封隔器膠筒的非正態(tài)分布變量對(duì)其可靠性靈敏度的影響*

(天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津市輕工與食品工程機(jī)械裝備集成設(shè)計(jì)與在線(xiàn)監(jiān)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300222)

封隔器是廣泛應(yīng)用于油、氣礦藏開(kāi)采的井下工具[1]，其性能及可靠性對(duì)油氣井的開(kāi)發(fā)成本和成功率有較大影響。封隔器的核心密封件是膠筒，因此提高封隔器膠筒結(jié)構(gòu)的可靠性，降低由封隔器膠筒密封失效帶來(lái)的社會(huì)、環(huán)境和經(jīng)濟(jì)效益的影響，一直是研究人員的研究重點(diǎn)[2-4]。

封隔器的可靠性受膠筒密封性能的影響，封隔器的可靠性靈敏度設(shè)計(jì)可以在可靠性的基礎(chǔ)上評(píng)價(jià)膠筒設(shè)計(jì)參數(shù)的改變對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響。因此，為了提高封隔器可靠性，必須使封隔器零部件在靈敏度設(shè)計(jì)上滿(mǎn)足可靠性要求。

封隔器在實(shí)際作業(yè)時(shí)，影響膠筒密封性的因素較多且包含非正態(tài)因素[5-6]，因此，在膠筒的設(shè)計(jì)制造中要控制好相關(guān)因素，以保證封隔器膠筒有足夠的安全可靠性。目前，結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度計(jì)算方法研究應(yīng)用十分廣泛[7-8]，但國(guó)內(nèi)外針對(duì)封隔器膠筒的可靠性靈敏度研究相對(duì)較少。本文作者建立了封隔器膠筒力學(xué)模型，討論了以剪切應(yīng)力為目標(biāo)函數(shù)的封隔器膠筒的可靠性靈敏度優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，結(jié)合泰勒展開(kāi)、攝動(dòng)法和可靠性理論，提出了Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩靈敏度設(shè)計(jì)方法。通過(guò)實(shí)例膠筒的可靠性靈敏度設(shè)計(jì)計(jì)算，驗(yàn)證方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 膠筒的變形分析及其力學(xué)模型

1.1 膠筒的變形分析

圖1所示為某型號(hào)封隔器膠筒的結(jié)構(gòu)示意圖。膠筒作為完井壓裂工藝中封隔器的關(guān)鍵零部件，在井下作業(yè)過(guò)程中，受軸向載荷作用發(fā)生徑向膨脹而密封套管和中心管的環(huán)形空間，因卡瓦和椎體相對(duì)移動(dòng)使卡瓦外齒與套管內(nèi)壁緊密?chē)Ш舷拗埔苿?dòng)，達(dá)到使膠筒處于壓縮狀態(tài)的目的[9]。

圖1 某封隔器結(jié)構(gòu)示意圖

圖2示出了封隔器膠筒受力變形過(guò)程。

圖2 膠筒受力變形過(guò)程

一般將膠筒在油氣井下的狀態(tài)變化過(guò)程劃分為3個(gè)主要變形階段：自由變形階段，約束變形階段，穩(wěn)定變形階段[10-11]。文中主要研究膠筒在正常工作狀態(tài)下(即膠筒受到中心管和套管雙向約束的穩(wěn)定變形階段)受各種因素影響的可靠性情況。

1.2 膠筒接觸應(yīng)力和剪切應(yīng)力模型

在工作壓差作用下，膠筒的端面最大剪切應(yīng)力計(jì)算模型和膠筒接觸壓力分布模型分別如式(1)和式(2)[11]所示。

(1)

(2)

其中H1=0.830 97H,

(3)

式中：R0為膠筒內(nèi)徑；R0σ為套管內(nèi)徑；H為膠筒高度；R1為膠筒的外徑；t為膠筒厚度；G、K分別為橡膠材料剪切模量和體積模量；Fn為密封載荷；p0為初封載荷；工作壓差為Δp。

