基于MDADT的多變時滯切換正系統異步輸出跟蹤控制

劉 娟, 黃慶道

(1. 吉林大學 數學學院, 吉林 長春 130000; 2. 沈陽大學 師范學院, 遼寧 沈陽 110044)

近年來,由于切換系統[1-2]與正系統[3-4]的廣泛應用與理論研究,切換正系統(SPSs)的穩定性分析與L1-增益性能分析呈快速發展趨勢[5].另外,含有時滯的SPSs也被廣泛研究[6-10].

另外,切換系統的跟蹤控制也得到了廣泛的關注.例如,文獻[11]對不含時滯的SPSs輸出跟蹤控制進行了研究.文獻[12]討論了一類具有多時變時滯的切換非線性系統的輸出跟蹤控制問題.針對一類不確定切換非線性系統的輸出跟蹤控制問題,文獻[13]給出了兩種自適應控制方案.然而,上述結果主要是對無延遲的非正切換系統或SPSs進行跟蹤控制.最近,文獻[14]研究了帶有時滯的SPSs的輸出跟蹤問題,利用ADT和多co-positive Lyapunov函數方法給出了與時滯無關的指數L1輸出跟蹤控制器設計.

值得指出的是,以上關于時滯SPSs的跟蹤控制的研究中,僅僅研究了同步切換.文獻[15]利用MDADT方法,研究了一類具有時變時滯的切換正線性系統(SPLS)的穩定性和異步L1控制問題.文獻[16]考慮了切換正T-S模糊系統在時變時滯和異步切換下的指數穩定性和L1-增益分析問題.然而,在以上的工作[15-16]中,在處理Lyapunov函數的導數上界過程中,狀態積分項被直接忽略,從而導致結果具有保守性.

針對以上問題,本文研究了具有多個變時滯的SPSs指數L1輸出跟蹤控制問題.①給出了基于時滯的狀態反饋控制器,使系統的輸出跟蹤性能達到指定L1指標.當控制器與時滯無關時,給出了更易求解的判據[14];②利用MDADT方法和co-positive Lyapunov泛函方法得到新的時滯相關的指數穩定性判據;③與文獻[15-16]比較,引入新的自由向量估計Lyapunov函數的導數,沒有忽略任何項,得到新的不太保守的判據,擴大了最大時滯上界.

符號約定:A?0(0)表示矩陣A的所有元素均是正的(負的);AB表示A-B0;Rn為n維實向量空間;Rn×n為n×n維實矩陣集;

其中,xl為向量x的第l個元素.

1 問題描述

考慮如下多時滯切換線性系統:

(1)

Ai,Bi,Ci,Di,Ei為適當維數的常矩陣.

假設2φ(θ)為定義在區間[-τ,0]上的連續函數,其中τ=max1≤l≤n{τl}.

定義1 對于任意切換信號σ(t)、 任意初始條件φ(θ)0,θ∈[-τ,0], 以及任意輸入ω(t)0,u(t)0,t≥0, 如果系統(1)的相應軌跡滿足x(t)0,z(t)0, 那么系統(1)被稱為正系統.

證明 該引理可從文獻[14]中的引理2直接推出.

為了討論SPSs(1)的追蹤行為,考慮如下正參考模型:

(2)

本文中, 筆者將設計如下形式的狀態反饋控制器:

u(t)=K1σ(t - τs(t))x(t)+K2σ(t - τs(t))xr(t).

(3)

其中:τs(t):[0,+∞)→[0,τs]為切換時滯,滿足τs

將控制器(3)帶入系統(1),得到如下的閉環系統:

(4)

記

得到如下的增廣切換系統:

(5)

其中,

記

得到

且控制器(3)可以改寫為

u(t)=Kσ(t - τs(t))ξ(t).

(6)

定義3[17]對于任意的切換信號σ(t)及任意T≥t≥0,令Nσ i(T,t)為第i個子系統在區間[t,T]內被激活的切換次數,Tσ i(T,t)為第i個子系統在區間[t,T]內運行的總時間.如果存在正數N0i,τa i使得

則稱σ(t)具有一個依賴于模型的平均駐留時間τa i.

定義4[14]如果存在常數α>0,γ>0,使得以下條件成立:

② 在零初始值條件下,即x(t)=0,t∈[-τ,0],xr(t)=0,

注1 在定義4中,γ代表系統的L1增益,式(7)中指數項的目的是限制e(t)的L1范數,使其最大不超過α.

2 主要結果

2.1 穩定性分析

其中,

那么系統(5)在任意滿足

(17)

的切換信號σ(t)下是指數穩定的.

對于系統(5),考慮如下Lyapunov-Krasovskii函數

考慮到

(21)

于是,對于任意ζ∈Rn,式(22)成立.

那么,

于是利用條件(8)(9)(12)(13)得:

同理,利用條件(10)(11)(14)(15)得:

當t∈[tk,tk+τs(tk)),k∈N,

當t∈[tk -1+τs(tk -1)),k∈N時,

于是,

由不等式(25)(26)(27)可得

于是,系統(5)是指數穩定的.

注2 與文獻[15-16]中的方法相比, 新的自由向量的引入使得判據的保守性更小. 當τ=0,ρ=0,n=1, 定理1即退化為文獻[15]中的定理2.

2.2 L1增益分析

(33)

將不等式(34)兩端同時積分得:

于是,與定理1的證明類似,

當t∈[tk,tk+τs(tk)),k∈N,

當t∈[tk-1+τs(tk -1)),k∈N時,

于是,

從而,

對不等式(38)兩端從t=t0到∞進行積分,得

2.3 異步L1控制設計

那么,SPSs(1)在任意滿足(17)與(16)的切換信號下具有指定的L1-增益輸出跟蹤指標γ.

當τs(t)=0時,由定理3可以得到SPSs(1)在同步切換下的輸出跟蹤控制設計.

注3 與文獻[14]的定理3相比,ζ的引入使得推論1(n=1)中的不等式更易求解.

3 算 例

考慮文獻[14]中的算例在切換時滯τs=1下的系統穩定性.

給定γ=1,τ=0.4,h=0.3.利用MATLAB求解定理3中的不等式,可以得到:

圖1 輸出跟蹤誤差曲線Fig.1 Error curve of output tracking

圖2 異步切換信號Fig.2 Asynchronous switching signal

可以看出,此時文獻[14]中的方法失效.分別利用文獻[15]、文獻[16]及本文中的方法求解,能得到表1中對應于不同αi,βi的最大允許時滯上界.

表1 系統對應于不同αi,βi的最大允許時滯上界

4 結 論

通過構造一類合適的Lyapunov函數研究了一類多變時滯切換正系統的輸出跟蹤控制問題.該Lyapunov函數并不需要在任何時候都減少.當控制器與子系統不匹配時,Lyapunov函數就會增加.在此基礎上給出了增廣系統指數穩定的充分條件及滿足給定輸出跟蹤指標的系統穩定條件.最后設計了基于時滯的輸出跟蹤控制器,并通過數值仿真驗證了該方法的可行性.