自由活塞斯特林發動機的響應面法設計

冶文蓮 ，王小軍，劉迎文 ，閆春杰

（1.蘭州空間技術物理研究所 真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000；2.西安交通大學能源與動力工程學院 熱流科學與工程教育部重點實驗室，西安 710049）

0 引言

自由活塞斯特林發動機（Free Piston Stirling Engine，FPSE）作為一種外燃式發動機，具有效率高、壽命長、結構簡單、噪音低、不易磨損、自啟動等特點。可利用熱源范圍廣，例如太陽能、同位素能源、生物能、余熱等[1]。其技術特征為：柔性彈簧支撐、無磨損間隙密封、動力活塞與配氣活塞通過流體傳動完成機械能的輸出。在所有發動機中，FPSE的循環效率最接近卡諾循環，可以達到理論卡諾循環效率的60%[2]。

近幾十年，研究人員在斯特林發動機的熱力學分析方面開展了充分研究。根據Martini[3]的命名法，斯特林發動機熱力學分析法大體可分為零級到四級五大類，包括用于斯特林裝置初步設計優化的零級分析法，以斯密特等溫分析法[4]為代表的一級分析法，以絕熱分析為代表的二級分析法[5]，由Finkelestin提出的三級分析法，基于CFD軟件的四級分析法[6-7]。其中，三級分析法采用節點法求解每個節點處氣體工質的質量、動量以及能量守恒方程，各部件采用模塊化連接，可建立自由活塞斯特林發動機整機內部氣體工質瞬時流量、壓力等模型，能有效預測整機的輸出功率和熱效率等性能參數。Gedeon[11]編制了專門的軟件Sage，國內外研究學者采用此軟件開展了斯特林發動機的模擬計算[8-9]，在預測斯特林發動機性能方面準確性較高，已被NASA GRC廣泛采用[10-12]。四級分析法雖然在整機設計、性能優化等方面具有很好的應用，亦可直觀地表示整機內部溫度場、壓力場、速度場等分布，但是在整機設計優化方面比較耗時。因此，本文將采用Sage軟件開展FPSE的設計計算。

斯特林發動機的性能好壞主要取決于眾多幾何參數的選取，包括活塞桿直徑、活塞直徑、加熱器、回熱器以及冷卻器結構參數等，評價斯特林發動機熱力學性能的指標有輸出功率、熱效率，文中將其作為輸出參數進行優化設計。從國內外相關文獻中可知，各個參數間具有復雜的相關性，而且前期優化設計中更多的考慮了單因素的影響[13]。為了克服上述問題，文中引入一種新的方法-響應面法（RSM）[14-16]，可有效預測斯特林發動機性能。由于影響發動機性能的結構參數較多（20個及以上），為便于后期整機調試，選取活塞桿直徑、加熱器、回熱器以及冷卻器長度作為設計參數，輸出功率和熱效率作為響應值，揭示發動機輸出功率和效率隨各項參數的變化規律。

1 數學模型

1.1 模型介紹

本文研究的自由活塞斯特林發動機結構示意圖如圖1所示，采用β型結構。主要由冷卻器、回熱器、加熱器、兩個活塞、直線電機等組件組成。配氣活塞桿穿過動力活塞，兩活塞通過氣體壓力的交變流動自由運動，均由板彈簧支撐。由于配氣活塞端溫度較高，選用材料為In718，動力活塞材料為硬質鋁合金。FPSE基本參數如表1所列。

表1 自由活塞斯特林發動機基本參數Tab.1 The technical specifications of the FPSE

圖1 自由活塞斯特林發動機結構示意圖Fig.1 The schematic illustration of the FPSE

Sage軟件[17]是一款用于模擬、優化斯特林循環發動機、斯特林制冷機的一維專用軟件，已在回熱式發動機的研究中被采用。其采用可視化界面，對發動機的各個部件一一建模，各模塊之間通過質量、能量流動進行連接。根據圖1的斯特林發動機結構，采用Sage對其建模，如圖2所示。模型中包括配氣活塞，動力活塞，環形翅片式加熱器和冷卻器，不銹鋼隨機纖維回熱器、膨脹腔、壓縮腔和背壓腔等模塊。此外，在建模過程中考慮了配氣活塞處穿梭損失，回熱器壁面導熱損失、配氣活塞殼體導熱損失等，以及膨脹和壓縮腔部分的死容積。各個部件間根據實際狀態進行質量流、能量流的連接。模型中假設氦氣為理想氣體，忽略輻射漏熱以及與外界環境的對流換熱。壓縮腔和膨脹腔外壁設置為絕熱邊界條件。

