一種正交夾持的鋼球螺旋全展開方法與機構

濮海明 王 哲 康宜華

1.華中科技大學機械科學與工程學院，武漢，4300742.上汽大眾汽車有限公司，上海，201805

0 引言

鋼球表面全部展開是進行鋼球自動化探傷的重要基礎。它既要使傳感器能對鋼球表面進行全檢測，確保不存在檢測盲區，又要降低檢測的重復區域，滿足高效率的檢測需求，使其適用于鋼球的在線自動化探傷。

捷克KROB公司開發的AVIKO系列鋼球探傷儀[1]中采用的子午線展開機構是目前應用最廣泛的球面展開機構。趙剛等[2]、趙彥玲等[3-4]基于子午線展開機構做了大量的理論分析與參數優化等工作；MASAKI等[5]提出了一種采用雙驅動錐輪的鋼球表面展開機構；王宏等[6]設計了一種經緯展開方式的鋼球表面展開系統；王義文[7]、劉德利[8]基于圖像處理技術設計了一種摩擦盤展開機構。但上述方案在工程應用中存在成本高、零件易損、有檢測盲區以及檢測效率低等問題。

本文針對現有方案的不足以及企業的實際需求，分析了鋼球表面全部展開的基本原理，通過運動學分析以及坐標變換等建立了鋼球表面螺旋全展開的運動軌跡線方程，并研究了運動軌跡線密度的影響因素，最終設計了一套基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構。

1 鋼球表面螺旋全展開的原理分析

鋼球表面在幾何學的領域內屬于無法展開的復雜曲面，它無法像圓柱體、圓錐體的表面一樣，通過沿著母線“切開”的方法，將其表面鋪展成一個平面。

圖1所示的空間坐標系Oxyz中，鋼球球心的坐標為O(0,0,0)。檢測探頭處于x軸的正上方且正對著鋼球，假設探頭在鋼球表面有效探傷區域的寬度為d。當鋼球以ωz的角速度繞z軸旋轉360°后，探頭在鋼球表面的檢測區域是寬度為d的環形面，如圖1a所示。

圖1 鋼球表面展開運動示意圖Fig.1 Unfolding the whole surface of steel ball

如果鋼球同時以ωx的角速度繞x軸旋轉一定角度α，此時檢測探頭在鋼球表面的檢測區域是兩條非重合的環形面，如圖1b所示。當鋼球以ωx的角速度繞x軸旋轉180°后，探頭在鋼球表面的檢測區域是一系列的環形面；當相鄰環形面的邊緣相切時，便能夠實現鋼球表面的全部展開。

由上述分析可以推斷：鋼球表面能夠展開的基本條件是鋼球繞直角坐標系中兩個正交軸同時作旋轉運動。本文將鋼球繞z軸的旋轉運動定義為主軸轉動，將鋼球繞x軸的旋轉運動定義為展開轉動。主軸轉動與展開轉動的合成運動構成了鋼球表面的展開運動，由此得到的鋼球表面展開運動軌跡線是一條螺旋線，如圖2所示。

圖2 鋼球表面展開運動軌跡線Fig.2 Unfoldingtrajectory on the surface of steel ball

2 建立運動軌跡線的數學模型

建立合適的、有效的數學模型來描述鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線的可尋規律，將有助于了解鋼球表面的展開過程，同時有助于展開機構的參數優化等。

如圖3所示，鋼球分別以ωz和ωx的角速度繞z軸和x軸同時旋轉。當鋼球繞z軸轉動β角度后，建立的空間坐標系Oxyz也繞z軸轉動了β角度形成新的空間坐標系Ox′y′z′。設i、j、k分別表示與坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正向同向的單位矢量，合成角速度ω可以表示成

ω=ωxcosβi+ωysinβj+ωzk

(1)

圖3 鋼球表面全展開的坐標系變換示意圖Fig.3 Coordinate system transformation on the surface of steel ball

用向量r表示任一時刻t被檢測鋼球表面上的任意一點Q(x,y,z)的位移矢量，則有

(2)

