基于擴展O-U模型的天氣期權定價及數據信息應用分析

姚譽

摘要：天氣期權不斷發展，政府多次提出推廣農產品“期權+期貨”，天氣期權在農業的應用成為研究重點。本文利用拓展的O-U模型，通過傅里葉變換、自回歸方程、AR-GARCH等，以1951-2017年數據進行參數估計，預測大連市2018年的日均氣溫，吻合度較高，可應用于模擬期權定價。此外，分析其在玉米期權（GDDs、MGDDs）中應用的可行性和誤差，并提出在農業中應用期權的建議。

關鍵詞：天氣期權;O-U模型;玉米期權

中圖分類號：F832 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2019）05-0128-03

0 引言

隨著全球氣候變暖，氣象災害頻發，異常天氣事件對社會經濟活動產生了嚴重影響。對天氣敏感的企業，如：能源、農業、交通運輸業、旅游業等均面臨天氣風險。其中，農業對天氣的依賴性最強，因此，國外多采用天氣衍生品、農業保險等多種綜合手段來保障農民收益。我國也在加大對天氣期權期貨的研究試點。

天氣衍生品市場正在不斷發展，其中氣溫期權期貨發展得最為迅速。氣溫期權將氣溫指數化模擬股指作為交易的標準。但由于氣溫指數本身的不可交易性，Davis（2001）等認為B-S模型不適用于天氣類指數。此外，對氣溫的預測是氣溫期權定價的前期條件。Campbell（2005）用時間序列來進行天氣預測，在短期和長期預測中都有具有可行性。李永（2011）中以上海市為例，進行了天氣預測，精度檢驗極高，具有良好的預測效果。

本文運用李永（2013）的建模方法，以大連市為例，進行氣溫期權的分析研究。第一部分，是將1951-2017的日均氣溫數據作為時間序列，以擴展的O-U模型建模，包含季節、氣溫周期性變化、氣溫波動等因素。第二部分，采用傅里葉變換、自回歸過程、AR-GARCH模型估計氣溫模型的各個參數。第三部分，擬合2018年的數據，進行精度檢驗，并模擬GDDs期權的定價及對沖農業風險的可行性。

1 拓展O-U模型

均值回歸的Ornstein-Uhlenbeck過程的一般方程為：

dx（t）=-α（x（t）-μ）dt+σdw（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

本文將從季節變化、周期性變化、波動率來建立模型：

dTt=dSt+αtdt+σtdw（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，Tt是大連市的第t天的日均氣溫，St是氣溫的總趨勢，是對Tt的長期趨勢擬合，α是均值回復速率，σt是各時期的波動率，w（t）是維納過程。

1.1 長期趨勢和季節變化

大連氣溫具有明顯的四季變化，大體上呈現周期波動的情況，因此考慮通過傅里葉變換來擬合。其次，由于二氧化碳含量的逐年增加，用線性方程a+bt來表示溫度的長期增長趨勢。

St=a+bt+aisin+bicos? （3）

其中，m1，n1需要通過擬合1951-2017的數據來確定，傅里葉變換的級數。

1.2 均值回復速率

均值回復的速率需要通過分析Tt和St之間殘差的關系，得到估計。由李永（2013）可知，氣溫一般存在自回歸過程，用方程表示如下：

αt=ci（Tt-i-St-i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

其中，p是具體回歸的階數，p的選擇需要基于和AIC等準則和ACF、PACF的圖像。

1.3 波動率

通常，夏季溫度的變化較為穩定，而冬季溫度相對變化幅度較大，因此，波動率不是一個常數。由于存在明顯的季節性，所采用傅里葉變換表示大體趨勢，方程表達如公式（5）。分析殘差的自相關和偏自相關函數，考慮ARMA，方程表示如公式（6）。通過檢驗殘差是否存在條件異方差，即ARCH效應。若存在該效應，則考慮AR-GARCH，方程表示如公式（7）：

Yt=d+disin（iωt）+ejcos（iωt）? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

σt2=Yt+βi（σ2t-i-Yt-i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

σt2=Yt+βi（σ2t-i-Yt-i）+γiσ2t-j+λkε2t-k（7）

其中，m2，n2可以通過具體數據，判斷級數，q為AR的階數，m3，n3是GARCH里的參數。

2 參數估計

大連市逐日數據來源于中國氣象數據網。時間區間為1951年1月1日-2018年1月1日，共24820項日均氣溫數據記錄，其中2月29日數據都已刪除，繪制如圖1。為了對比分析預測精度，本區間選擇為1951年1月1日-2017年1月1日，共24455項記錄。

