信號頻域變換的教學方法思考

米吉提·阿不里米提，吾米提·尤努斯，艾斯卡爾·艾木都拉

（新疆大學信息科學與工程學院，烏魯木齊830046）

0 引言

信號處理是信息處理與通信系統專業學生重點學習內容。其中重點及難點是信號的變換域。該內容較多、概念抽象、理論性強、物理概念抽象、用到的數學工具多。信號的變換相關的基礎課程包括了幾乎所有的核心課程，如信號與系統、數字信號處理、語音信號處理、數字圖像處理、通信原理等。信號的變換域需要講解的最主要的內容肯定是傅立葉變換，所有專業課程肯定會講解或應用傅立葉變換。

但是，根據個人對本科大三年紀學生（尤其是少數民族學生）的提問調查當中發現，大部分學生對概念的理解有很大缺陷。提問很簡單：“傅立葉變換到底做什么？”。除了少部分學生回答：“傅立葉變換將時域信號轉換成頻域信號”之外，大部分學生答不出，或給出的答案是：“傅立葉變換將模擬信號變換成數字（或離散）信號”。奇怪的是，所有學生都能正確寫出傅立葉變換的普遍公式。調查結果是出乎意料的。信息與通信專業的學生給出這樣的答案，可以說他們對本專業是陌生的。從多個班級的學生調查當中發現，這個情況是普遍的存在的。說明學生對基本概念的理解是模糊的，多種概念嚴重混淆。

這個問題雖然簡單，但使人聯想的內容繁多，如時域信號、頻域信號、連續信號、離散信號、模擬信號、數字信號、實數域、復數域等一系列專業術語，以及傅立葉變換、拉氏變換、Z 變換、卷積、乘積、相關函數等相關的概念。要在大綱規定的時間內完成教學任務，將這些概念及其內在聯系教會學生，對于教師來說也是一件非常艱巨的工作。雖然在普遍公式及模擬信號的變換等方面已經有了很多形象化的教學資料[1-3]，由于在實際應用當中我們用的信息一般是：有限、實數、離散信號。這些具體數據和抽象公式之間需要建立一個概念橋梁。

我們習慣的教學方法基本上是先給出抽象概念，然后進一步講解含義和應用[1]。例如，牛頓定律、傅立葉變換等都是先給出定義，然后講解含義。其默認的前提條件是學生已經很好地掌握了基礎知識，但現實并非如此。課程及格分數限是60 分，成績90 分以上的學生比例很少?；A不扎實會有累積效應。因此，通過簡單的實用例子，可將這些內容聯系到學生所學過的基礎知識。一方面回顧并強化基礎，另一方面能理論聯系實際，提高學習熱情。

隨著計算機的普及，MATLAB 等數字信號處理工具軟件的大量出現，一個函數調用就能實現信號的各種變換。這也會導致很多學生不關心細節，忽略基本概念的充分領會。本文以傅立葉變換為例，聯系到正交變換的概念，通過實例講解變換的具體過程。希望本文能夠起到一個概念上的銜接作用。一，變換域的概念聯系到學過的基礎數學，二，將具體概念擴展到抽象領域中。

1 從抽象到具體

1.1 傅立葉變換的各種公式

先看看傅立葉正反變換的一般公式（1）。公式的普遍性體現在適用范圍上，即復數、無限、連續信號都包括了。而且正反一對一變化?？梢娫摴降氖褂梅秶畯V、包含的概念之豐富。

若將信號限制在有限范圍內，或假設是個周期信號，則上式變成公式（2）。時域上有限的連續信號等于無限離散頻域信號的累加。其反變換是在一個周期內對連續信號進行積分。式中。

實際應用當中或計算機處理時，時間信號是離散并有限的，相應的傅立葉變換是公式（3）。離散有限時間信號對應離散有限頻率信號，且等號并非近似值。為了簡單易懂，我們簡化了細節。

我們進一步規定信號從0 開始（時間從0 開始）的離散序列，則上式進一步簡化成公式（4）。在MATLAB上的傅立葉變換函數fft（）就是公式（4）的程序實現。其中是歸一化系數，也可以給正反變換加同樣的系數。

為了進一步簡化成實數離散序列且有限信號的傅立葉變換，我們可以在公式（4）的基礎上，加上一個共軛函數f-n（或偶函數鏡像），變成了離散實數的傅立葉變換公式（5）[4]。圖1 所示，將正軸鏡像到負軸?？梢钥吹? 點會疊加。反向推導過程是公式（10）。

圖1 正軸鏡像到負軸后示意圖

現在傅立葉變換變成了實數有限信號的傅立葉變換，即離散余弦變換（Discrete Cosine Transform（DCT）），公式（6）是DCT-II。在MATLAB 上的DCT 函數dct（）就是公式（6）的程序實現。通過調整相位及歸一化參數等可以獲得各種形式，目前有DCT 變換的8 個變種。

可以去掉時間及頻率的概念，從一組序列（一維向量）變換成相等長度的另一組序列。正反變換一一對應，而且正反變換公式完全一樣。這里給出的一維向量變換公式可以擴展成多維向量的變換公式。

其中，f( x )是實數連續有限函數，系數an的序列代表了偶函數，系數bn的序列代表了奇函數。

我們從抽象普遍公式一路簡化成實數連續及離散信號的變換公式，和學生學過的數學課程知識聯系起來?？梢钥吹焦剑?-5）的一致性，這個過程是我們熟悉的教學方式，也有很多相關教學資料。但實際科學理論的發展是倒過來的，即從具體到通用抽象的理論。公式的通用性及適用范圍越廣，其概念越抽象。

