壓縮感知波束形成算法性能分析

魏 娟，孫 健，邵 丁，閆 豪，李爭光

（1.西安科技大學 機械工程學院，西安 710054；2.寶雞吉利發動機零部件有限公司，陜西 寶雞 721000）

波束形成聲源識別技術由于具有測量速度快、計算效率高、中高頻分辨率好、適宜中長距離測量等優點被廣泛應用到航空、列車、汽車等領域[1]。延時求和[2-4]、互譜成像函數[5-6]等傳統波束形成(Conventional beamforming，CB)算法雖然具有計算速度快、測量距離遠、易于布置等優點，但其“主瓣”過寬造成空間定位精度低，“旁瓣”既高又多導致出現許多“鬼影”聲源，因而限制其進一步的應用[7]。因此，各種提高波束形成算法識別效果的改進方法應運而生。

褚志剛[7]提出奇異值分解波束形成聲源識別方法，突破了主聲源最大旁瓣水平的限制，提高了識別次聲源的準確度，進行了汽車前圍板隔聲實驗；隨后基于傳統波數形成及矩陣特征值分解理論，提出函數波束形成方法，提高了識別分辨率，并且能夠清晰地識別弱源，提出指數一般取為16的建議；黎術[8]提出了函數廣義逆波束形成方法，在準確識別聲源強度的基礎上，通過增加階次，成倍提高了算法抑制旁瓣能力；陳思[9]基于高階矩陣函數提出了廣義逆波束形成的改進算法，得到了階次的最優區間，具有更高的聲源識別精度。

壓縮感知是近年來極為熱門的研究前沿，在若干應用領域中都引起矚目。其采用隨機抽樣的方式完成對目標信號的重建，打破了奈奎斯特抽樣定理的限制，大大提高了信號處理速度。為了進一步提高波束形成算法的識別精度，降低算法的運行時間，將壓縮感知的信號重構算法引入到波束形成中，提出了一種基于貪婪算法的壓縮感知波束形成算法。通過數值仿真分析，分別以單極子和相干聲源作為研究對象，運用仿真實驗驗證了壓縮感知波束形成算法的正確性。

1 基本原理

壓縮感知的理論主要由以下3部分構成：一是可壓縮信號的稀疏表示，二是觀測矩陣的構建，三是信號重構算法。

信號的稀疏表示就是將信號投影到正交變換基時，絕大部分變換系數的絕對值很小，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，可以將其看作原始信號的一種簡潔表達，這是壓縮傳感的先驗條件，即信號必須在某種變換下可以稀疏表示，通常變換基可以根據信號本身的特點靈活選取，常用的有離散余弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor基以及冗余字典等。

壓縮感知中常用的測量矩陣有隨機高斯測量矩陣，隨機伯努利測量矩陣，部分哈達瑪測量矩陣，部分傅里葉測量矩陣，稀疏隨機測量矩陣等，這些矩陣都需要滿足有限等距性（Restricted Isometry Property，RIP）。

壓縮感知的重構算法很多，其中正交匹配追蹤（OMP）算法被廣泛使用?；趬嚎s感知OMP算法對波束形成算法進行改進，使其在分辨率與運行時間上有較大改善。

2 模型分析

如圖1所示，將空間聲源面分成N份，在其上分布著K個同頻相干聲源，其位置坐標為Sn（xn，yn，zn），在測量面上分布著M個均勻分布的傳聲器陣列。

聲源信號是自然空間稀疏信號，將信號與其空間所在位置一一對應，傳聲器陣列接收信號并重構聲源發射信號，為聲源定位提供基礎。

圖1 聲源測量模型

2.1數學模型

給定具有M個傳聲器組成的測量陣列，輸出y=(y1…yi…yM)T∈RM×1，(·)T代表轉置，對于在空間中傳播的聲源信號用x(t)∈R1表示，根據相關格林函數，波束形成的輸出為

r是聲源到傳聲器的距離，r?RM×1;t是聲音傳播時間，τ是相應的傳播時間時延。

在實際應用中，波束形成一般在頻域內進行，式（1）相應的頻域方程為

對于具有多個信號和受測量噪聲影響的問題，情況變得更加復雜，數組輸出以標量形式表示為

其中：Aik表示第i號傳聲器與第k個信號之間的導向矢量，Xi表示第i個信號，Ni表示第i號傳聲器總的測量噪聲包含了數據采集期間的背景干擾和電子噪聲。為簡潔起見，方程式（4）可以寫成

