中含有多個移動副，與全轉動副桁架機構相比運動流暢性較差；吳明兒等[22]研發了一種口徑為兩米的雙層周邊桁架樣機，其兩個口徑不同的內外層可展桁架結構亦是通過剪叉機構單元相連接；史創等[23]分析了周邊桁架機構的組合原理，并基于曲柄滑塊式平面可展開機構單元設計了單雙層周邊桁架可展開天線樣機。

相關人員在大口徑空間可展開天線領域做了大量研究，但是目前在軌運行的大口徑空間可展開天線仍然較少。本文基于過約束剪鉸式機構單元，設計了一種過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構，分析了其構型機理及過約束特征，推導出了其滿足雙層周邊桁架形式的幾何條件，同時基于螺旋理論[24]對其進行了自由度分析，最后通過軟件仿真模擬了展開過程，驗證了其可展性。本文的研究旨在豐富大口徑空間可展開天線機構的結構類型，并為此類可展開機構的設計與分析提供參考。

1 過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構構型設計

過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構如圖1所示，其主要包括內層桁架、外層桁架和多個內外層桁架連接單元，其內層桁架機構和外層桁架機構均呈環狀，組成內外層桁架機構的基本可展單元均為過約束剪鉸式機構單元，內外層桁架連接機構為非對稱剪鉸式機構單元。

圖1 過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構
Fig.1 Overconstrained scissors double-hoop truss deployable antenna mechanism

圖1中左圖所示為此過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構完全展開狀態，右圖為完全收攏狀態，由圖1可以看出，此機構可以分為多個投影視圖為等腰梯形的閉環可展開機構單元，多個閉環可展開機構單元依次連接組成整個雙層周邊桁架機構。每個閉環可展開機構單元由一個內層過約束剪鉸式機構單元，一個外層過約束剪鉸式機構單元和兩組連接內外層桁架單元的非對稱剪鉸式機構單元通過節點連接件連接組成，如圖2所示。

圖2 閉環可展開機構單元
Fig.2 Closed-loop deployable mechanism unit

閉環可展開機構單元的平面投影視圖為等腰梯形，不同類型的剪鉸式機構單元分布在其4個側面上，在整體機構的收攏與展開運動過程中，閉環可展開機構單元的平面投影圖始終為等腰梯形，且運動后的各個側面與運動前各個側面始終平行，各剪鉸式機構單元均為平面機構單元，在運動過程中只在可展開機構單元的各個側面上運動?？烧归_機構單元前后2個面上的機構單元結構相同，均為過約束剪較式機構單元，只是桿件尺寸不同，兩個側面上機構為結構與尺寸均相同的非對稱剪鉸式機構單元，如圖3所示。

圖3 非對稱剪鉸式機構單元及過約束剪鉸式機構單元
Fig.3 Asymmetric scissors mechanism unit and overconstrained scissors mechanism unit

過約束剪鉸式機構單元及其結構組成如圖4所示，其為中心對稱機構，共含有11個轉動副，由一個對稱剪鉸式5R機構和兩個平面3R機構組成，通過節點連接件連接，對稱剪鉸式5R機構上的4個轉動副與2個平面3R機構兩端的4個轉動副軸線重合。由于對稱剪鉸式5R機構為平面運動機構，運動副的約束使其只能在一個平面內運動，其他方向的運動被約束掉，在剪式鉸開合收攏運動過程中其相鄰端點之間的相對運動軌跡為直線運動，兩個端點相互靠近或遠離，而平面3R機構為平面內三自由度運動機構，對平面內運動無約束，可視為冗余分支機構，其針對平面外其他方向的運動提供約束，因此當對稱剪鉸式5R機構與平面3R機構組合時，剪叉機構上的四個端點的運動性質不變。

圖4 剪式鉸機構端點相對運動軌跡
Fig.4 Endpoint relative motion trajectory of the scissors mechanism

