傅里葉單元在航空發(fā)動機機匣強度振動分析中的應(yīng)用

況成玉，陸曉鋒

（中國航發(fā)商用航空發(fā)動機有限責任公司，上海 200241）

關(guān)鍵字： 振動與波；變形與應(yīng)力；航空發(fā)動機；機匣；傅里葉單元；仿真分析

機匣是航空發(fā)動機的重要零件，承擔著固定靜子葉片、傳遞發(fā)動機推力和與轉(zhuǎn)子構(gòu)成氣流流道的重要作用[1]，其力學特性對葉尖間隙、發(fā)動機臨界轉(zhuǎn)速等有著十分重要的影響[2]。機匣是具有旋轉(zhuǎn)軸對稱特征的構(gòu)件，但由于安裝等需要，這些機匣構(gòu)件往往存在縱向螺栓安裝邊等非軸對稱特征結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

這些非軸對稱特征對于機匣的應(yīng)力、變形沿周向不均勻度和振動均存在不同程度的影響，這使機匣變形、應(yīng)力和振動分析難度增加。

針對此類航空發(fā)動機機匣構(gòu)件，建立有限元模型開展靜強度和振動分析時，通常的處理方法[3-4]如下：

圖1 某型航空發(fā)動機高壓壓氣機機匣示意圖

(1)建立二維傳統(tǒng)軸對稱機匣分析模型，即忽略縱向螺栓安裝邊等非軸對稱特征，這是獲得機匣縱向截面應(yīng)力水平的普遍做法，但由于分析模型的限制，無法通過開展振動分析獲得機匣的彎曲、扭轉(zhuǎn)等共振模態(tài)，也無法分析由于縱向螺栓安裝邊等非軸對稱特征帶來的機匣變形沿周向的不均勻度；

(2)基于殼單元建立機匣分析模型，提取中面并利用殼單元模擬旋轉(zhuǎn)對稱部分和縱向安裝邊等特征，這適用于機匣振動和變形沿周向不均勻度分析，不適合計算機匣縱向截面的應(yīng)力分布，同時當機匣截面厚度較大或者截面幾何形狀復雜時，也無法采用殼單元對如圖3所示的復雜的機匣截面建模；

(3)基于三維實體單元建立機匣分析模型，這樣可以充分考慮結(jié)構(gòu)的幾何特征，獲得最為準確的結(jié)果，但建模復雜，需要具有較高的有限元網(wǎng)格處理能力，另外計算規(guī)模偏大，分析耗時，不符合工程設(shè)計的需要。

綜上所述，針對具有旋轉(zhuǎn)軸對稱特征、但局部存在非軸對稱屬性的航空發(fā)動機機匣靜強度和振動分析，現(xiàn)有分析方法不是由于計算規(guī)模較大而影響工程設(shè)計效率，就是由于分析模型限制無法全面獲得機匣的應(yīng)力、變形沿周向不均勻度和振動分析結(jié)果。

傅里葉單元是一種軸對稱單元，但本質(zhì)上還是二維單元，但相對于傳統(tǒng)的軸對稱單元，由于其特殊的形函數(shù)，傅里葉單元的節(jié)點位移可以沿周向按傅里葉級數(shù)展開，因此可以用于模擬三維構(gòu)件的變形[5]，如扭轉(zhuǎn)、彎曲等，這是傳統(tǒng)軸對稱單元所不具備的，另外對于截面幾何形狀復雜的情況，也可以在不顯著提高計算規(guī)模的前提下，對截面進行準確的建模，獲得合理的分析結(jié)果。

基于某型航空發(fā)動機高壓壓氣機延伸對開機匣，通過在傅里葉單元周向展開截面上設(shè)置軸向加強筋等措施，使二維傅里葉軸對稱單元可以用于處理具有軸對稱特征、但局部存在非軸對稱屬性（如存在軸向安裝邊）的航空發(fā)動機機匣應(yīng)力、變形沿周向不均勻度和振動問題，并與二維傳統(tǒng)軸對稱和三維實體模型的計算結(jié)果進行了對比。

1 傅里葉單元的基本原理

設(shè)定ur、uz、uθ、Φr、Φz、Φθ為局部坐標系下的位移分量，將它們沿周向θ按傅里葉級數(shù)展開如下[1]

圖2 坐標系定義

式中：n為波數(shù)，m為相位數(shù)。

每個諧函數(shù)（n，m）對應(yīng)一個結(jié)構(gòu)的基本變形。如（0，0）是沿旋轉(zhuǎn)軸方向的拉伸，（0，1）是繞旋轉(zhuǎn)軸的扭轉(zhuǎn)，彎曲則表達為（1，0）和（1，1）。