式中，R為鋼球的半徑。

根據運動學關系，能夠得到鋼球表面上任意一點Q某一時刻t的瞬時速度v=ωr。

其瞬時速度還可以表示為

(3)

結合兩種瞬時速度表達方式，則有：

(4)

將β=ωzt代入式(4)，可以得到運動軌跡線方程：

(5)

式(5)所示方程組屬于一階微分方程組，沒有固定的求解規律。圖3中的空間坐標系Oxyz變換為Ox′y′z′，容易得到坐標系變換之間的關系式：

(6)

將式(6)代入式(5)可以得到：

(7)

由初始條件(x,y,z)|t=0=(x0,y0,z0)可得

(8)

將式(8)代入式(6)，能夠求解出鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線的方程：

(9)

綜上可得，通過運動學的基礎方法，建立了鋼球表面螺旋全展開的數學表達式；利用坐標變換求解出鋼球表面螺旋全展開的運動軌跡線方程。當已知鋼球表面上某點的初始值Q0(x0,y0,z0)時，根據展開運動的軌跡線方程可知該點在任意t時刻的位置Qt(x,y,z)。

3 鋼球表面螺旋全展開過程分析

本文借助MATLAB軟件的數理計算功能及函數可視化功能，依據鋼球表面螺旋全展開的運動軌跡線方程(式(9))，分析鋼球表面全展開的過程，并研究了運動軌跡線密度的影響因素。

以直徑54 mm的鋼球為例，假設檢測一個鋼球需要用時4～5 s，則鋼球繞x軸旋轉的角速度ωx在1～2 rad/s的范圍內并以0.5 rad/s為步進量進行取值；繞z軸旋轉的角速度ωz在10～80 rad/s的范圍內并以10 rad/s為步進量進行取值。利用MATLAB得到了一組鋼球表面螺旋全展開的運動軌跡線，見圖4、圖5和圖6。

圖4 ωx=1 rad/s時鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線Fig.4 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=1 rad/s

分析圖4、圖5與圖6可得，鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線的密度與鋼球的主軸轉動角速度ωz和展開轉動角速度ωx的取值有很大關系。當ωx保持不變時，運動軌跡線隨ωz的增大而逐漸密集，螺旋圈數增多，螺距減小；當ωz保持不變時，運動軌跡線隨ωx的增大而逐漸稀疏，螺旋圈數減小，螺距增大。

通過多次仿真計算，分析展開運動軌跡線的變化規律，得到了螺旋圈數和螺距大小的變化曲線，如圖7所示。

由圖7可得螺旋圈數n與螺距s的關系：

(10)

(11)

鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線的密度對避免探傷盲區、提高探傷效率具有較大的影響。如果展開軌跡線較稀疏，即螺旋線的螺距比探頭的有效探傷范圍大，容易產生漏檢；如果展開軌跡線過于密集，即螺旋線的螺距比探頭的有效探傷范圍小，鋼球表面則有較多的區域被重復檢測，則會降低探傷效率。

圖5 ωx=1.5 rad/s時鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線Fig.5 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=1.5 rad/s

圖6 ωx=2 rad/s時鋼球表面螺旋全展開運動軌跡線Fig.6 Unfolding trajectory on the surface of steel ball with ωx=2 rad/s

圖7 螺旋圈數及螺距的變化規律Fig.7 The changing rule of cycle number and pitch

因此，當鋼球的直徑規格和檢測探頭在鋼球表面的有效探傷范圍已知的條件下，根據式(10)和式(11)可以選擇合理的主軸轉動角速度ωz和展開轉動角速度ωx，使得螺距s和探頭的有效探傷范圍相匹配，滿足鋼球的自動化探傷需求，既保證檢測效率，又不會造成漏檢。

4 基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構

由上文分析可知，鋼球繞z軸的主軸轉動與繞x軸的展開轉動，二者的合成運動實現了鋼球表面的全部展開。據此設計了鋼球表面螺旋全展開的機械結構裝置，如圖8所示，通過手指氣缸夾緊鋼球，由直流電機驅動鋼球實現主軸轉動，由步進電機驅動手指氣缸旋轉，進而實現鋼球的展開轉動。

