無限大單板和空腔雙板隔聲量研究

黃夢情，陳美霞

（華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074）

無限大以及有限大單板和空腔雙板結構[1-2]是隔聲領域中常用的研究對象，比較有代表性的是單雙層墻的隔聲性能和質量定律[3-4]。

波傳遞法是一種非常經典的計算無限大板隔聲量的方法[3]。它可以計算單層板、雙層板甚至是多層板的隔聲量[5-6]，但該方法也有自身的局限性[4]。當中間固體層比較薄時，可認為中間層中只有縱波傳遞，此時波傳遞法才能適用于斜入射。

除波傳遞法外，還將介紹另一種方法，這里將它稱為“結構彎曲波法”。結構彎曲波法是將板的橫向位移采用無限大板的形式[7]表示，再結合相應的法向速度連續性條件，代入板的振動控制方程，最后求解得到板結構的隔聲量。

本文將采用波傳遞法和結構彎曲波法對無限大單板和雙板的隔聲量進行研究，得出2種方法的等效條件并對隔聲量曲線的谷值點進行分析。

1 波傳遞法理論推導

1.1 無限大單板隔聲的波傳遞法理論推導

在圖1中，d表示媒質層Ⅱ的厚度。

沿空間任意方向行進的平面波表達式為

因此媒質Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ中的聲場可表示為：

媒質Ⅰ：入射波α=θi，β=90°-θi，γ=90°

媒質Ⅱ：折射波α=θ2t，β=90°-θ2t，γ=90°

反射波：α=π-θ2r，β=90°-θ2r，γ=90°

媒質Ⅲ：折射波α=θ3t，β=90°-θ3t，γ=90°

結合z=0和z=d處的聲壓連續與法向質點速度連續條件以及聲波反射和折射定律，可得聲壓透射系數

從而可得出聲強透射系數tI

式中：

采用透射系數的倒數，并用分貝表示隔聲量可得

1.2 空腔雙板隔聲的波傳遞法理論推導

在圖2中，d表示媒質層Ⅱ和Ⅲ的分界面，D表示媒質Ⅲ和Ⅳ的分界面。

圖2 空腔雙板的波傳遞法示意圖

針對圖2所示的無限大空腔雙板，波傳遞法的理論推導過程基本與1.1小節類似，因此對于聲波透過空腔雙板，計算得到的聲強透射系數tI可表示為

其中：R1、R2、R3和R4分別表示為

上式中的波矢分量k′和法向阻抗Zs的具體表達式為

2 結構彎曲波法理論推導

2.1 無限大單板的結構彎曲波法理論推導

對于斜入射平面簡諧聲波，它的聲壓速度勢函數可表示為

圖3 無限大單板的結構彎曲波法隔聲示意圖（空間視圖）

圖4 無限大單板的結構彎曲波法隔聲示意圖（正視圖）

在式(11)中：I為幅值，ω為角頻率，kx、ky和kz分別為入射聲波在x、y和z方向上的波數分量：kx=k0sinφcos?，ky=k0sinφsin?，kz=k0cosφ。其中k0=，為入射域中聲波的波數，c0為聲波在入射域中的聲速，φ和?分別為俯仰角和方位角。