圖2 自由活塞斯特林發動機Sage模型圖Fig.2 Sage model of FPSE

1.2 氣體動力方程

自由活塞斯特林發動機內部氣體的流動和傳熱為非定常周期型可壓縮流動。為便于說明一維流動和傳熱，將空間平均和時間平均的內部流動氣體各方程表述為[17]：

連續方程：

動量方程：

能量方程：

式中：t為時間，s；ρ為工質氣體密度，kg/m3；A為氣體域截面積，即x方向上的截面積，m2；u為流體速度，m/s；p為壓力，Pa；e為質量能；q為氣體軸向導熱熱流，W/m2；Qw為對流換熱熱流，W；動量方程中的F是斯托克斯的應力項，在一維方程中無法求解。可以用換熱器的水力直徑dh和長度L的Darcy阻力系數f和總局部損失系數K來表示：

其中阻力系數根據不同換熱器結構來選取，文中采用的回熱器為不銹鋼隨機纖維結構，加熱器和冷卻器為翅片結構。其中回熱器阻力系數表示為：

式中：a1=25.7α+79.8；a2=0.146α+3.76；a3=-0.002 83α-0.074 08；α=

加熱器和冷卻器阻力系數：

式中：φ為回熱器孔隙率；Re為雷諾數；ε為表面不規則物體的平均高度。

在絲網氣體區域中，能量方程中的Qw由通過截面單位長度的熱流表示：

式中：Nu為努賽爾數；kg為氣體的導熱系數，W/（m·K）；Ax為單位長度的流體和表面接觸面積，m2；Tw-T為計算流體通過表面和平均截面間的溫差，K。不同類型的氣體區域由于流動換熱特性不同，Qw有不同的表達，應根據實際情況進行計算。

對上述氣體動力方程式（1）～（3）在均勻分布的網格點上進行離散求解。在這些網格點上，變量ρ、ρuA及ρe通過隱式函數進行插值，然后在一系列網格上進行求解，再求解密度ρ以滿足整個系統的動量和能量守恒。

2 響應面優化方法

響應面優化法（Response Surface Methodology，RSM），也叫響應面曲面法，主要通過對指定設計空間內樣本點的集合進行有限的試驗設計，采用多元線性回歸的方法，將試驗中的各個因素及其交叉因素進行多項式擬合，再根據函數的響應面等值線和回歸方程等確定試驗的較優組合。在工程優化設計中，應用響應面法可以得到響應值與輸入變量之間的變化關系。RSM主要包括Box-Behnken（BBD）設計、均勻外殼設計（Uniform Shell Design，USD）和中心組合設計（Central Composite Design，CCD）三種，BBD是RSM方法中常用的試驗設計方法，適用于2～5個因素的試驗，文中采用BBD優化法設計試驗點。采用的RSM方法主要用于評價部分關鍵結構參數對斯特林發動機輸出功率和熱效率的影響。RSM的實施過程如下：

首先，根據優化需求定義因素的水平、范圍和響應值。其次，基于BBD優化方法進行相應的RSM設計得出試驗組合，將這些組合值代入Sage模型中進行計算得到響應值。RSM法根據試驗安排及計算結果得出二次回歸擬合方程，同時對擬合結果進行方差分析（ANOVA）。根據方差分析結果判斷出回歸方程擬合度是否良好，若擬合度良好則認為模型可靠性高，從而進行結果分析。若回歸方程擬合度較差，則需要進一步添加試驗點，對其重新設計。采用RSM建立結構參數與自由活塞斯特林發動機輸出功率和熱效率之間的關聯式。其中，二次回歸模型描述如式（6）：

式中：y為FPSE系統的響應值；xi和xj為隨機變量；β0、βi、βii和（i=0，1，2，…，k；j=0，1，2，…，k）為待定系數，由樣本點迭代確定；ε為統計誤差。

