渦街提頻振蕩水柱驅動壓電發電理論分析

杜小振，李周杰，康 輝，張 咪，于 紅

(1.山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590；2.中國石油大學(華東) 理學院,山東 青島 266580)

0 引言

研究微小型波浪驅動發電實現遠海無線監測節點供能具有重要意義[1]。早期研究以波浪能驅動空氣透平法拉第電磁發電為主[2]，近年來，利用具有機電耦合效應壓電功能材料發電代替電磁發電，結構簡單，易小型化[3]，但波浪頻率低，轉化效率和發電功率低，研究發現，系統輸出能量隨壓電諧響應頻率提高而增加[4]。為此，林政[5]設計了機械增頻式波浪壓電發電裝置，將1 Hz入射波增頻達到29.5 Hz的激振頻率，并作用于壓電發電懸臂梁發電結構上。流場中基于卡門渦街效應形成流體激振頻率有利于提高振動頻率并驅動壓電發電微電源能量轉換效率和輸出電量。Rui Zhang等[6]利用氧化鋅(ZnO)、Jie He等[7]利用鋯鈦酸鉛(PZT)壓電材料相繼提出基于卡門渦街效應風能驅動納米發電供能的風速測量儀。Marco Demori等[8]設計實現了渦街激振壓電發電為流速和溫度傳感節點供能，可提供100 μW電量。文晟等[9]采用亥姆赫茲諧振腔作為風壓諧振放大和渦脫頻率調節裝置研究基于卡門渦街效應的風力壓電浮能器，測試輸出電能達13.6 mW。本文在卡門渦街激振研究基礎上提出利用波浪進入振蕩水柱(OWC)氣室壓縮氣體產生的周期性氣流，經卡門渦街繞流圓柱鈍體產生高頻氣壓，驅動壓電鈸發電。

1 OWC氣室出口氣流理論分析

基于卡門渦街效應提頻的OWC驅動壓電發電裝置示意圖如圖1所示。圖1中，Po為壓力采集管出口壓強；Pi為壓力采集管入口壓強；V為換能氣室體積；v為氣室頂部出口排出氣體流速；da為鈸型壓電振子外徑；db為鈸型壓電振子內腔頂部直徑；dc為鈸型壓電振子內腔直徑。推導了氣室內的水動力學計算模型并分析了氣室出口處的氣體流速。計算了氣體流經鈍體產生高頻卡門渦街激振空氣壓力，并驅動鈸型壓電發電輸出電能。

圖1 渦街提頻振蕩水柱驅動壓電發電

1.1 氣室壓強求解

振蕩水柱波浪能采集氣室為半潛箱體，假定流體均勻，不可壓縮，無粘性，無旋，忽略表面張力，則流場內速度勢Φ可定義為

(1)

對式(1)中的速度勢求偏導運算，即

(2)

假設Φ在氣室內、外域銜接區滿足壓力與速度連續條件，應用格林函數計算規則線性波流場內的Φ為入射勢Φi與散射勢Φj的疊加[10]：

Φ=Φi+Φj

(3)

在有限水深單一頻率、單一方向入射波作用下，Φi為[11]

(4)

式中：h為水深；k，β分別為入射波波數和方向角。

波高為H時，入射波引起的Φj[12]為

Φj=?SHoσSG(P;Q)dS

(5)

σS由第二類Fredholm方程[13]及滿足邊界條件用離散化數值方法求解，則有

(6)

在內、外域銜接處，應滿足流體速度與壓力連續條件，保證內、外域銜接條件為

(7)

式中：n0為內域法向量；n1為外域法向量，n0=n1。

格林函數解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程，求解速度勢，Wehausen和Laiton[14]以三維脈動源的形式給出了滿足邊界條件的Green函數：

(8)

G(x,t,x0,τ)=δ(t-τ)G0+Gf(x,t,x0,τ)

(9)

cosh[k(z+h)]J0(kR)dk

(10)

[F(X,Y-Z,T)+F(X,2-

Y-Z,T)]

(11)

(12)

cosh(kV)J0(kX)dk

(13)

當X>1時，使用Fourier級數將F0表示[16]為

(14)

當0≤X≤1時，采用切比雪夫多項式逼近F0為

(15)

式中bmn為分析Green函數在各種參數范圍內的插值系數。

n=0,1,2,3,4，…

(16)

(17)

式中：m=1,2,3,4，…;n=0,1,2,3，…。

F(X,V,T)=F+(F-F)

(18)

(19)

F-F

(20)

式中Re表示復數的實部

假設OWC氣室內的氣室壓強隨振蕩水柱一起按正弦函數變化，且與氣室內液面振蕩速度成正比，壓強求解式[17]為

(21)

式中τ為氣室空氣沉降振蕩有效阻尼系數。

1.2 OWC氣室出口流速求解

波浪進入OWC內形成振蕩水柱，其往復運動驅動氣室內空氣產生振蕩壓強。忽略空氣的可壓縮性[18]，通過氣室頂端出口處的氣體體積流量Q(t)與氣體壓強P(t)為正比關系：

(22)

式中：ρ為水的密度；β為透平系數；Ra為頂部出口半徑。

氣室模型結構尺寸為1.2 m×1.0 m×1.5 m，水深1 m，氣室前墻吃水深為0.3 m，入射周期T=0.85 s，氣室前墻與氣室波面達到共振[19]，氣室壓強峰值達到65 Pa。共振時流量最大，氣室出口流量與流速、壓強成正比。