1.從動軸 2.轉接塊1 3.夾緊塊 4.轉接塊2 5.直流電機6.電機安裝臂 7.限位塊 8.步進電機 9.電機安裝板10.聯軸器 11.軸承座 12.夾緊氣缸 13.延長臂 14.鋼球圖8 鋼球表面螺旋展開的結構示意圖Fig.8 Mechanism of spiral line unfolding the surface of steel ball

該鋼球表面展開機構說明如下：

(1)夾緊塊需要根據鋼球的直徑規格匹配使用，其夾緊面的半徑尺寸與待檢測鋼球的半徑尺寸一致，夾緊塊定位安裝在轉接塊上。

(2)轉接塊2連接固定在直流電機的輸出軸上，由直流電機驅動旋轉。

(3)手指氣缸定位安裝在傳動軸上，傳動軸與步進電機之間通過聯軸器作用，實現驅動旋轉。

分析圖8所示的展開機構可知，鋼球在展開過程中被夾緊塊夾緊的夾持面屬于檢測盲區，一個螺旋展開裝置無法將鋼球表面全部展開，需要兩個正交位置關系的展開機構配合運動。最終設計的基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構如圖9所示。

1.橫移氣缸1 2.展開機構1 3.直線導軌 4.鋼球5.安裝底板 6.橫移氣缸2 7.展開機構2圖9 正交夾持的鋼球展開機構Fig.9 Orthogonal clamping and unfolding mechanism of steel ball

該機構的展開動作流程如下：

(1)展開機構1在上料工位處夾緊待檢測的鋼球。

(2)橫移氣缸1驅動展開機構1至檢測工位，步進電機與直流電機同時運轉，進行鋼球的展開檢測直至檢測完畢。

(3)橫移氣缸2驅動展開機構2至檢測工位，展開機構2夾緊待檢測鋼球，展開機構1松開鋼球并回位至上料工位。

(4)展開機構2中的步進電機與直流電機同時動作，進行鋼球的展開檢測直至檢測完畢。

(5)展開機構2回位至下料工位釋放檢測完畢的鋼球，等待下一個待檢測鋼球。

圖10是基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構實物圖。鋼球展開機構已經成功應用于鋼球自動化超聲探傷設備中。實踐應用表明本文設計的鋼球表面全展開機構能夠實現球面的全部展開，檢測過程中無漏檢，檢測效率高。

圖10 鋼球展開機構的實物圖Fig.10 The physical map of unfolding mechanism of steel ball

基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構與其他機構相比具有以下優勢。

(1)適用性強。能夠適用于多種直徑規格的鋼球，更換規格時只需更換夾緊塊的規格，且安裝拆卸方便。

(2)無漏檢。其他展開機構均是通過部件之間的摩擦力作用實現球面展開，過程中一旦打滑便會造成漏檢。

(3)檢測效率高。應用在鋼球自動化超聲探傷設備中，檢測一個鋼球只需用時4～6 s；檢測不同直徑規格的鋼球時，可以選擇合理的ωz和ωx提高效率，且調節方便。

(4)機構的使用壽命更長，成本更低，易損易耗零件較少，沒有復雜加工的零件。

5 結論

(1)本文分析了實現鋼球表面全部展開的基本運動條件，即鋼球繞直角坐標系中兩個正交軸同時作旋轉運動。

(2)根據運動學關系建立了鋼球表面螺旋全展開的數學模型，并通過坐標變換求解出鋼球表面螺旋展開運動軌跡線的方程。

(3)借助MATLAB分析了鋼球表面螺旋全展開的過程，研究了影響運動軌跡線密度的因素，得到螺距與螺旋圈數的表達公式。

(4)設計了一種基于正交夾持的鋼球表面螺旋全展開機構，且初步應用于鋼球自動化超聲探傷裝備中。