由圖4可以看出，非對稱剪鉸式機構單元以及過約束剪鉸式機構單元所含運動副均為轉動副，因而裝配制造工藝性較好，這也是本文中機構構型與文獻[21]中構型的區別所在。對于位于剪式鉸機構4個端點處的節點連接件而言，對稱剪鉸式5R機構提供給它的約束與平面3R機構提供給它的約束相同，即節點連接件所受的約束重復限制了其自身的運動，因此組合后的剪鉸式機構單元為過約束機構，同樣由過約束剪鉸式機構單元組合而成的其他機構亦為過約束機構。

過約束的存在對機構的運動沒有影響，卻可以大大提高機構的剛度，當平面3R機構運動到3個轉動副中心點共線時，過約束剪鉸式機構單元處于完全展開狀態，此時亦為其邊界奇異位形狀態，當其組合成雙層周邊桁架機構時，如圖5所示，若沿豎直方向給機構施加一個作用力，機構在這一位置的傳動角為0°，壓力角為90°，各個關節不能運動，整體機構退化為自由度為0的結構，可依靠結構中的各個桿件自身抵消外力的作用，而在關節處不需要提供額外的驅動力矩，此時機構具有較好的結構剛度和力學性能。

2 雙層周邊桁架機構組合條件分析

雙層周邊桁架機構的運動過程為機構展開與收攏，機構收攏時，從整體機構平面投影圖上看為平面多邊形的各個頂點相互靠攏，同時伴隨有各個頂點向中心運動的過程，最終相鄰頂點重合共同運動到中心點處，完成整個收攏過程，如圖6所示。

圖5 完全展開狀態
Fig.5 Fully deployed state

圖6 雙層周邊桁架機構收攏過程
Fig.6 Folding process of the double-hoop truss mechanism

在平面投影圖中整個雙層周邊桁架機構可以分為多個完全相同的等腰梯形單元，如圖6所示， 單元ABCD各個邊上的2個節點互相靠攏，收攏為A1B1C1D1單元，進而收攏到最小狀態，其他單元的收展過程與其相同，這里以ABCD單元為例，考慮節點連接件尺寸，分析雙層周邊桁架機構的組合條件，由于在過約束剪較式機構單元中，3R機構為平面無約束冗余支鏈，且僅位于一個平面中，對閉環可展開機構單元的組合條件無影響，因此分析時可以將其簡化，以內外層對稱剪鉸式5R機構和中間連接層非對稱剪鉸式5R機構來分析整體雙層周邊桁架的組合條件。雙層周邊桁架機構中的基本可展開單元投影圖如圖7所示，六面體單元所對應的圓心角為2α，截面ABCD為等腰梯形。

圖7 閉環可展開機構單元投影圖
Fig.7 Projection of the closed-loop deployable mechanism unit

為保證內外層過約束剪鉸式機構單元以及中間層非對稱剪鉸式7R機構可以連接成基本可展開單元進而組成雙層周邊桁架機構，考慮到剪鉸式機構桿件對稱性以及機構中節點連接件的尺寸，各桿件長度及夾角如圖8所示。

圖8 剪式鉸機構幾何特征
Fig.8 Geometric features of the scissors mechanism

如圖8所示，內外層剪式鉸機構桿件的長度分別為2l和2L，中心轉動副位于其中間位置處，中間連接層剪式鉸機構桿件的長度為l+L，中心轉動副將桿件分為兩段，一段長度為l，另一段長度為L，內外層剪式鉸機構和中間層剪式鉸機構中兩個剪叉桿的夾角均為θ；考慮節點連接件尺寸，內層節點連接件上轉動副軸線與節點連接件中心點之間的距離為m，外層節點連接件上轉動副軸線軸線與節點連接件中心點之間的距離為n。

由圖7可得

CD=AB+2ADsinα,

(1)

由圖8可得

(2)

由式(2)可得

AD=(AB+CD)/2,

(3)

聯立式(1)～(3)可解得

(4)

即

lsin(θ/2)+m=

(5)

式(5)中只有一個等式，卻有4個未知量，因此無法得到l和L以及m和n的比例關系的通解，但是可以通過求特解的方式得到兩個比例關系，令等式(5)左側第一項和右側第一項相等，左側第二項和右側第二項相等，可得

