含三維深埋裂紋脆性巖石水力壓裂數(shù)值模擬研究

陳禮婧，張 敏

(1.廣西理工職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程(建筑材料)學(xué)院，廣西崇左532200；2.江西科技師范大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西南昌330013)

0 引 言

裂紋與節(jié)理作為巖體的固有屬性，一直被水利、巖土、石油勘探工程界關(guān)注。對(duì)深埋地下工程來說，巖體常常處于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)[1]，含裂紋巖體常常容易發(fā)生破壞。針對(duì)受壓巖體裂紋的起裂與擴(kuò)展，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的探討，Griffith[2]最早基于玻璃提出了近代斷裂經(jīng)典理論；L.Obert、Hoek.E[3- 4]對(duì)雙軸條件下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律進(jìn)行了試驗(yàn)研究；于慶磊等[5]對(duì)含中心穿透型裂紋的巴西圓盤進(jìn)行了室內(nèi)試驗(yàn)，研究了不同角度預(yù)制裂紋在軸壓下的裂紋擴(kuò)展演化規(guī)律。但是，以上研究?jī)H僅是針對(duì)穿透型裂紋(二維情況)來說，事實(shí)上，裂紋往往以三維形態(tài)存在于巖體中，且三維裂紋擴(kuò)展的形態(tài)與規(guī)律與二維裂紋相比有較大的不同，將三維裂紋簡(jiǎn)化為二維裂紋進(jìn)行理論分析及數(shù)值模擬會(huì)丟失掉很多三維信息[6-7]。因此，對(duì)三維裂紋在復(fù)雜荷載下的裂紋起裂與擴(kuò)展研究一直是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。

水力壓裂是近年來發(fā)展的新技術(shù)[8-9]，廣泛利用于水利水電工程、石油和天然氣工業(yè)、地?zé)豳Y源開發(fā)、核廢料儲(chǔ)存及地應(yīng)力測(cè)量中[10-12]。基于以上應(yīng)用，許多學(xué)者對(duì)水力致裂進(jìn)行了一定的探討，M. A. Kayupov等[13]對(duì)含孔洞的立方體試件進(jìn)行了注水破壞試驗(yàn)；徐世烺[14]對(duì)比了楔入式緊湊拉伸試件在不同注水壓下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律。但是，以上研究均未擺脫二維的范疇，對(duì)三維深埋裂紋在圍壓與水壓共同作用下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律還缺乏一個(gè)客觀的認(rèn)識(shí)。

基于此，本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]提出的水力壓裂裂紋擴(kuò)展影響因子理論，運(yùn)用三維裂紋分析軟件Franc3D，同時(shí)考慮最大、最小主應(yīng)力以及不同水壓對(duì)三維深埋裂紋擴(kuò)展的影響，對(duì)不同圍壓、不同內(nèi)水壓下的裂紋擴(kuò)展過程及裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值模擬，為相應(yīng)含裂紋巖體的裂紋擴(kuò)展特性的認(rèn)識(shí)提供參考。

1 計(jì)算理論

1.1 M積分

對(duì)于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ，用M積分可以表示為[15]

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，E為彈性模量；v為泊松比；KⅠ，KⅡ，KⅢ，分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；(1)、(2)為2種獨(dú)立的線彈性狀態(tài)；a、b、c分別為M積分的Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子分量。利用式(2)～(4)，便可計(jì)算出三維裂紋尖端的3個(gè)應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.2 最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則

Franc3D軟件基于最大周向拉應(yīng)變理論計(jì)算裂紋的起裂方向。對(duì)裂紋尖端來說，應(yīng)力分量在極坐標(biāo)下可以表示為

(5)

式中，σr為徑向應(yīng)力；σθ為環(huán)向應(yīng)力，τrθ為切應(yīng)力；θ為裂紋尖端角度。

對(duì)于線彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變則滿足胡克定律，即

(6)

式中，εr為徑向應(yīng)力；εθ為環(huán)向應(yīng)力；γrθ為切應(yīng)力。

最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則認(rèn)為，裂紋尖端沿著環(huán)向拉應(yīng)變最大的地方擴(kuò)展。同時(shí)，環(huán)向拉應(yīng)變達(dá)到最大時(shí)裂紋開始擴(kuò)展。

1.3 裂紋起裂方向

最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則下，裂紋起裂方向滿足以下關(guān)系

(7)

(8)

根據(jù)式(8)便可計(jì)算出最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則下的裂紋擴(kuò)展方向。

2 模型建立

2.1 計(jì)算模型

試件尺寸為標(biāo)準(zhǔn)立方體試件尺寸，長(zhǎng)×寬×高為50 mm×50 mm×100 mm，其中裂紋尺寸為2a=20 mm、2b=15 mm(a、b分別為裂紋的長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)度)。材料的彈性模量E為16 GPa，泊松比μ為0.21，密度ρ為2.3 g/cm-3。計(jì)算邊界條件為底部約束3個(gè)方向的位移，頂部施加應(yīng)力邊界為7 MPa，側(cè)邊施加應(yīng)力邊界為3 MPa，裂紋內(nèi)表面施加水壓邊界。計(jì)算模型及網(wǎng)格見圖1。

