系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用背景融入線性代數(shù)課程教學(xué)的探討

【摘要】線性代數(shù)在系統(tǒng)與控制理論學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是該學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識。相比于純粹的線性代數(shù)理論知識講授，以系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用背景驅(qū)動的線性代數(shù)課程教學(xué)更能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和探索能力。本文我們主要探討如何在線性代數(shù)課程教學(xué)中融入系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用背景。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用背景

【中圖分類號】O151.2-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）32-0036-01

線性代數(shù)是系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用學(xué)科的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，尤其是矩陣?yán)碚撛谠搶W(xué)科領(lǐng)域起到重要的基礎(chǔ)性作用。學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)主要有兩方面的學(xué)習(xí)目標(biāo)：一是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)理論，為后續(xù)數(shù)學(xué)課程和應(yīng)用學(xué)科打下理論基礎(chǔ)； 二是學(xué)會利用線性代數(shù)來解決實際應(yīng)用問題。但是目前學(xué)校線性代數(shù)課程主要以理論知識的講授為主，這樣不僅不利于學(xué)生的理解和掌握，而且不利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性、提高學(xué)習(xí)興趣和將所學(xué)知識用于解決實際問題。本文將從如下兩方面探討如何將系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用背景融入線性代數(shù)課程的教學(xué)過程。

一、線性定常系統(tǒng)的能控性與能觀測性的應(yīng)用背景融入矩陣的秩的教學(xué)

在線性代數(shù)課程中，一個矩陣的列秩是該矩陣的線性無關(guān)的列向量的最大數(shù)目。類似地，一個矩陣的行秩是該矩陣的線性無關(guān)的行向量的最大數(shù)目。矩陣的行秩等于列秩，都稱為矩陣的秩。向量的線性無關(guān)性概念對于學(xué)生而言本身就比較抽象，由此引入的矩陣的秩的概念更會讓學(xué)生覺得難以理解和掌握。但是在教學(xué)過程中如果能夠以其在系統(tǒng)與控制理論的應(yīng)用背景切入，這樣學(xué)生在相關(guān)應(yīng)用背景的引導(dǎo)下，更會富有興趣地進(jìn)行探索和思考，從而更有成效地完成整個知識點的學(xué)習(xí)和掌握。矩陣的秩對應(yīng)的應(yīng)用背景有系統(tǒng)的能控性和能觀性，這兩個性質(zhì)是系統(tǒng)的兩個重要的基本特征，對于系統(tǒng)的估計和控制有重要的研究意義。對于一個線性系統(tǒng)，我們用矩陣A表示狀態(tài)向量的n×n系數(shù)矩陣，B表示控制輸入向量的n×m系數(shù)矩陣，C表示輸出向量的m×n系數(shù)矩陣。由線性系統(tǒng)的經(jīng)典結(jié)論可知，該線性系統(tǒng)完全能控當(dāng)且僅當(dāng)n×nm矩陣[B AB…An-1B]的秩為n；該線性系統(tǒng)能觀當(dāng)且僅當(dāng)nm×n矩陣[C CA…CAn-1]T的秩為n。這樣一來，研究系統(tǒng)的能控性和能觀測性直接轉(zhuǎn)化為計算相應(yīng)矩陣的秩，相當(dāng)于將研究線性系統(tǒng)的重要特征轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)中計算矩陣的秩，可見矩陣的秩在系統(tǒng)與控制理論應(yīng)用領(lǐng)域中具有重要的應(yīng)用背景。

二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性融入方陣的特征值的教學(xué)

自動控制系統(tǒng)最重要的一個特性是穩(wěn)定性，工程技術(shù)中的實際系統(tǒng)需要是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程實踐上工程師是沒法對其實施操作的。對于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性的研究實際上轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣的特征值的分析。矩陣在表示方程組方面具有重要的應(yīng)用，我們通過用方陣A表示的方程組來描述一個線性系統(tǒng)：

其中X（t）是n×1的系統(tǒng)狀態(tài)向量，矩陣A表示狀態(tài)向量的n×n系數(shù)矩陣，X0是系統(tǒng)的初始狀態(tài)。該系統(tǒng)的狀態(tài)可以顯式地表示為：X（t）=eAtX0，該系統(tǒng)是否穩(wěn)定完全取決于矩陣A的特征值是否都具有負(fù)實部。通過這樣形象深入地闡述方陣的特征值的應(yīng)用背景，帶動學(xué)生去對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行主觀思考，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性、提高學(xué)習(xí)樂趣和提高學(xué)習(xí)效率。

綜上所述，線性代數(shù)作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課程，其內(nèi)容本身具有一定的抽象性和理論性，純粹的理論數(shù)學(xué)知識講授未必能發(fā)揮較好的教學(xué)效果。因此如果能夠在線性代數(shù)教學(xué)中融入其在系統(tǒng)與控制理論的應(yīng)用背景，在實際應(yīng)用問題背景驅(qū)動下，發(fā)揮學(xué)生的主體地位，提高學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、探索，對學(xué)生全方面的綜合素質(zhì)都會有一定的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊國華.基于問題解決的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計研究[J].智庫時代，2017（11）：205+226.

作者簡介：

呂春婉，1987年1月出生，女，博士，講師，研究方向為計算數(shù)學(xué)和系統(tǒng)控制理論。