(6)

從而可以得到最終比例關系：

(7)

若整個雙層周邊桁架機構由N個閉環可展開機構單元組成，則有2α=360/N，進而得到內外層剪式鉸機構桿件長度以及節點連接件尺寸最終比例關系式為

(8)

式(8)即為雙層周邊桁架機構組合所需滿足的幾何條件，可以看出，內外層剪式鉸機構桿件長度以及節點連接件尺寸的最終比例關系不為定值，而是與雙層周邊桁架整體所含閉環可展開機構單元數目N有關，當閉環可展開機構單元數目N取不同值時，內外層剪式鉸機構桿件長度及節點連接件尺寸的比例關系如圖9所示。

圖9 比例值隨單元數目的變化
Fig.9 Proportional value varies with the number of units

從圖9中可以看出，隨著整體雙層周邊桁架機構中閉環可展開機構單元數目的增加，內外層剪式鉸機構桿件長度及節點連接件尺寸的比例值不斷增大，但是不會超過1，即內外層桿件長度差值及節點連接件尺寸差值不斷減小，但是內層桿件長度及節點連接件尺寸總是小于外層桿件的長度以及節點連接件的尺寸。

3 雙層周邊桁架機構自由度分析

過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展開天線機構，其具有高度的結構對稱性，其運動輸出構件為各個節點連接件，即整體桁架機構的運動輸出構件有多個，同時整個雙層周邊桁架機構可以分為多個完全相同的閉環可展開機構單元，因此可通過分析單個閉環可展開機構單元的自由度，得出可展單元中各個節點連接件的運動形式，進而分析整個周邊桁架機構收展過程。

由于平面3R機構為無約束冗余支鏈，并不影響節點連接件的運動，因此在計算自由度時可以將其略去，以簡化分析過程。去掉3R機構的閉環剪鉸式可展開機構單元如圖10所示，A～H表示8個節點連接件，M、N、P、Q表示4個剪式機構中的轉動副。

圖10 去掉3R機構的閉環可展開機構單元
Fig.10 Closed-loop scissors mechanism without 3R mechanism

每個節點連接件均連接有兩個剪式較機構，因此可將上下相鄰的兩個節點連接件看作含有兩個分支的并聯機構，即2-RRR并聯機構，進而分析其自由度。以節點連接件H為例，如圖11所示，其通過HNC支鏈以及HPC支鏈同節點連接件C相連，HNC支鏈和HPC支鏈均為3R支鏈。

建立如圖11所示的坐標系O-XYZ，原點O位于節點連接件C上，X軸為CD連線方向，Z軸豎直向上(CH連線方向)，Y軸由右手定則確定，由第2章中的設定，連桿CE長度為2L，連桿CG長度為l+L，內外層節點連接件尺寸分別為m和n，同時由圖中幾何關系可以得到節點連接件C和B的連線的投影線與坐標系Y軸的夾角為α。設定剪叉桿CE與X軸的夾角為β，則在圖11中，轉動副P處的位置坐標可以得出：

rP=(n+Lcosβ0Lsinβ),

(9)

轉動副P的轉軸所在軸線方向為

SP=(0 1 0),

(10)

根據螺旋理論，可得轉動副P的單位運動旋量表達式為

$P=[0 1 0 -

Lsinβ0n+Lcosβ]T。

(11)

圖11 節點C和H的連接支鏈及其坐標系
Fig.11 The branches connected the nodesCandHand the coordinate system

同理可以通過列寫其他運動副軸線方向以及位置坐標從而計算得到其他運動副的運動螺旋，將HPC支鏈視為支鏈1，HNC支鏈視為支鏈2，則支鏈1的運動螺旋系為

(12)

式(12)中第2個運動螺旋即為前面求出的運動副P處的運動螺旋，基于螺旋互易原理，對支鏈1的運動螺旋系求反螺旋可得其約束螺旋的基礎解系為

(13)

同理可對HNC支鏈的運動螺旋系求反螺旋得到其約束螺旋基礎解系：

(14)