封隔器實(shí)際工作時(shí)，在油氣井復(fù)雜工況的大壓差作用下，由于膠筒存在材料流動(dòng)、不穩(wěn)定變形、應(yīng)力變化和剪切破壞等情況，即使在滿(mǎn)足密封條件下膠筒仍會(huì)出現(xiàn)密封的不可靠(失效)。造成失效的影響參數(shù)很多，而通過(guò)可靠性靈敏度分析，可達(dá)到減少隨機(jī)變量數(shù)量的目的。例如，在膠筒可靠性設(shè)計(jì)和修改、優(yōu)化時(shí)，如果某些因素的變化對(duì)膠筒機(jī)械可靠性的影響不顯著，則采用定量值處理方法從而減少變量的數(shù)量；反之，若某些因素對(duì)其可靠性有較大的影響，則在設(shè)計(jì)過(guò)程中就要加以控制，使其變化較小以保證密封膠筒具有足夠的安全可靠性。因此，結(jié)合所建立的膠筒力學(xué)模型，文中以封隔器膠筒的抗剪切失效為目標(biāo)進(jìn)行可靠性靈敏度分析。

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度分布干涉模型，建立以密封膠筒的剪切應(yīng)力極限狀態(tài)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行可靠度計(jì)算，目標(biāo)函數(shù)g(X)為

g(X)=τ-τmax

(4)

式中：τ為材料的抗剪強(qiáng)度；X為膠筒的基本隨機(jī)變量，X=[τKGHR0σR0tFnΔp]T。

2 非正態(tài)分布變量的膠筒可靠性靈敏度設(shè)計(jì)

膠筒的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)尺寸與公差相關(guān)，加工制造后其結(jié)構(gòu)尺寸服從正態(tài)分布；所受的力和載荷等參數(shù)由于受到外界因素的影響較大，其分布規(guī)律近似服從非正態(tài)分布。因此文中在可靠性理論基礎(chǔ)上計(jì)算了相關(guān)非正態(tài)分布變量的前四階矩，然后對(duì)比Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩2種可靠性靈敏度計(jì)算方法，把非正態(tài)狀態(tài)函數(shù)的概率分布展開(kāi)成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表達(dá)式，進(jìn)而確定膠筒結(jié)構(gòu)的可靠度和可靠性靈敏度。

2.1 膠筒密封的可靠性模型

基于式(5)所示的已知分布可靠性理論和二階矩法計(jì)算出的可靠性指標(biāo)βSM，機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠度RSM可表達(dá)為如式(6)所示。

(5)

RSM=Φ(βSM)

(6)

式中:Φ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布; E[g(X)]、 Var[g(X)]分別為狀態(tài)函數(shù)的均值和方差。

基本隨機(jī)影響可靠性指標(biāo)βFM按式(7)計(jì)算。

(7)

當(dāng)影響變量X服從非正態(tài)分布時(shí)，密封膠筒的可靠度RFM按式(8)計(jì)算。

RFM=Φ(βFM)

(8)

2.2 密封膠筒可靠性靈敏度分析

3 膠筒可靠性靈敏度設(shè)計(jì)的應(yīng)用實(shí)例

以某型號(hào)的封隔器膠筒為例，假定其材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)服從正態(tài)分布，其具體參數(shù)及分布特性分別為：H=(100, 0.1) mm；τ=(6.0, 0.39) MPa；R0=(42, 0.2) mm；G=(5.80, 0.1) MPa；K=(2.89×103, 500) MPa；t=(13.5, 0.1) mm；R0σ=(59.3, 0.15) mm。膠筒工作壓差Δp和載荷Fn由實(shí)際工況決定，其分布特性呈非正態(tài)。因此，采用Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩法對(duì)比計(jì)算隨機(jī)變量Δp和Fn的前四階矩，具體結(jié)果為：Δp=(50 MPa, 6.8 MPa, 1.6×102MPa3, 5.9×105MPa4)；Fn=(4.9×104N, 4.25×102N, 6.25×107N3, 4.3×1010N4)。將相關(guān)參數(shù)代入膠筒力學(xué)模型公式(4)，得到密封膠筒結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)、可靠度如表2所示，靈敏度如表3所示。

從Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩2種方法計(jì)算結(jié)果可以看出：二者隨機(jī)變量的均值靈敏度正負(fù)號(hào)相同且數(shù)值相差不大，表明各隨機(jī)變量對(duì)可靠性的影響趨勢(shì)是一致的，對(duì)可靠性影響程度是相同的；且膠筒的套管半徑R0σ、體積模量K、許用剪切應(yīng)力τ的增加，會(huì)提高膠筒密封的可靠性；而其余變量增加，則會(huì)降低膠筒密封可靠性。各變量變化對(duì)膠筒密封可靠性影響由大到小的順序依次為:τ、G、R0、R0σ、Δp、H、t、K、Fn，即服從正態(tài)分布的幾何尺寸比非正態(tài)分布的工作壓差、密封載荷對(duì)封隔器膠筒可靠性的影響更顯著，而在非正態(tài)隨機(jī)變量中，工作壓差對(duì)膠筒密封可靠性的影響大于密封載荷的影響。

表1 Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩法靈敏度分析表達(dá)式

表2 膠筒的可靠度和可靠性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表3 膠筒的可靠性均值靈敏度計(jì)算結(jié)果

圖3—8分別示出了不同的設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)膠筒結(jié)構(gòu)密封可靠性的影響程度和趨勢(shì)。可以看出，τ、R0σ和G的增加會(huì)提高膠筒的密封可靠性，而R0、t、Δp、Fn等設(shè)計(jì)參數(shù)的增加會(huì)使膠筒密封可靠性降低，該結(jié)果與表2數(shù)值計(jì)算結(jié)果和正態(tài)分布參數(shù)分析結(jié)果一致。

圖3 許用剪應(yīng)力τ對(duì)膠筒可靠度的影響

圖4 密封壓差Δp對(duì)膠筒可靠度的影響

圖5 膠筒長(zhǎng)度H對(duì)膠筒可靠度的影響

圖6 體積模量K對(duì)膠筒可靠度的影響

圖7 膠筒厚度t對(duì)膠筒可靠度的影響

圖8 膠筒長(zhǎng)度R0σ對(duì)膠筒可靠度的影響

從表4和表5所示的2種方法方差靈敏度的計(jì)算結(jié)果均能看出，基本隨機(jī)變量方差(表中對(duì)角線(xiàn)值為負(fù))的增加，都會(huì)使膠筒趨向不可靠(失效)，但膠筒不同隨機(jī)變量方差靈敏度的變化對(duì)其密封可靠性的影響不盡相同。當(dāng)膠筒的可靠度對(duì)隨機(jī)變量Xi和Xj的均值靈敏度異號(hào)時(shí)，隨著協(xié)方差Cor(Xi,Xj)的增加，膠筒密封性能將趨向可靠；反之，同號(hào)時(shí)，隨著協(xié)方差Cor(Xi,Xj)增加，膠筒密封性能將趨向不可靠(失效)。

表4 膠筒的可靠性方差靈敏度計(jì)算結(jié)果(Edgeworth級(jí)數(shù))

表5 膠筒的可靠性方差靈敏度計(jì)算結(jié)果(四階矩)

4 結(jié)論

(1)根據(jù)密封膠筒均值靈敏度計(jì)算可知，隨機(jī)變量變化對(duì)膠筒密封可靠性影響由大到小的順序依次為:τ、G、R0、R0σ、Δp、H、t、K、Fn，其中，服從正態(tài)分布的幾何尺寸比非正態(tài)分布的工作壓差、密封載荷對(duì)封隔器膠筒可靠性的影響更顯著，但在非正態(tài)隨機(jī)變量中，工作壓差對(duì)膠筒密封可靠性的影響大于密封載荷的影響。

(2)隨機(jī)膠筒方差靈敏度的增加，都會(huì)使膠筒趨向不可靠(失效)，但膠筒不同的結(jié)構(gòu)變量方差靈敏度的變化對(duì)其可靠性的影響也不盡相同。

(3)在封隔器膠筒的設(shè)計(jì)、試驗(yàn)和優(yōu)化過(guò)程中，要嚴(yán)格控制好敏感參數(shù)的變化。

(4)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩2種可靠性靈敏度計(jì)算方法的高效性和合理性，為封隔器密封膠筒的可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，對(duì)封隔器膠筒的工程實(shí)踐具有重要參考和指導(dǎo)意義。