在總體直角坐標系下建立二維傅里葉單元，每個節(jié)點有9個自由度，前6個自由度像梁單元一樣，分別為沿旋轉(zhuǎn)軸線方向的拉伸、扭轉(zhuǎn)以及彎曲引起的其它2個軸線方向的線位移和角位移。另外3個自由度與旋轉(zhuǎn)軸的橫截面變形有關(guān)，分別為拉伸引起的徑向位移和彎曲引起的兩個切向位移。因此用這類單元可以很好地發(fā)揮二維單元計算規(guī)模小，卻又可以模擬三維扭轉(zhuǎn)、彎曲變形的優(yōu)勢。

2 壓氣機機匣計算結(jié)果

2.1 計算對象

以某型航空發(fā)動機高壓壓氣機延伸對開機匣為研究對象，材料為GH4169，如圖1所示。

該延伸對開機匣的結(jié)構(gòu)特征包括：具有旋轉(zhuǎn)對稱特征，在0°和180°周向方向存在縱向螺栓安裝邊，分為上下兩層，上層機匣通過橫向螺栓安裝邊與其余機匣連接，下層機匣周向開槽以安裝靜葉扇形段。

分別采用二維傳統(tǒng)軸對稱單元、三維實體單元、二維傅里葉軸對稱單元建立延伸對開機匣分析模型，如圖3和圖4所示，信息比較見表1。

為了使計算結(jié)果具可比性，3種分析模型的縱向截面單元網(wǎng)格均保持一致，其中三維機匣模型周向共計360份單元，二維傅里葉軸對稱模型在0°和180°截面分別通過殼單元建立加強筋，來模擬縱向安裝邊。在3種分析模型中，忽略一些對整體結(jié)果

表13 種分析模型信息比較

圖3 延伸對開機匣二維有限元模型

圖4 延伸對開機匣三維有限元模型

影響不大的細節(jié)特征，如安裝邊螺栓孔等。

該機匣靜強度分析中考慮的主要載荷是：腔壓、溫度場、葉片軸向力和安裝邊A氣體載荷，振動分析中考察其靜頻特性。

在位移邊界條件方面，靜強度分析時，約束該機匣橫向螺栓安裝邊B的軸向和周向位移；振動分析時，約束機匣橫向螺栓安裝邊A和B的軸向和周向位移。

2.2 機匣應(yīng)力分析結(jié)果

基于如上模型和載荷，開展該延伸對開機匣的靜強度分析，圖5分別為3種分析模型的整體應(yīng)力分布結(jié)果，其中二維傳統(tǒng)軸對稱模型和二維傅里葉軸對稱模型結(jié)果均在360°周向上進行了擴展。

由圖5可知，由于對開機匣縱向安裝邊的存在，三維實體模型和二維傅里葉模型的機匣截面應(yīng)力均表現(xiàn)出了周向分布的不均勻性，這種應(yīng)力不均勻的趨勢也一致，而二維傳統(tǒng)軸對稱模型無法計算出應(yīng)力沿周向的分布趨勢。為了進一步考察這種不均勻性，針對三維實體模型和二維傅里葉軸對稱模型，分別在周向提取0°和90°2個截面，考核如圖5所示的圓柱面A位置上的最大第一主應(yīng)力，并加以比較，其中0°截面為縱向螺栓安裝邊所在截面，90°截面遠離該安裝邊。

由表2可知，在遠離縱向安裝邊的90°截面，三維實體模型在圓柱面A上的最大第一主應(yīng)力與二維傳統(tǒng)軸對稱模型的結(jié)果非常接近（相差不超過0.1%），小于二維傅里葉軸對稱模型在圓柱面A上的應(yīng)力值約21%，二維傅里葉軸對稱模型的結(jié)果偏保守；在0°截面，即縱向螺栓安裝邊所在截面，由于安裝邊的加強作用，三維實體模型和二維傅里葉軸對稱模型在圓柱面A上的最大第一主應(yīng)力均有所降低，兩者相差約30%，且二維傅里葉軸對稱模型的應(yīng)力結(jié)果偏保守。

