蒙特卡羅模擬技術(shù)在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

韓猛

（內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

0 引言

借助計算機(jī)驅(qū)動的隨機(jī)模擬技術(shù)來講授計量經(jīng)濟(jì)學(xué)是幫助學(xué)生加深理解計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法的有效途徑之一。通常，對于剛開始接觸計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的學(xué)生而言，因為理論的復(fù)雜性或理解能力的差異，準(zhǔn)確地理解相關(guān)理論并不是一件容易的事情。這個時候，我們往往需要借助經(jīng)驗方法來幫助學(xué)生加深理解，這就要求我們必須找到若干合理的實際案例，但這通常是一個不可能的提議。因此，通過蒙特卡羅模擬技術(shù)來生成符合我們模型設(shè)定的數(shù)據(jù)就成了一種可行的有效方法。

本文重點演示了計算機(jī)編程和蒙特卡羅模擬技術(shù)如何為計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論教學(xué)服務(wù)。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，本文將以案例的形式展示評估計量經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)過程中普通最小二乘估計量的統(tǒng)計性質(zhì)以及基于R 的基本實現(xiàn)問題。

Mooney（1997）最早提出了關(guān)于蒙特卡羅模擬技術(shù)的基本分析框架，這一分析框架基本上包含以下五個步驟：①基于實際問題構(gòu)造隨機(jī)模型；②根據(jù)隨機(jī)模型中隨機(jī)變量的分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；③根據(jù)隨機(jī)模型的特點和隨機(jī)變量的分布假設(shè)，選擇合適的抽樣方法對隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣；④根據(jù)隨機(jī)模型進(jìn)行仿真試驗，求出問題的隨機(jī)解；⑤對試驗結(jié)果進(jìn)行評估。本文將在這一框架內(nèi)給出一個完整的蒙特卡羅分析框架及其案例演示。

1 蒙特卡羅模擬算法

這里，本文將以經(jīng)典線性回歸模型為例給出蒙特卡羅分析框架。記線性回歸模型為：

這里y 是n×1 維被解釋變量，x 是n×k 維解釋變量，β 是未知的k×1 維參數(shù)，ε 為n×1 維殘差向量。以上線性回歸模通常滿足如下假設(shè)：

A.2 x 為非隨機(jī)矩陣，且滿足cov(x,ε)=0；

A.3 x 是一列滿秩矩陣。

基于以上假設(shè)條件，參數(shù)β 的最小二乘估計為：

在隨機(jī)模擬試驗中，我們關(guān)心的兩個統(tǒng)計量評價標(biāo)準(zhǔn)：

基于以上理論模型，我們可以依照以下步驟進(jìn)行蒙特卡羅試驗：

Step 1.設(shè)定參數(shù)向量β 的真值，選定樣本量n；在假設(shè)A.1-A.3 下，生成殘差向量ε 以及解釋變量x；根據(jù)式（1）計算解釋變量值y。

Step 2.利用式（2）求β 的OLS 估計值；計算模擬標(biāo)準(zhǔn)

Step 3. 重復(fù)以上模擬試驗(K-1) 次，獲得L 個bias(β^ols)和var(β^ols)的估計值，在重復(fù)試驗過程中，保持n、k、β 以及x 不變。

Step 4.求解蒙特卡羅估計值：

Step 5.對模擬結(jié)果進(jìn)行檢查,評估模擬結(jié)果和理論是否一致。

2 線性回歸模型OLS估計和GLS估計的蒙特卡羅模擬試驗

經(jīng)典的線性回歸模型通常假設(shè)ε 滿足高斯假定，這一假定往往太過于嚴(yán)格，當(dāng)這一假定不成立時，OLS估計量不再具有有效性，這一結(jié)論在理論上易于證明，但確無法通過實證驗證。在這一節(jié)中，本文將基于蒙特卡羅模擬技術(shù)演示當(dāng)殘差項不滿足A.1 條件時傳統(tǒng)的OLS 估計方法為什么是無效的。為此，我們保持上述A.2 和A.3 不變，A.1 替換為如下A.4：

A.4 εi=ρεi-1+ηi，一階自相關(guān)系數(shù)ρ 滿足|ρ|＜1，殘 差 項 ηi滿 足 E(ηi)=0 ，E(ηiεi-1)=0 ，以 及

基于以上設(shè)定，參數(shù)β 的的OLS 和GLS 估計分別為：

以下模擬過程中，設(shè)定β=(1,1)′，n=5,15,30,50，ρ=0.5,0.9 以及=1,5。基于以上蒙特卡羅算法，我們可以給出如表1 的模擬結(jié)論。

從表1 可以看出，在所有的模擬設(shè)定情況下，GLS估計的方差都小于OLS 估計的方差。此外，OLS 和GLS 估計的方差隨著σ2η和ρ 的增大而增大。但是當(dāng)n增加時，估計的方差減小。而所有估計的偏差值在所有模擬情況下都非常接近于零。

表1

3 結(jié)語

蒙特卡羅模擬技術(shù)為計量經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)提供了豐富的工具資源。在教學(xué)過程中，如何教學(xué)生有效地構(gòu)造蒙特卡羅模擬算法是一項非常有挑戰(zhàn)性的工作，可以想象，在本科和研究生階段的課程中，把掌握蒙特卡羅模擬技術(shù)作為教學(xué)要求的一部分，不僅可以提高學(xué)生對理論方法的直觀理解，還可以幫助學(xué)生掌握一種有效的分析工具。