“新定義”問題的解題策略

魏綺蕓

【摘要】新定義問題是近幾年高考命題創新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，對于高中生來說，是必需掌握，但又不易掌握的一類題型。

【關鍵詞】新定義 集合 函數 向量 數列

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）32-0136-01

一、集合中的新定義問題

例1 設U={1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N={1，3}，則稱（M，N）為一個“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”的個數（規定（M，N）與（N，M）不同）為____。

解析：符合條件的理想配集有①M={1，3}，N={1，3}；②M={1，3}，N={1，2，3}；③M={1，2，3}，N={1，3}.共3個。

點評：解決集合中新定義問題的兩個關鍵點

（1）緊扣新定義：新定義型試題的難點就是對新定義的理解和運用，在解決問題時要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中。

（2）用好集合的性質：集合的性質是破解集合類新定義型試題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發現可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質。

二、新定義下的函數問題

例2（2017·山東卷）若函數exf（x）（e=2.718 28…是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質。下列函數中所有具有M性質的函數的序號為____。

①f（x）=2-x ②f（x）=3-x ③f（x）=x3 ④f（x）=x2+2

解析：對于①，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·2-x=（ ）x，∵函數y=（ ）x在（-∞，+∞）上單調遞增，∴①符合題意。

對于②，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·3-x=（ ）x， ∵函數y=（ ）x在（-∞，+∞）上單調遞減，∴②不符合題意。

對于③，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·x3，令y=ex·x3，則y′=（ex·x3）′=ex·x2（x+3），當x∈（-∞，-3）時，y′<0，函數y=ex·f（x）單調遞減，故③不符合題意。

對于④，f（x）的定義域為（-∞，+∞），ex·f（x）=ex（x2+2），令y=ex（x2+2），則y′=[ex（x2+2）]′=ex（x2+2x+2）>0，∴函數y=ex（x2+2）在 （-∞，+∞）上單調遞增，∴④符合題意。

∴符合題意的為①④。

點評：（1）解決此類新定義問題首先要準確理解給出的新定義，然后把其轉化為熟悉的數學問題求解。如本例通過對M函數的理解，將問題轉化為判定函數是否滿足條件。

（2）函數新定義問題主要包括兩類：一是概念型，即基于函數概念背景的新定義問題，此類問題常以函數的三要素（定義域、對應法則、值域）作為重點，考查考生對函數概念的深入理解；二是性質型，即基于函數性質背景的新定義問題，主要涉及函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性、對稱性等有關性質的延伸，旨在考查考生靈活應用函數性質的能力。

三、新定義下的平面向量問題

例3 定義平面向量的一種運算a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a與b 的夾角，給出下列命題：

①若〈a，b〉=90°，則a⊙b=a2+b2；

②若|a|=|b|，則（a+b）⊙（a-b）=4a·b；

③若|a|=|b|，則a⊙b≤2|a|2；

④若a=（1，2），b=（-2，2），則（a+b）⊙b= 。

其中真命題的序號是____。

解析： ①中，因為〈a，b〉=90°，則a⊙b=|a+b|×|a-b|=a2+b2，所以①成立；

②中，因為|a|=|b|，所以〈（a+b），（a-b）〉=90°，所以（a+b）⊙（a-b）=|2a|×|2b|=4|a||b|，所以②不成立。

③中，因為|a|=|b|，所以a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉≤ |a+b|×|a-b|≤ =2|a|2，所以③成立。

④中，因為a=（1，2），b=（-2，2），所以a+b=（-1，4），sin〈a+b，b〉= ，所以（a+b）⊙b=3 × × = ，所以④不成立。

點評：本例是新定義下平面向量的運算，解答本題關鍵是把此定義運算轉化為我們所學的平面向量數量積運算，命題便可判斷。

參考文獻：

[1]孫明科.《金版新學案.新課標.高三數學.文科》[M]北京：團結出版社，2009.3.