圖1 計(jì)算模型及網(wǎng)格

2.2 水力壓裂裂紋擴(kuò)展影響因子的定義

為綜合考慮最大與最小主應(yīng)力以及裂紋面內(nèi)水壓的影響，根據(jù)康紅普院士的研究成果，定義為

(9)

式中，D為水力壓裂裂紋擴(kuò)展影響因子；P為裂紋面的內(nèi)水壓力，σ1、σ3分別為最大、最小主應(yīng)力。本文依次取D值為0、1、5，10和50進(jìn)行分析計(jì)算。

2.3 模型驗(yàn)證

為說明本文計(jì)算的合理性，對(duì)比李術(shù)才等[16]運(yùn)用樹脂及中空裂隙注水進(jìn)行雙軸水力壓裂試驗(yàn)，文獻(xiàn)[16]的內(nèi)水壓力為10 MPa、σ1=10 MPa、σ2=2 MPa(即按照本文的定義，D=0)。裂紋擴(kuò)展形態(tài)與本文數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比見圖2。從圖2可知，兩者結(jié)果高度相似，即裂紋上下尖端出現(xiàn)了翼形包裹狀裂紋，深色染劑部分即為翼形包裹裂紋的典型形狀。證明了Franc3D軟件在計(jì)算三維裂紋擴(kuò)展方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

圖2 結(jié)果對(duì)比

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 不同工況下的裂紋擴(kuò)展過程

水力壓裂裂紋擴(kuò)展影響因子D分別為0、1、5、10和50下的裂紋擴(kuò)展過程見圖3。從圖3可以看出，不同D下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律有較大的差異：

(1)D較小時(shí)(對(duì)應(yīng)D=0時(shí))，裂紋面的水壓力值較小，裂紋呈現(xiàn)典型的翼形包裹狀裂紋擴(kuò)展規(guī)律，即預(yù)制裂紋尖端的裂紋擴(kuò)展與原裂紋平面呈現(xiàn)較大的轉(zhuǎn)角，最終翼裂紋沿著最大主應(yīng)力方向發(fā)展(本文中沿著應(yīng)力邊界為7 MPa，即試件的上下方向)，最終貫穿試件，試件發(fā)生破壞。

(2)D適中時(shí)(對(duì)應(yīng)D=1、5、10)，預(yù)制裂紋先發(fā)生翼裂紋擴(kuò)展，值得注意的是，此時(shí)翼裂紋與原裂紋面的夾角較小，且隨著水力壓裂裂紋擴(kuò)展因子的變大，翼裂紋與原裂紋面的夾角越來越小，即逐漸趨向于沿著原裂紋面進(jìn)行自相似擴(kuò)展，翼裂紋擴(kuò)展到一定程度時(shí)，裂紋面逐漸沿著平面擴(kuò)展，且隨著D的變大，擴(kuò)展平面與原裂紋平面的夾角也越來越小。

(3)D較大時(shí)(對(duì)應(yīng)D=50)，裂紋擴(kuò)展與其他情況不同，預(yù)制裂紋尖端沒有經(jīng)歷翼裂紋的擴(kuò)展直接呈現(xiàn)自相似擴(kuò)展，最終試件的斷裂面也是沿著原裂紋面方向，值得注意的是，對(duì)裂紋自相似擴(kuò)展，裂紋在未穿透試件表面一直呈現(xiàn)圓弧狀擴(kuò)展，直到裂紋穿透表面，裂紋前緣才會(huì)變直。

圖3 不同D下的裂紋擴(kuò)展過程

3.2 預(yù)制裂紋尖端特征點(diǎn)裂紋擴(kuò)展規(guī)律

為定量監(jiān)測(cè)不同工況下的裂紋特征點(diǎn)在每個(gè)計(jì)算步的擴(kuò)展長(zhǎng)度，根據(jù)對(duì)稱性，選擇如圖4所示的裂紋特征點(diǎn)(點(diǎn)A和點(diǎn)B，分別對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn))進(jìn)行裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度的定量監(jiān)測(cè)，圖中數(shù)字為每一擴(kuò)展步的關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)識(shí)，C、D為A、B軸對(duì)稱點(diǎn)。裂紋擴(kuò)展的總長(zhǎng)度與計(jì)算時(shí)步的關(guān)系見圖5。

圖4 裂紋特征點(diǎn)