影響斯特林發動機熱力學性能的參數比較多，包括三個換熱器結構參數、冷熱端溫度和充氣壓力等。國內外研究者對這方面也做過相關研究[18，19]。在本次RSM試驗中，將配氣活塞桿直徑、加熱器、回熱器以及冷卻器的長度作為因變量，主要是便于后期整機熱力學性能的調試，若要改動其他參數，勢必給整機結構的調整帶來諸多不便。回熱器在實際設計計算過程中，配氣活塞長度也隨換熱器長度發生變化。各參數的范圍和水平主要基于實際工程設計，其分別由A、B、C和D表示，輸出功率和熱效率為響應值，分別用Wnet和Eff表示。其中，活塞桿直徑范圍為0.004～0.008 m，加熱器長度范圍0.010～0.025 m，回熱器長度范圍0.030～0.045 m，冷卻器長度范圍0.015～0.030 m，如表2所列。

表2 各因素水平和范圍Tab.2 Ranges and levels in BBD

3 結果分析

根據BBD試驗設計安排試驗點、各因素和水平，隨機得出試驗總次數為29次。將不同結構參數組合的因變量輸入至Sage模型中，計算得出不同配氣活塞桿直徑、加熱器、冷卻器以及回熱器長度下斯特林發動機的輸出功率和熱效率值，結果如表3所列。表中第1列表示試驗次數，后4列表示試驗條件，最后2列為試驗結果。Dr表示活塞桿直徑，Lh、Lr和Lc分別表示加熱器、回熱器和冷卻器長度。對表3中數據進行回歸分析，得到四因素對輸出功率和熱效率的二次多項回歸擬合方程：

表3 試驗安排矩陣Tab.3 Design of experimental matrix

3.1ANOVA分析

基于BBD算法，式（7）和式（8）給出了輸出功率和熱效率的二次模型回歸方程。在響應面優化分析中二次回歸方程的準確性和顯著性由方差分析檢驗。表4、表5分別給出輸出功率和熱效率響應面優化模型的方差分析結果。平方和反映所優化試驗數據的總體波動性，方差由每部分的平方和除以自由度得到，F值反映模型對響應值的影響，P值用以判斷因素影響相應的顯著性，P值小于0.05表示因素對響應影響很大。R2是判斷回歸方程有效性的一個重要參數，其值越接近于1，表明模型準確度較高。修正擬合系數R2adj反映模型能夠解釋的響應值變化百分比，預測擬合系數R2Pred與修正擬合系數R2adj越接近于1，表明模型越顯著。信噪比用來衡量有效數據和干擾之間的比例關系，通常認為其值大于4，說明有效數據充分，模型可靠，能夠準確預測響應值。由表4可知，R2為0.999 9，R2adj為0.999 8，說明模型的預測值和實際值吻合度較好。還可得知，活塞桿直徑、加熱器、回熱器和冷卻器長度及AC、AD、BC、BD、CD、A2、B2、C2和D2的P值都小于0.05，說明參數對輸出功率有顯著影響，而其他參數如AB的P值大于0.05，說明其影響較小。由表5可得，R2為0.998 5，R2adj為0.997 1，R2Pred為0.999 4說明吻合度較好。除了AB和AC的P值大于0.05外，其他參數對熱效率都有顯著的作用。由表4和表5得知，BC、BD及CD兩兩參數對輸出功率和熱效率都有顯著影響，因此作為重點因素進行分析。

表4 輸出功率的方差分析Tab.4ANOVAfor output power

表5 熱效率的方差分析Tab.5 ANOVAfor thermal efficiency

圖3為響應面（RSM）預測的輸出功率、熱效率和Sage模型計算值之間的關系圖。由圖可知，大部分設計點與圖中斜線十分接近，說明模型的模擬結果能夠有效預測斯特林發動機的熱力學性能。

圖3 響應面預測結果與Sage計算結果圖Fig.3 RSM predictions versus Sage model's results

3.2 各因素之間耦合影響分析

為研究四個參數對自由活塞斯特林發動機性能的相互影響，RSM分析法提供多因素的二維等高線圖和三維表面分析，顯示了兩個因素之間的相互作用對輸出功率和熱效率的影響。圖4～9分別給出了BC、BD和CD（對應于表4和表5的重要因素）對輸出功率和熱效率的相互影響。

圖4和圖5為加熱器和回熱器長度的綜合效應對FPSE輸出功率和熱效率的影響，此時活塞桿直徑為0.006 m，冷卻器長度為0.022 5 m。由圖4（a）可知，當加熱器長度增加至0.025 m，回熱器長度最短時的輸出功率最大。由圖4（b）得知，加熱器長度和回熱器長度間的相互作用對輸出功率影響較大，即兩者長度增加輸出功率均線性降低。從圖5（a）和（b）所示的等高線和三維表面圖中可看出，回熱器長度增加至最大時，熱效率隨加熱器長度增加而非線性增加。這是因為加熱器和回熱器長度的增加會導致流阻損失的增加，使得輸出功率隨之降低，但在模型中引起的回熱器外殼壁面導熱損失降低。因此，針對實際機型，需選擇合適的回熱器和加熱器長度。

