科普展品“柏拉圖方體”的設計與實現

井大喜

摘要：近期，蚌埠市科學技術館光學展區擴建展品，其中新設計并制作一套光學展品“柏拉圖方體”，介紹了展品“柏拉圖方體”的原理、結構設計與實現。

關鍵詞：科普展品;柏拉圖方體;光學展品;結構設計

中圖分類號：G315

文獻標識碼：A

DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2019.11.055

1 概述

在約2 400年前，希臘哲學家及數學家柏拉圖已發現，用等邊形（如正三角形、正方形、正五邊形等）所組成的正多面體只有五種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。這五個立體也因此統稱為柏拉圖方體（ Platonic Polyhedra），柏拉圖方體如圖1所示。

2 展品“柏拉圖方體”的制作原理

2.1 柏拉圖方體為什么只有五個

2.2 柏拉圖方體展品的設計思路

根據平面鏡成像原理，物體在平面鏡里成的是虛像，像距與物距大小相等，它們的連線跟鏡面垂直，它們到鏡面的距離相等，上下相同，左右相反。平面鏡成像的特點之一是反射角等于入射角，平面鏡成像原理如圖2所示。

柏拉圖方體非常對稱，只需要一面鏡子穿過方體的對稱軸，半個方體加上它本身的鏡像便可重新形成整個方體。如果取出方體的一個面，即正n邊形（稱其為母面），將其每條邊按一定角度裝上等腰三角形平面鏡，形成一個由平面鏡組合而成的有n條棱邊的錐體（鏡井），則與每條邊相鄰的鏡中都會形成一個母面的像，且又會生成像的像。只要這個平面鏡組合與母面每個邊的夾角符合一定的規律，就可以在平面鏡組合中形成一個完整的正多面體即柏拉圖方體。所以，我們根據平面鏡成像原理，只要所取方體的母面的每條邊都與平面鏡接觸，且母面與平面鏡的夾角為柏拉圖方體的相鄰兩面角φ的50%，就可以在鏡內形成整個方體的形狀。

2.3 計算柏拉圖方體相鄰的兩個面的空間夾角φ

我們可以通過三角函數的計算得出每個柏拉圖方體相鄰的兩個面的空間夾角φ，如表2所示，這里不進行詳細推導，但相鄰的兩個面的空間夾角φ是制作的柏拉圖方體的關鍵參數。

3 展品“柏拉圖方體”主要制作過程

3.1 制作柏拉圖方體的一個面

我們可以通過數控雕刻機很容易做出有機玻璃的鏤空正三角形、正方形、正五邊形，作為母面（也是形成柏拉圖方體的唯一實像）。

3.2 制作平面鏡組合

這是制作柏拉圖方體非常關鍵和重要的一步。只要我們制作的平面鏡組合中的每一面鏡子都與已制作好柏拉圖方體的一個面的夾角為柏拉圖方體相鄰的兩個面的空間夾角φ的50%時，根據平面鏡成像原理，這個面與其在平面鏡中的成像的夾角就是柏拉圖方體相鄰的兩個面的空間夾角，這樣在鏡子內部空間就可形成整個柏拉圖方體的鏡像，當然只有事先制作好柏拉圖方體的一個面即母面是實物。

我們以制作好的柏拉圖方體的一個面為正三角形舉例，放置角度如圖3所示.

面ABC為平面鏡組合中的一面鏡子，面DEF為正三角形（即母面），面DEF是母面DEF在鏡ABC中的像，面DEF與面DEF'的夾角就是柏拉圖方體相鄰的兩個面的空間夾角φ，鏡ABC與面DEF的夾角為φ/2，已知線段AB與線段CG長度，求出線段CH長度，通過計算就可得到面ABC（平面鏡組合中單個等腰三角形）中∠ACB（等腰三角形的頂角）的大小。各柏拉圖方體平面鏡組合中等腰三角形的頂角如表3所示。接下來，我們只要把做好的每面等腰三角形平面鏡按表3提供的數量縫對縫地粘制成“鏡井”，把制作好柏拉圖方體的一個面（正三角形、正方形、正五邊形）放入“鏡井”內，向窗口內“鏡井”觀察，就能看到柏拉圖方體在“鏡井”內形成。

4 總結

4.1 鏡面材料的選擇

平面鏡的材料可以采用鏡面不銹鋼，我們可用機械加工的辦法加工鏡面不銹鋼，保證制作的平面鏡的角度精度。另外，一般的玻璃平面鏡鍍層一般在玻璃后面，由于玻璃的厚度影響，物體成像容易產生重影，影響成像效果。采用鏡面不銹鋼可有效避免重影的產生。

4.2 展品的表現形式

展品的表現形式可多種，不僅可采用柜式，還可采用臺式，并可把所有柏拉圖方體組合在一個臺面。還可以采用互動的形式，讓觀眾親自動手往“鏡井”內放柏拉圖方體的一個面（正三角形、正方形、正五邊形），體驗各種形式的各種鏡像。