A為M×N維感知矩陣，n為傳聲器陣列接收的噪聲信號，該模型描述的問題實質上是利用已經獲知的感知矩陣A和傳聲器測量的信號y來重構稀疏信號x的過程。

2.2 OMP算法流程

輸入為：

（1）M×N的傳感矩陣A=Φψ；

（2）N×1維觀測向量y；

（3）信號的稀疏度K。

輸出為：

OMP算法流程為

（2）找到索引λi，使得

（4） 求y=Aiθi的 最 小 二 乘 解

（3）令∧i=∧i-1∪λi,Ai=Ai-1∪aλ；

（6）t=t+1，如果t≤K則返回第(2)步，否則停止迭代進入第(7)步；

（7）重構所得在∧i處有非零項，其值分別為最后一次迭代所得

其中：ri表示殘差，t表示迭代次數，Φ表示空集，∧i表示t此迭代的索引集合，λi表示第t次迭代找到的索引，aj表示矩陣A的第j列，Ai表示按索引∧i選出的矩陣A的列集合，θi為t×1的列向量，符號∪表示并集，表示向量內積。

信號的稀疏度可由下式得出

2.3 OMP算法的信號重建

以一維信號為例驗證OMP算法的重建效果。假設稀疏信號x長度N=256，觀測值個數M=64，取稀疏度K=10，取滿足有限等距性的隨機高斯矩陣為測量矩陣Φ，取單位矩陣為稀疏矩陣，利用MATLAB得到的恢復信號如圖2所示。

圖2 OMP算法信號恢復圖

恢復殘差為4.3963×10-15，可以證明OMP算法可以完美恢復原始信號。

3 數值仿真分析

將測量平面離散成點間距為0.025 m大小的離散平面，每個離散點均為壓縮感知波束形成的聚焦點，在聲源平面任意位置上布置單極子聲源，與測量面的距離為1 m，單極子聲源輻射聲壓為30 Pa，頻率為2000 Hz。在測量面上布置7×7的正方形傳聲器陣列，間距為0.1 m，利用壓縮感知波束形成方法和函數波束形成方法進行聲源識別成像仿真對比。

3.1 單極子聲源

在聲源平面上布置單極子聲源，位置坐標為（0 m，0 m，1 m），分別運用壓縮感知波束形成方法和函數波束形成方法進行聲源成像，結果如圖3至圖6所示。

圖3 函數波束形成二維識別圖

圖4 函數波束形成三維識別圖

圖5 壓縮感知波束形成二維識別圖

圖6 壓縮感知波束形成三維識別圖

函數波束形成的運行階次取16。仿真結果表明，壓縮感知波束形成方法在識別聲源的精度上和對于旁瓣的抑制上都優于函數波束形成算法。

壓縮感知波束形成方法和函數波束形成方法對于單極子聲源的運行時間如表1所示。

表1 單極子聲源兩種算法運行時間對比/秒

根據表中數據可以得到，對于單極子聲源的識別，壓縮感知波束形成方法的運行時間遠小于函數波束形成運行時間。

3.2 相干聲源

在聲源平面上布置兩個相干聲源，位置坐標分別為（-0.3 m、0 m、1 m）和（0.3 m、0 m、1 m），分別運用壓縮感知波束形成方法和函數波束形成方法進行聲源成像，結果如圖7至圖10所示。

函數波束形成的運行階次取16。仿真結果表明，壓縮感知波束形成方法在識別聲源的精度上和對于旁瓣的抑制上都優于函數波束形成算法。

壓縮感知波束形成方法和函數波束形成方法對于相干聲源的運行時間如表2所示。

表2 相干聲源2種算法運行時間對比/秒

根據表中數據可以得到，對于單極子聲源的識別，壓縮感知波束形成方法的運行時間遠小于函數波束形成運行時間。

4 結語

（1）本文將壓縮感知中貪婪算法與波束形成方法相結合，提出了一種壓縮感知波束形成方法，通過理論分析，探究了對于單極子聲源和相干聲源壓縮感知波束形成算法對聲源的識別效果。

圖7 函數波束形成二維識別圖

圖8 函數波束形成三維識別圖

圖9 壓縮感知波束形成二維識別圖

圖10 壓縮感知波束形成三維識別圖

（2）對比壓縮感知波束形成方法與函數波束形成方法，數值仿真結果表明壓縮感知波束形成方法在聲源識別的準確度、對于旁瓣的抑制能力和識別時間方面具有更優越的性能。