2 氣室出口卡門渦激高頻激勵分析

振蕩水柱在氣室內驅動空氣流動壓強頻率與波浪頻率一致，壓縮空氣流經鈍體形成渦街高頻氣流，其能量轉換裝置如圖1所示。氣流經鈍體后產生壓差為Pa=(Pi-Po), 假設能量轉換氣室中為可壓縮、剛性氣體；壓力采集管中為不可壓縮、剛性氣體，則壓電換能氣室空氣壓強和鈸形壓電振子激振頻率求解過程如下[20]：

流體的體積彈性模量比Ea為

(23)

氣室內空氣體積的變化與壓強的關系為

(24)

利用流體的連續方程可得

(25)

式中：do為壓力采集管直徑；v為壓力采集管內氣體流速。

由式(24)、(25)可得：

(26)

根據Poiseuille’s定律得壓力收集管中摩擦阻力f：

f=8πμvL

(27)

式中：L為壓力收集管的長度；μ為動力粘度。

根據牛頓第二定律得壓力管內氣體流速微分方程：

(28)

將式(26)、(27)代入式(28)得

(29)

式(29)的單自由度二階振動方程標準形式為

(30)

采樣渦街產生的空氣壓力的角頻率為

(31)

渦街激振頻率[21]為

(32)

式中：Dz為圓柱鈍體直徑；v0為氣室出口流速；v1為聲速；St為斯特勞哈爾數。

3 鈸型壓電發電振子受渦街激振氣壓作用響應分析

將壓電片夾在兩片鈸型金屬片之間組成鈸型壓電發電振子(見圖1)，受循環渦街氣壓作用，壓電片承受的負載F與應力Q為[22]

(33)

(34)

式中：γ為泊松比；E為彈性模量；δ為偏轉繞度；tc為銅帽圓片彈性層厚度；Hc為空腔高度；A1、A2為功能常數；S為鈸型壓電振子受壓面積。由壓電功能材料電場本構方程得壓電振子的開路電壓：

|Q×cosθ·tp·d33|

(35)

外接負載電壓和功率計算分別為

(36)

(37)

式中：RL為外接負載電阻；C為靜態電容；ω1為外接負載角頻率；Rs為壓電片等效內阻；tp為壓電片厚度；d31、d33為壓電系數；θ為壓電片受力角。

4 發電系統輸出特性討論

海浪進入氣室后壓縮空氣從頂部出口快速流出遇到Dz=50 mm的圓柱形鈍體產生卡門渦街激振?？諝鈮毫︻l率隨海浪周期變化關系如圖2所示。當海浪周期TW<0.85 s時，海浪周期增加，OWC氣室波高增加，壓縮空氣產生的壓強隨海浪周期增加逐漸增大，渦街激振頻率與氣室出口流速、壓強成正比。TW=0.85 s時，氣室前墻入射波與氣室內水面發生共振，壓強最大，出口空氣流速最快，渦街激振頻率達600 Hz，提頻效果最優。TW>0.85時，隨海浪周期增大，在氣室內產生大量的非線性波，存在波能損耗。

圖2 渦街提頻空氣壓力頻率與TW關系

高頻氣壓通過壓力收集管道(L=170 mm、do=6 mm)進入壓電能量轉換氣室并驅動鈸型壓電振子發電，鈸型振子外徑da=29 mm,dc=17 mm,db=5 mm。氣壓驅動鈸型壓電振子發電功率與激振頻率關系如圖3所示。由式(32)～(35)計算可得渦街激振頻率為0～700 Hz，壓電振子的電能量隨壓力頻率的增大快速提高，激振壓力頻率提高能量轉換效率和輸出功率較明顯。

圖3 發電功率與激振頻率關系

壓電發電功率與涌入氣室的TW存在密切關系，TW=0.65～1.1 s時，由式(22)～(31)可得TW與鈸型壓電振子發電輸出功率的關系如圖4所示，輸出電能穩定在65～80 mW。

圖4 發電功率與TW的關系

卡門渦街產生的壓電換能氣室的壓力頻率與氣室出口處鈍體直徑有關，隨鈍體直徑的增大而降低，由式(28)～(31)計算鈸型壓電振子產生的能量隨鈍體結構變化如圖5所示。氣室出口流速提高，壓力頻率增大，因此，鈸型壓電振子產生的電能隨之提升，如圖6所示。

圖5 發電量與鈍體直徑關系

圖6 發電量與氣室氣體流速的關系

5 結束語

振蕩水柱收集波浪能在氣室內產生高壓、高速空氣動能并作用于圓柱形鈍體，基于卡門渦街效應獲得高頻空氣壓力進入壓電換能氣室驅動鈸型壓電振子發電，解決低頻海浪驅動壓電發電中能量轉換率低的問題。分析波浪與空氣相互作用的水動力學特性、利用壓電能量轉換理論、卡門渦街效應理論推導計算得出,氣室前墻入射波與氣室內的波面產生共振渦街激振高頻氣壓達650 Hz，隨著鈍體尺寸的增大，提頻效果減弱，隨著氣體流速的提高，系統輸出電能提高，當海浪周期在0.6～1.1 s時，系統輸出70～80 mW穩定電能。