傾倒非黏性顆粒時漏斗對休止角的影響

施宇軒, 郝成紅,黃耀清,尹亮亮

(上海應用技術大學 理學院,上海 201418)

顆粒物質是一類特殊的物質,表現出與固、液、氣不同的性質. 許多自然災害(如泥石流、雪崩、山崩、地震等)都與顆粒物質的崩塌有緊密聯系. 因此,顆粒物質崩塌現象的研究就顯得十分重要. 已有的關于顆粒物質崩塌現象的研究[1],認為顆粒物質在崩塌過程中存在2個特征角:剛發生崩塌時的特征角被稱為崩塌角,崩塌停止時的特征角被稱為休止角(又稱靜止角、安息角). 文獻[2-4]研究了顆粒群的質量或顆粒群堆積高度對休止角的影響,本文研究了傾倒使用的漏嘴對休止角的影響.

1 物理模型的建立

1.1 動力學模型

假設已經形成如圖1所示的堆積結構[5],圖中a為崩塌層,b為錐形結構上原有的1層顆粒群. 顆粒群a下落到圖中位置時的速度為v1,此時顆粒群b靜止.

分別對顆粒群a和b作受力分析,如圖2所示. 圖2中m1g和m2g分別為顆粒群a和b的重力,f1和f2分別為顆粒群a和b所受的摩擦力,N1和N2分別為坡面對顆粒群a和b的支持力,F1和F2分為顆粒群a和b之間的相互作用力.

圖2 受力分析

設顆粒群b下滑h高度后到達坡面低端,由動能定理可得:

(1)

式中μ為動摩擦因數,h為顆粒群b最低端所在高度,θ為顆粒群b所在母線與平面的夾角. 從式(1)以及圖1可以看出,當圖示中顆粒群a從漏嘴下落到錐形堆積結構的坡面后,會發生2種情況:

1)速度不夠大時,顆粒群a對顆粒群b的作用力F2不足以克服摩擦力f2,而后顆粒堆積直到F2克服f2,顆粒群a和b會下滑至底部；

2)速度足夠大時,顆粒群a和b會一起下滑(也就是發生了崩塌),一直沿斜面下滑到底部.

以上2種情況的共同點為最終結果是顆粒下滑到底部,而同時因為顆粒群a上面還會有顆粒繼續落下,并會沿斜面堆積起來,達到自組織臨界態,繼續堆積便會崩塌到外面1層,再循環之前所描述的過程.

從式(1)中,能找到以θ為因變量的函數. 將式(1)化簡可得

(2)

式(2)中m1+m2與總質量正相關,h與堆積高度正相關,v1與漏嘴的高度正相關,可以對此做實驗驗證.

1.2 流體力學模型

大量實驗可以得出結論:錐形堆積結構的休止角在各個母線上是不同的，可以使用流體力學的物理模型解釋.

因為流動的顆粒群符合流體的定義,所以可將從漏嘴流出的顆粒群理想化為流體來分析. 顆粒群從橫截面積為A的漏斗流出,假設其流量為Q,則其流速為

(3)

根據伯努利方程

(4)

式中p是顆粒群所受到的壓強,ρ是顆粒群密度. 將式(3)代入式(4)可以得出

(5)

式(5)即是流體壓強與管道橫截面積的關系.

2 實驗探究

使用控制變量法對式(2)和式(5)進行實驗探究. 針對下落的高度(即漏嘴與平面的垂直距離)與漏嘴的口徑[6]進行實驗.

2.1 實驗裝置

如圖3所示,鐵架臺可減少顆粒群傾倒時整個裝置的晃動,使用平口漏斗作為傾倒顆粒的槽道. 該裝置優點在于可改變漏斗與高度. 實驗中,使用垂直傾倒的方式，傾倒結束后利用投影法分別測量投影圖案的左右角度.

圖3 實驗裝置

2.2 下落高度與形成的休止角的關系

使用直徑為0.5 mm的白砂和直徑為1.5 mm的小米[7-8],兩者質量都為150 g,從85 mm的下落高度開始每50 mm進行實驗測量休止角,實驗結果用Matlab 2014a軟件擬合分析. 多次實驗后得到表1和表2中的數據.

表1 使用白沙的下落高度與休止角數據

表2 使用小米的下落高度與休止角數據

圖4～5為Matlab 2014a軟件的擬合結果. 從圖4～5可以看出,休止角隨下落高度的增加呈非線性變化. 再從擬合結果可以得出結論:休止角θ隨下落高度h的增加成反比的趨勢.

(a)左側

(b)右側圖4 白沙的休止角

(a)左側

(b)右側圖5 小米的休止角

2.3 漏嘴口徑與形成的休止角的關系

因為漏嘴過小時,小米不能自然流出,實驗材料使用直徑為0.5 mm的白砂,其質量為150 g. 采用的實驗方法與之前相仿,傾倒的高度(即漏嘴與平面的垂直距離)為200 mm. 表3是不同漏嘴口徑的實驗數據,通過取差值的絕對值可以研究漏嘴口徑對顆粒在不同母線上形成的休止角的影響. 圖6是Matlab 2014a軟件的擬合結果,從圖中可以看出,休止角的差值|Δθ|隨漏嘴口徑r的增加成負相關的趨勢.

表3 不同漏水口徑的休止角

圖6 休止角差值隨漏斗口徑的變化曲線

3 結 論

漏斗對于休止角也是重要的影響因素之一,本文研究了下落高度和漏嘴口徑對休止角的影響. 在能形成休止角的情況下,下落高度影響了堆積結構與地面形成的休止角的大小,而漏嘴口徑影響了在不同母線上休止角的大小. 從數據的擬合結果可以看出,下落高度與休止角成反比,漏嘴口徑與休止角的差值的倒數成正比,仿真計算結果與實驗結果相符.