圖4 加熱器與回熱器長度對輸出功率的耦合影響圖Fig.4 The combined effect of length of heater and regenerator on output power

圖6和圖7顯示加熱器和冷卻器長度的綜合效應對輸出功率和熱效率的影響，此時活塞桿直徑為0.006 m，回熱器長度為0.037 5 m。由圖6（a）中可清晰地看出，左下角區域為輸出功率的最大值，該值大于100 W，此時的加熱器長度為0.015 m，冷卻器長度為0.01 m。由圖6（b）可知，加熱器長度由0.025 m降低至0.01 m時，輸出功率隨冷卻器長度的增加而減小，并呈現線性趨勢。從圖7（a）和（b）所示的等高線和三維表面圖中可以看出，加熱器長度增加至最大時，熱效率隨冷卻器長度先增加，達到最大值后降低。這是因為當冷卻器長度比較短時，壓降損失影響不明顯，輸出功率降低亦不明顯，熱效率增加。當換熱器長度增加到一定值時，由流動阻力引起的壓降損失對發動機性能的影響變大。因此，發動機性能隨冷卻器長度的增加有最佳值。

圖5 加熱器與回熱器長度對熱效率的耦合影響圖Fig.5 The combined effect of length of heater and regenerator on thermal efficiency

圖6 加熱器與冷卻器長度對輸出功率的耦合影響圖Fig.6 The combined effect of length of heater and cooler on output power

圖7 加熱器與冷卻器長度對熱效率的耦合影響圖Fig.7 The combined effect of length of heater and cooler on thermal efficiency

圖8和圖9顯示了回熱器和冷卻器長度的綜合效應對輸出功率和熱效率的影響，此時活塞桿直徑為0.006 m，加熱器長度為0.015 m。由圖8（a）中可知，等高線圖中左下角區域的輸出功率值最大，該值大于110 W，此時冷卻器的長度為0.015 m，回熱器長度為0.03 m。圖8（b）三維曲面圖中，回熱器長度增加時，輸出功率隨冷卻器長度的增加而降低，而且回熱器長度的增加使得輸出功率的降低幅度更大。由圖9（a）和（b）所示的等高線和三維表面圖得知，回熱器長度增加至0.045 m時，熱效率隨冷卻器長度呈二次曲線形式增加。因此，綜合考慮發動機性能，應該根據實際結構設計以及后續加工工藝等因素選擇合適長度的回熱器和冷卻器。

圖8 回熱器與冷卻器長度對輸出功率的耦合影響圖Fig.8 The combined effect of length of regenerator and cooler on output power

圖9 回熱器與冷卻器長度對熱功率的耦合影響圖Fig.9 The combined effect of length of regenerator and cooler on thermal efficiency

4 結論

響應面是一種綜合試驗設計和數學建模的優化方法，可有效減少試驗次數，給出比較直觀、簡單易懂的等高線圖和三維立體圖，并可有效考察影響因素之間的交互作用。通過采用RSM揭示了自由活塞斯特林發動機換熱器以及配氣活塞桿結構參數對整機熱力學性能的耦合影響規律。得出結論如下：

（1）基于BBD方法安排了29次試驗矩陣，建立輸出功率和熱效率的二次回歸模型。通過對回歸方程的方差分析和模型診斷，發現所選的四個結構參數對斯特林發動機性能具有顯著影響。響應面預測模型與Sage計算結果具有高度一致性，有效證明了模型的有效性和可靠性。

（2）由RSM的二維等高線圖和三維表面圖，探明了兩個因素之間的相互作用對輸出功率和熱效率的影響規律。結果顯示：輸出功率隨著回熱器、加熱器以及冷卻器長度的增加而降低，熱效率隨之增加而增加，冷卻器長度對熱效率有最佳值，較長的換熱器長度會對整機熱效率產生積極影響。在以后對FPSE的改進設計中，需合理選擇其長度，以優化發動機性能并使結構更緊湊。本文對于有效設計斯特林發動機結構參數以及預測其性能具有良好的指導意義。