在入射聲波的激勵下，無限大薄板結構發生振動，向外輻射聲波，其聲振耦合振動控制方程為

上式中ρ0為空氣密度；ω、D0以及m分別為無限大板的橫向振動位移、彎曲剛度和面密度。

入射聲場和輻射聲場的速度勢函數可分別表示為

上式中入射聲場中包含了入射聲波和反射聲波的速度勢。

同時，將無限大薄板的橫向位移表示為

空氣和薄板交界面處的邊界條件為空氣質點和板質點的法向速度相等，相應的連續條件為：在z=0處有

將式(13)代入式(15)中可得系數幅值關系式

將式(13)和式(14)代入式(12)中，可得

再將式(16)代入式(17)中，可進一步簡化為

將式(18)代入式(13)，便可以得到入射聲場和輻射聲場的速度勢。聲壓速度勢和聲壓的關系為

根據式(13)和式(19)，入射和輻射波的聲壓為

由于左右兩側均為空氣，故聲強透射系數tI可表示為

2.2 空腔雙板隔聲的結構彎曲波法理論推導

在入射聲波的激勵下，無限大空腔雙板發生振動，并向外輻射聲波，其聲振耦合振動方程為

上式中：ρ0為空氣密度以及分別為入射板和輻射板的橫向振動位移、彎曲剛度和面密度。

入射聲場、空腔聲場和輻射聲場的速度勢函數可分別表示為

同時，無限大雙板的橫向位移可表示為

結合z=0和z=H處的連續性條件

圖5 結構彎曲波法的空腔雙板隔聲示意圖

將式(23)代入式(25)中可得到如下的系數幅值關系式

將式(23)和式(24)代入式(22)中，可簡化振動控制方程

將式(26)代入式(27)，可將其進一步化簡為

其中

最后的聲強透射系數為

3 無限大單層板隔聲量對比分析

3.1 計算無限大單板隔聲量的2種方法對比

單板采用鋁材料，密度為2700 kg/m3，縱波聲速為6260 m/s，泊松比為0.33，彈性模量為70×109N/m2，板厚取為0.01 m，兩邊介質都是空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s，分別針對聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況，得到對比結果如圖6、圖7和圖8所示。

圖6 基于波傳遞法和結構彎曲波法的單層板結果對比圖（聲波垂直入射，10000 Hz）

圖7 基于波傳遞法和結構彎曲波法的單層板結果對比圖（聲波30o斜入射，10000 Hz）

圖8 基于波傳遞法和結構彎曲波法單層板結果對比圖（聲波70o斜入射，10000 Hz）

從圖6、圖7和圖8中可以看出：當聲波垂直入射時，基于波傳遞法和結構彎曲波法的計算結果在0～10000 Hz范圍內，吻合得很好；當聲波斜入射時，在低頻范圍內，兩種方法吻合得比較好，但是進入中高頻時，會出現板的吻合頻率，2種方法計算的隔聲量曲線吻合得很差。

同時，在聲波斜入射的情況下，波傳遞法無法捕捉到板的吻合頻率，而結構彎曲波法可以捕捉到板的吻合頻率。這種情況下，基于結構彎曲波法的計算結果更準確一些。

3.2 聲波垂直入射時2種方法的等效條件

聲波垂直入射時，基于波傳遞法和結構彎曲波法計算出的隔聲量曲線幾乎重合，但是這2種方法的理論機理是不一致的，因此本小節將探討2種方法的等效條件。

將2種方法的變量進行統一處理后，聲強透射系數可分別表示為

在式(30)和式(31)中，ρ0和c0為空氣的密度和聲速；ρ1和c1為板的密度和聲速；h為板厚；ω為入射聲波圓頻率；tI_W和tI_B分別表示基于波傳遞法和結構彎曲波法的聲強透射系數。

根據式(30)和式(31)，化簡得

將式(32)和式(33)進一步化簡，得出等效條件

在式(34)中λ表示入射聲波的波長。從式(34)中可以看出：當板的特性阻抗遠大于空氣的特性阻抗，同時入射波長與板厚的比值遠大于空氣聲速與板中聲速之比的2π倍時，波傳遞法和結構彎曲波法計算出的隔聲量曲線基本是吻合的。此時，在聲波垂直入射條件下，2種方法是等效的。

當入射聲波頻率非常高時，入射波長與板厚的比值變得很小，不再滿足的條件時，這種情況相當于板厚變得很大，薄板條件不再滿足，板厚對聲波的傳遞影響很大，破壞了結構彎曲波法的成立條件。對于波傳遞法而言，聲波的波長短一些，相當于介質層變厚，這依舊滿足聲波在介質交界面處和介質層中的傳遞條件，因此高頻聲波對波傳遞法的影響較小，它計算出的隔聲量基本可靠。

當不滿足ρ1c1＞＞ρ0c0條件時，也即周圍流體對板的反作用變得很顯著，這時不能忽略周圍流體對板的影響，同時板自身也可能不再滿足薄板條件。例如：較厚的復合材料板在空氣中的隔聲；有機玻璃板在水中的隔聲；特性阻抗相差不大的各層板之間的隔聲。在這種情況下，結構彎曲波法的計算結果存在不準確性，而波傳遞法依舊能適應這種變化。

3.3 無限大單板隔聲量的谷值分析

當聲波斜入射時，無限大單板的隔聲谷值點對應的頻率為板的吻合頻率。薄板吻合頻率[8]為

在式(35)中E和v為板的彈性模量和泊松比。

根據式(35)，計算出無限大單板的吻合頻率為4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o)，與圖7和圖8中的隔聲谷值對應的頻率4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o)完全一致。

上面的計算對比說明：在聲波斜入射時，采用結構彎曲波法能夠捕捉到薄板的吻合頻率。

4 空腔雙板隔聲量對比分析

4.1 基于2種方法所得的空腔雙板隔聲量對比

雙板均采用鋁材，密度為2700 kg/m3，縱波聲速為6260 m/s，泊松比為0.33，彈性模量為70×109N/m2，板厚為0.002 m，中間層厚度為0.0215 m，兩邊和中間為空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s，分別針對聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況，得到如下的對比結果：