兩條支鏈對節點連接件H施加的約束螺旋系中的螺旋中有兩個相同，將相同的約束螺旋去除一個，得到兩支鏈作用在節點連接件H上的整體約束螺旋系為

(15)

對式(15)中約束螺旋系再次求反螺旋得

$=[0 0 0 0 0 1]T。

(16)

分析式(16)中運動螺旋可得，運動螺旋為Z軸方向的移動，即節點連接件H相對于節點連接件C只能在CH連線上移動，和節點連接件C相互靠近或遠離，因此在圖11所示閉環可展開機構單元中，節點連接件A和F、B和G、C和H、D和E之間的相對運動在任意瞬時均為沿著相互連線的移動，由于剪鉸式機構也只有平面內展開與合并一個自由度，所以整個閉環剪鉸式可展開機構單元只有一個展開與收攏的自由度。

以節點連接件C為固定參考，各節點連接件節點在整個機構單元展開與收攏過程中的相對運動軌跡如圖12所示，其中各點劃線雙箭頭表示所連接節點連接件點的相對運動軌跡。

由圖12可以看出，在閉環可展開機構單元中，以節點連接件C為固定參考收攏時，節點連接件A、B、D均運動到C點，節點連接件E、F、G、H均運動到O點，整個單元收攏為一條空間直線CO，閉環可展開機構單元只有一個收展運動自由度，當添加3R機構支鏈將剪式鉸機構變為過約束剪鉸式可展開機構單元后，所組成的閉環可展開機構單元亦只有一個收展運動自由度。

整個雙層周邊桁架機構為中心對稱機構，各個節點連接件均被相鄰的兩個閉環可展開機構單元所共用，上下節點連接件連接有三個剪式鉸機構，可以看成是3-RRR并聯機構，基于螺旋理論，可以分析得知3-RRR并聯機構和2-RRR并聯機構自由度性質相同[24]，因此組環前后閉環可展開機構單元自由度無變化，整個雙層周邊桁架機構自由度數目與單個閉環可展開機構單元自由度數目相同，即只有一個收展運動自由度。

圖12 各節點連接件點在展開和收攏過程中的相對運動軌跡
Fig.12 Trajectories of the nodes in deploying and folding processes

4 雙層周邊桁架機構展開過程仿真驗證

為了驗證整個過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展開天線機構的可展性以及前面理論分析的正確性，在Solidworks軟件中建立三維仿真模型，對其進行運動仿真驗證，其結構及物理參數如表1所示。

對整體機構添加一個驅動，整個雙層周邊桁架機構由完全收攏狀態到完全展開狀態的過程如圖13所示。

通過圖13可以看出，對整體機構添加一個驅動，整體雙層周邊桁架機構便可完全展開，仿真驗證了前述自由度分析的正確性。

圖13 雙層周邊桁架機構展開過程
Fig.13 Deploying process of the double-hoop truss mechanism

5 結論

1) 基于過約束剪鉸式機構單元構造了一種過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展天線機構，分析了雙層周邊桁架機構的構型及過約束特征，對整體桁架機構進行了單元劃分，將其分解為多個閉環可展開機構單元。

2) 考慮節點連接件的尺寸，推導出了過約束剪鉸式雙層周邊桁架機構的組合條件，結果得到內外層剪式桿長度以及內外層節點連接件尺寸的比例關系，其與整體桁架機構所含閉環可展開機構單元數目N有關。

3) 分析了整體桁架機構的運動過程及特點，基于螺旋理論分析了閉環可展開機構單元的自由度及運動特性，結果表明閉環可展開機構單元與過約束剪鉸式雙層周邊桁架機構均只有一個收展運動自由度。

4) 建立了過約束剪鉸式雙層周邊桁架機構的整體仿真模型，模擬了整個雙層周邊桁架機構的收攏與展開過程，驗證了其整體的可展性。

5) 過約束剪鉸式雙層周邊桁架可展開天線機構所含運動副均為轉動副，具有單自由度與高剛度的特點，可較好地應用于深空探測領域。