圖5 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度隨計(jì)算時(shí)步的變化

從圖5可知，A點(diǎn)擴(kuò)展長(zhǎng)度隨計(jì)算時(shí)步呈線性增大，在不同工況下，裂紋在前期(第1個(gè)計(jì)算時(shí)步)擴(kuò)展長(zhǎng)度無明顯的差異，在裂紋的擴(kuò)展后期(第2個(gè)計(jì)算時(shí)步后)，隨著D的變大，擴(kuò)展長(zhǎng)度越大，但不同工況下A點(diǎn)的擴(kuò)展長(zhǎng)度之間差異較小。B點(diǎn)擴(kuò)展長(zhǎng)度隨計(jì)算時(shí)步幾乎呈線性增大，在第1個(gè)計(jì)算步之前，不同工況下的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度無明顯差異，但在裂紋擴(kuò)展后期差異明顯出現(xiàn)，即D越大，裂紋擴(kuò)展總長(zhǎng)度增長(zhǎng)得越快。需要注意的是，B點(diǎn)總體上的裂紋擴(kuò)展總長(zhǎng)度要大于A點(diǎn)，這與數(shù)值模擬中觀察到的“裂紋前后首先貫穿試件形成貫穿性裂紋”這一現(xiàn)象相吻合。

3.3 裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

為研究不同工況下裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化規(guī)律，A點(diǎn)為起點(diǎn)，定義初始裂紋前緣ABCD方向總長(zhǎng)度為單位1(見圖4)，并對(duì)3個(gè)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ進(jìn)行歸一化處理，即KⅠ、KⅡ、KⅢ同時(shí)除以KR，KR可表示為如下形式[17]

(10)

Q=1+1.464(a/b)1.65

(11)

式中，σ0為模型邊界上的拉伸應(yīng)力。由式(10)、(11)即可得出歸一化的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋尖端路徑的變化規(guī)律。

為體現(xiàn)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子不同工況的差異，取y軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸，而Ⅱ型、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的y軸則為正常坐標(biāo)軸，繪制歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子變化規(guī)律，見圖6。由圖6可知：

(1)對(duì)于Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子來說，由于內(nèi)水壓力的作用，使得Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子都大于0，即裂紋面處于張拉的狀態(tài)。Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋的短半軸(圖4中B點(diǎn)和D點(diǎn))取得最大，而在裂紋的長(zhǎng)半軸(圖4中A點(diǎn)和C點(diǎn))取得最小，這也解釋了裂紋短半軸的擴(kuò)展速率要大于長(zhǎng)半軸，與數(shù)值模擬裂紋首先貫穿試件的前后表面相吻合。同時(shí)，D越大，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子也越大，說明裂紋面水壓力的增大會(huì)加劇裂紋的張開效應(yīng)，由數(shù)值模擬中D較大時(shí)裂紋呈現(xiàn)自相似擴(kuò)展規(guī)律可知，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子是水力壓裂情況下的裂紋擴(kuò)展方向的主控因素。

(2)對(duì)于Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子來說，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值在裂紋的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處取得最大，說明裂紋的長(zhǎng)半軸頂點(diǎn)首先發(fā)生Ⅱ型裂紋破壞，結(jié)合數(shù)值模擬中翼形包裹狀裂紋出現(xiàn)在裂紋上下尖端，說明Ⅱ型裂紋是翼形包裹狀裂紋發(fā)生的主控因素。同時(shí)注意到，在預(yù)制裂紋尖端的短半軸，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最小為0，而Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最大，說明裂紋的短半軸處發(fā)生純Ⅰ型裂紋擴(kuò)展。D越大，總體上Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值越大，但不同工況下Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值差異不大。

圖6 應(yīng)力強(qiáng)度因子變化

(3)對(duì)于Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子來說，Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋的長(zhǎng)半軸處為0，而在裂紋的短半軸處絕對(duì)值達(dá)到最大，同時(shí)，D越大，Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值也越大。

4 結(jié) 語

本文利用Franc3D軟件，對(duì)雙軸壓力條件下(σ1=7 MPa、σ2=3 MPa)不同水力壓裂裂紋擴(kuò)展因子D下的水力壓裂裂紋擴(kuò)展形態(tài)、裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度以及應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，同時(shí)與現(xiàn)有的試驗(yàn)研究進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明：

(1)運(yùn)用Franc3D軟件對(duì)三維深埋裂紋在雙軸壓力條件下裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行數(shù)值模擬，與現(xiàn)有試驗(yàn)匹合度高，計(jì)算精度高，體現(xiàn)了該軟件在模擬水力壓裂中的優(yōu)越性。

(2)水力壓裂裂紋擴(kuò)展因子D越大，裂紋擴(kuò)展形態(tài)由原來的翼形包裹狀裂紋擴(kuò)展逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)樽韵嗨茢U(kuò)展，最終破壞形態(tài)呈現(xiàn)先貫穿試件的前后表面，后貫穿整個(gè)試件。D越大，裂紋長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展速率越大，裂紋長(zhǎng)軸端點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展速率要小于裂紋短軸端點(diǎn)。

(3)Ⅰ型與Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋長(zhǎng)軸端點(diǎn)達(dá)到最小，在短軸端點(diǎn)達(dá)到最大；而Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋短軸端點(diǎn)處達(dá)到最小，在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處達(dá)到最大。水力壓裂裂紋擴(kuò)展因子D越大，3個(gè)應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值也越大。