在圖9、圖10和圖11中，實心圓代表“板-空腔-板”的共振頻率；實心矩形代表空腔的駐波共振頻率；實心三角形代表板的吻合頻率。

從圖9中可看出：當聲波垂直入射時，波傳遞法和結構彎曲波法得出的隔聲量曲線基本吻合。

圖9 基于波傳遞法和結構彎曲波法的雙層板結果對比圖（聲波垂直入射，50000 Hz）

當聲波斜入射時，在低頻范圍內，波傳遞法和結構彎曲波法的計算結果吻合得比較好；當進入中高頻范圍內時，出現駐波谷值和板的吻合頻率隔聲低谷，2種方法計算出的隔聲量曲線不再吻合。波傳遞法可以捕捉到“板-空氣-板”共振頻率和駐波頻率，但是無法捕捉到板的吻合頻率，而結構彎曲波法可以捕捉到以上3種隔聲谷值的頻率。

圖10 基于波傳遞法和結構彎曲波法雙層板結果對比圖（聲波30o斜入射，50000 Hz）

圖11 基于波傳遞法和結構彎曲波法的雙層板結果對比圖（聲波70o斜入射50000 Hz）

4.2 聲波垂直入射時2種方法的等效條件

對于無限大空腔雙板結構，聲波垂直入射時的等效條件和無限大單板的等效條件一樣，如式(34)所示。當不滿足垂直入射的等效條件時，分別采用波傳遞法和結構彎曲波法計算空腔雙板結構的隔聲量，2種方法得出的隔聲量曲線不能完全吻合。

4.3 空腔雙板隔聲量的谷值分析

首先，分析“板-空腔-板”共振頻率，即實心圓標記出的谷值頻率。當聲波穿透沒有任何連接結構的無限大空腔雙板結構時，中間密封的空氣腔對聲傳播起了重要的作用。此時，可將中間密封的空氣層近似視為一個彈簧，它能夠將入射板的振動傳遞到輻射板。中間空氣層的等效剛度[3,9]為

根據式(37)，計算出“板-空腔-板”的共振頻率：249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o)；采用本文2種方法計算的值為249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o)；兩者的結果完全吻合。從前面的計算結果可看出：波傳遞法和結構彎曲波法均能準確地計算出“板-空腔-板”的共振頻率。

接下來，分析空氣腔的駐波頻率，即實心矩形標記的谷值頻率?？諝馇恢械鸟v波頻率可以由駐波的發生條件求得

在不同入射俯仰角下，“板-空腔-板”的共振頻率是不一樣的，該共振頻率的計算公式為[10]

其中：φ2為中間層的透射波與板面的夾角，這里用入射聲波的入射角φ近似代替

根據式(39)可計算聲波入射角不同時的駐波共振頻率。取2個共振谷值作對比，式(39)的理論計算值為 18421 Hz(30o，n=2)、23322 Hz(70o，n=1)；結構彎曲波法的計算結果為18432 Hz(30o，n=2)、23320 Hz（70o，n=1）；波傳遞法計算的結果為 18426 Hz(30o，n=2)、23350 Hz(70o，n=1)。從上面的對比結果可看出：波傳遞法和結構彎曲波法均能指示出空氣腔的駐波共振頻率。

最后討論空腔雙板模型中板的吻合頻率，即實心三角形標記出的谷值頻率。這里，同樣根據無限大單板吻合頻率的計算式(35)，可得到空腔雙板的吻合頻率為24051 Hz(30o)和6809 Hz(70o)，與圖10和圖11中的隔聲谷值頻率點24056 Hz(30o)和6809 Hz(70o)基本一致。

5 結語

對于無限大單板和空腔雙板2種結構，當聲波垂直入射時，基于波傳遞法和結構彎曲波法的隔聲量計算結果幾乎一致；當聲波斜入射時，由于板彎曲波的影響不能忽略，因此基于結構彎曲波法計算出的隔聲量更準確一些。波傳遞法和結構彎曲波法均能捕捉到“板-空腔-板”共振頻率和駐波共振頻率。同時，結構彎曲波法還能捕捉到板的吻合頻率，而波傳遞法不能捕捉到該頻率。

綜上，針對薄板結構，當聲波垂直入射且滿足等效條件時，采用波傳遞法和結構彎曲波法計算得到的隔聲量基本是一致的；當聲波斜入射時，波傳遞法的計算結果在稍中高頻范圍內顯得不可靠，主要是因為波傳遞法沒有考慮板結構彎曲波的影響，所以結構彎曲波法的計算結果相對可靠一些。