1.2 傅立葉變換具體實例

我們舉一個例子，隨機取一維序列X=[ x0,x1,x2,x3]=[0.1，0.5，2，5]進行DCT 變換和傅立葉變換來解釋具體計算過程。變換結果記：Y=[y0,y1,y2,y3]，長度N=4。用公式（6）計算過程如下。

我們可以寫成矩陣形式，即X 的DCT 變換是X 和變換矩陣F 的點乘。

不同的DCT 變換形式產生不同的轉換矩陣和轉換結果。我們再看看反變換：

其反變換矩陣是：

反變換等于正變換的轉值矩陣，而且正反變換矩陣都是正交矩陣。因為傅立葉變換屬于正交變換，為了更好理解數學概念，必須對正交變換做一個簡單講解。

2 正交變換

簡單的說，如果變換矩陣T 的行或列是正交的，那么變換Y=T*X 是正交變換。正交矩陣的任何兩行或兩列的矢量相乘等于零。若T*T*=I ，則T-1=T*，成了標準正交矩陣。1.1 小節中討論的變換矩陣F 就滿足正交性條件，所以傅立葉變化是正交變換。用計算機計算大量數據的傅立葉變換時，根據數據塊維度的大小N 計算出轉換矩陣就能反復使用該矩陣相乘目標數據X 就可以完成大量數據的傅立葉變換了。

下面是一個更簡單的（-1 和1 構成）正交轉換矩陣。這就是Walsh-Hadamard 變換，加個標準化系數就成了標準正交矩陣。

我們看看另一個正交變換公式（8），直角坐標系的坐標旋轉。除此之外小波變換等很多變換方法都屬于正交變換。

可以看到傅立葉變換是正交變換家族里面的一種變換。傅立葉變換有很多優異的性能，能量集中在某部分，每個分量代表一個頻率分量，而且，離散、連續、無限、有限、實數、復數等領域都適用。電子設備甚至人和動物的耳朵結構都是類似的頻率濾波器，對不同的頻率分量有不同的過濾系數。

3 從具體到抽象

我們通過具體實例探討了傅立葉變換過程及其正交特性。從正交變換可以組成一些列傅立葉變換函數。方法很簡單，將單位圓周分成完全相同并對稱的N 個點，從圓中心到這些點矢量夾角構成正弦和余弦正交基。

這些角度乘上周期的整數倍的w 就可以繼續獲得一系列正交基，即傅立葉變換矩陣。在實際應用當中通過調整初相位及歸一化參數就可以獲得各種傅立葉變換變種。由于正線函數是奇函數，余弦函數是偶函數，兩個一起構成任何實函數。若用復平面來表示這樣的關系，會更方便，且更具普遍性。直觀的可以看出其概念可以推廣到復數領域。當N →∞時w=導致k 趨于細分直到連續信號。我們可以看到n ?k兩者之間的關系恰好就是時間和頻率的關系。圖2 中底部是復平面，沿著x 軸是螺旋線，對于離散變換螺旋線也是離散的。對x 軸的采樣率越高螺旋線會收緊，直到變成連續的圓柱表面。

圖2 單位圓及復數傅立葉變換變化過程

從離散信號到離散信號的傅立葉變換，我們回到時間域和頻率域的轉換。有限的時間信號，漸漸提高采樣率N →∞，直到構成一個連續的時間信號，最終有限連續時間函數對應一個無限離散序列的和，公式（7），反之亦然。

除了離散數據的傅立葉變換是正交變換外，連續信號也可以進行正交變換，對應的正交基是一系列連續正交函數。如，在一個周期內能夠構成一組正交基，因為：

有了正交特性，我們才有機會計算出傅立葉級數（7）的各個系數an，bn。對等式（7）兩邊同時乘cos nx和sin nx 然后在一個周期內取積分就能獲得每個系數。

我們將Euler 公式帶入傅立葉級數（7）就可以得到復數傅立葉變換，即公式（2）。

因此復數傅立葉級數是實數傅立葉變的兩倍長，而且正負n 的系數是共軛的。計算一半（0，∞）就可以了?？梢钥吹焦剑?0）是公式（5）的反向推導過程。

最終將復數傅立葉級數推廣到連續領域就可以獲得傅立葉變換一般公式（1）。因為＜einx＞在離散和連續領域同樣滿足正交性，公式（11）。

因此，有了正交性就可以將傅立葉變換推廣到更大范圍，并構成一個適用范圍包括復數和無限領域的抽象概念。

4 結語

科學的發展過程是從具體的個例，發展成抽象的普遍規律[5]。但是抽象的概念對理解和講解帶來困難。雖然有很多解說傅立葉變換概念的文章，但是大部分是對抽象概念的講解。用具體的案例來講解不同適用范圍，并將其聯系到抽象理論的文章缺乏。因此，本文用具體的實例講解了信號與通信專業的核心內容傅立葉變換的概念。對多種傅立葉變換及他們之間關聯性進行了簡單易懂的探討。將抽象的概念和簡單的基礎數學聯系起來講解，為學習和實際應用提供了一個很好的參考文章。為了簡便及易于理解，忽略一些細節部分。有不足之處，希望大家給予批評指正。