2.1 St參數估計

通過MATLAB編程，可估計St的各參數。通過比較多個m1，n1的組合，發現m1=n1=1時，誤差最小，所以取值為1階傅里葉。擬合后式（3）參數值如表1。

擬合后，如圖2所示，模擬了日均氣溫的大致變化趨勢。同時，對比了St所預測的2018年數據和真實數據，吻合度很高，如圖3所示。

2.2 均值回復參數估計

從上一步得到Tt-St的殘差值，將其記為Xt。為利用ARMA建模，對Xt進行平穩性的檢驗。在單位根檢驗法中，Xt的t統計值在-30.904，顯著小于1%的臨界值，-3.43，因此，不拒絕原假設，為平穩序列。

觀察ACF，PACF圖像（圖4），有自相關函數呈拖尾狀，偏自相關函數呈3階截尾狀，因此，建立AR（3）的模型，式（4）的參數估計如表2。

2.3 σt的參數估計

將1951-2017年中的樣本數據，按照日期分為365組，每組有67條記錄，計算每組的方差，可得到該日期的歷史波動率，并通過不同傅里葉階數組合，得到最適階數為m2=n2=4，擬合如圖5，式（5）參數估計值如表3。

對殘值進行單位根檢驗，可以得到t統計量為-11.6513，1%的臨界值為-3.448161，P值為0.0000，所以該殘差序列為平穩序列，故進行ARMA回歸。根據SIC準則，初步選定為AR（1），即一階自相關性，因此，式（6），（7）中的q值應選為1。

一次殘值擬合完AR（1）方程，得到二次殘值。可以發現波動的集群現象，這說明二次殘值可能存在條件異方差。利用ARCH-LM檢驗，結果如表4，通過比較，滯后階數選為3。

上述結果表明，拒絕原假設，存在ARCH效應。利用GARCH消除條件異方差，通過分析，選定GARCH（1，1）模型，再次進行ARCH-LM檢驗，結果如表5。

上述結果表明，此時二次殘值通過GARCH（1，1）消除了條件異方差。因此，選用式（7），參數q=m3=n3=1，參數擬合結果如表6。

其中，γ1和λ1的和為0.999634，小于1且都大于0，因此，滿足參數約束條件。同時，兩者之和充分接近1，說明二次殘差序列的條件方差所受到的沖擊是持久的，可以進行長期的預測。

此時，AR-GARCH模型的殘差值偏度為0.137751，峰度為 3.317492，屬于平頂分布，但是非常接近0，3，JB值為2.665262，所以該殘差序列可以近似認為服從標準正態分布，滿足模型εt～N（0，1）假設。

3 預測檢驗與定價應用

3.1 預測對比

將式（3）（4）（5）（7）代入式（2），并將各估計好的參數值代入，預測大連市2018年全年的日均氣溫，預測值與真實值的對比，如圖7。預測值基本反映了溫度的分布大體趨勢，tf為預測值。

3.2 應用拓展

由于農作物各時期的生長要求溫度并不相同，考慮利用分段的GDDs，以大連地區玉米為例。玉米在大連的播種時間一般為4月，收獲時間為10月左右，根據生長溫度的需求，將2月初到7月底，K=8℃，1月初到1月底和8月初到12月底，K=18℃。此時，真實值的GDDs指數為1699.5，預測值的GDDs指數為1511.867，相對誤差項為-0.11041。誤差較大，說明若要考慮分段GDDs，需要更高的預測精度。

4 結論及展望

本文利用拓展的O-U均值回復模型對大連市的溫度進行預測，其中，涉及了傅里葉變換、自回歸方程，AR-GARCH模型等。運用預測得到的2018年的氣溫值，分析了有關氣溫指數在農產品期權的可行性，得到以下結論：

（1）在氣溫預測的過程中，運用了傅里葉變換等，因此，還需要考慮Tt和σt是否協整，應進行協整檢驗。同時，隨著天氣期權市場的不斷發展，氣溫的預測精度仍有待提升，氣溫預測是溫值類期權的發展基礎。（2）現有的玉米期權等對沖天氣風險的針對性并不強。多數學者研究氣溫期權，在能源業應用結果較為成功，但在農業上應用還需綜合考慮許多要素，亟待學者進一步研究。

參考文獻

[1] M. Davis. Pricing weather derivatives by marginal value[J].Quantitative Finance，2001，1（3）.

[2] Cao M， Wei J. Pricing the weather[J]. RISK-LONDON-RISK MAGAZINE LIMITED-，2000， 13（5）：67-70.

[3] 劉國光.天氣預測與天氣衍生產品定價研究[J].預測，2006（06）：28-33.