另外3種分析模型，在同一個電腦計算平臺下（16 G內(nèi)存，Intel E52.80 GHz），計算耗時對比如表3所示。

圖5 機匣第一主應(yīng)力分布圖

表2 機匣最大第一主應(yīng)力（分別以三維模型在0o和90o方向的最大應(yīng)力為基準進行歸一化）

表33 種分析模型的靜強度計算耗時對比/min

從表3中可知：二維傅里葉軸對稱模型較二維傳統(tǒng)軸對稱模型，計算耗時僅增加了2 min，而相對于三維實體模型，其計算耗時大大降低。

2.3 機匣變形沿周向的不均勻度分析結(jié)果

在2.2小節(jié)延伸對開機匣靜強度分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，考察機匣徑向變形沿周向的不均勻程度，其中重點評估動葉葉尖對應(yīng)機匣A、B和C 3個位置的徑向變形，如圖6所示。

提取截面A、B和C沿周向的最大和最小徑向變形數(shù)據(jù)，見表4。

由于二維傳統(tǒng)軸對稱模型無法考察變形沿周向不均勻度，因此本節(jié)重點對比三維實體和二維傅里葉軸對稱模型的徑向變形沿周向不均勻度。

表4 機匣徑向變形計算結(jié)果（以三維模型的最大變形為基準進行歸一化）

圖6 機匣變形沿周向的不均勻度考核位置示意

通過以上分析可知，由于縱向螺栓安裝邊的影響，對開機匣沿周向方向的徑向變形分布不均勻，通過比較可知，二維傅里葉軸對稱模型在3個截面A、B和C計算出來的最大和最小徑向變形與對應(yīng)三維實體模型的變形結(jié)果非常接近（相差不超過1%），如圖7所示。

圖7 對開機匣徑向變形分布圖

該結(jié)果可以為機匣變形橢圓度對氣動性能的影響評估提供支撐；A位置的最小和最大徑向變形的差異大于其余位置，這與該對開機匣特殊的結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，由于上下層機匣過度區(qū)域P的加強作用，C位置的徑向變形沿周向要更均勻。

2.4 機匣振動分析結(jié)果

基于此延伸對開機匣的三維實體和二維傅里葉軸對稱模型，分別開展該機匣在不工作狀態(tài)下的模態(tài)分析。

由于二維傳統(tǒng)軸對稱模型無法獲得機匣的彎曲模態(tài)，因此本小節(jié)重點對比三維實體和二維傅里葉軸對稱模型的振動結(jié)果，如圖8和表5所示。

表5 機匣共振頻率計算結(jié)果（以三維模型的共振頻率為基準進行歸一化）

由以上分析可知，分別基于三維實體和二維傅里葉軸對稱模型計算獲得的對開機匣共振頻率接近，最多相差1.9%；兩者的模態(tài)位移分布也一致；此外基于二維傅里葉軸對稱模型可以獲得機匣的彎曲模態(tài)，這是二維傳統(tǒng)軸對稱模型無法做到的。

這表明可以通過在二維傅里葉單元周向展開截面上設(shè)置軸向加強筋來模擬縱向安裝邊，繼而考察機匣的共振問題。另外兩種分析模態(tài)在振動計算耗時對比如表6所示，可見二維傅里葉軸對稱模型可以大大降低計算規(guī)模，提高分析效率。

圖8 對開機匣前3階共振模態(tài)

表62 種分析模型的模態(tài)計算耗時對比/min

3 結(jié)語

基于某型航空發(fā)動機高壓壓氣機延伸對開機匣，通過在二維傅里葉單元周向展開截面上設(shè)置軸向加強筋來模擬縱向安裝邊，繼而對其機匣應(yīng)力、變形沿周向的不均勻度和振動進行了分析，并與二維傳統(tǒng)軸對稱模型和三維實體模型的計算結(jié)果進行了對比，可知：

（1）基于二維傅里葉軸對稱模型計算得到的機匣應(yīng)力分布，與對應(yīng)三維實體模型的應(yīng)力分布大致一致，可以用于評估由于縱向螺栓安裝邊等非軸對稱特征帶來的機匣應(yīng)力沿周向的不均勻問題，且應(yīng)力結(jié)果略顯保守；

（2）基于二維傅里葉軸對稱模型計算得到的機匣變形沿周向的不均勻度和振動結(jié)果，與對應(yīng)三維實體模型分析結(jié)果一致，且差別很小，可以用于評估機匣變形橢圓度對氣動性能的影響和用于計算機匣振動；

（3）二維傅里葉軸對稱模型的計算規(guī)模和耗時遠遠低于三維實體模型，具有良好的計算效率。

因此可以通過在二維傅里葉單元周向展開截面上設(shè)置軸向加強筋來模擬縱向安裝邊，繼而考察此類具有旋轉(zhuǎn)軸對稱特征但局部存在非軸對稱特征（如縱向螺栓安裝邊）機匣應(yīng)力、變形沿周向不均勻度和振動問題，具有良好的計算精度和分析效率。