我出高考數學題(二十五)

陳國林 胡迷革 袁琳

1.已知cos（ -α）-sin α= ，則cos（α- ）的值為

A.- ? ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? ? ?C.- ? ? ? ? ? D.

解 由cos（ -α）-sin α= cos α + sin α-sin α=- sin α+ cos α=-sin（α- ）= ，可得sin（α- ）=- .所以cos（α- ）=cos（α- - ）=sin（α- ）=- .選C.

2.已知f（x）是定義在（- ， ）上的奇函數，f ′（x）是f（x）的導函數.若對任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，則當0

A.（- ， ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.（- ，- ）∪（ ， ）

C.（- ，0）∪（0， ） ?D.（- ，- ）∪（ ， ）

解 根據已知可令g（x）= f（x）tan x，則g′（x）= .由于對任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，所以當x∈（0， ）時，g′（x）>0，則函數g（x）在（0， ）上單調遞增.又f（x）在（- ， ）上為奇函數，所以g（-x）= f（-x）tan（-x）= f（x）tan x=g（x），則g（x）在（- ， ）上為偶函數.由于0

3.已知函數f（x）=（x-1）ex+1+ax2，a∈R.

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性.

（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x1，x2，且x1 f（-x2）.

（Ⅰ）解：函數f（x）的定義域為R， f ′（x）=xex+1+2ax=x（ex+1+2a）.

若a≥0，則ex+1+2a>0.于是有當x∈（-∞，0）時， f ′（x）<0恒成立;當x∈（0，+∞）時，f ′（x）>0恒成立.所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

若a<0，令x（ex+1+2a）=0，可得xm=0，xn=-1+ln（-2a）.

若- xn.當x∈（-∞，xn）∪（xm，+∞）時， f ′（x）>0恒成立;當x∈（xn，xm）時，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xn）和（xm，+∞）上單調遞增，在（xn，xm）上單調遞減.

若a=- ，則xm =xn.當x∈R時， f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上是增函數.

若a<- ，則xm 0恒成立;當x∈（xm，xn）時，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xm）和（xn，+∞）上單調遞增，在（xm，xn）上單調遞減.

綜上可知，當a≥0時，f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增;當-

（Ⅱ）證明：當a≤0時，由（Ⅰ）可知，若x≤0，則f（x）≤{f（0），f [-1+ln（-2a）]}max.由于f（0）=-e<0，當a<- 時f（0）> f [-1+ln（-2a）]，當- 0.

當a>0時，f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，從而x1<00，所以F′（x）>0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，從而F（x）在（0，+∞）上遞增，則F（x）>F（0）=0，即f（x）> f（-x）.由于x1<0 f（-x2），即 f（x1）> f（-x2）.

（陳國林，中國優選法統籌法與經濟數學研究會會員，“課堂內外杯”青少年科學素養大賽命題專家庫成員，中學數學建模競賽命題人，獲得國家級、省級獎勵10余項）

4.直線AB經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若|BF|=2|AF|，則|AF|=______.

解 設l為拋物線的準線，其與x軸交于點K.作AA′⊥l，交l于點A′;作BB′⊥l，交l于點B′，如右圖所示.于是有|AA′|=|AF|， |BB′|=|FB|，AA′∥BB′∥FK.在△CBB′中，由 = = ， |BC|=|AC|+|AA′|+|BB′|，可得|AC|=3|AF|.于是在△CFK中，由 = = ，可得|AF|=|AA′|= |FK|= .

5.已知F（c，0）是雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右焦點，圓（x-c）2+y2=4b2與雙曲線C的一條漸近線相交于A，B兩點，若|AB|=2a，則雙曲線C的離心率為

A. ? ? ? ? ?B. ? ? ? ?C. ? ? ? ? ?D.2

解 設AB的中點為M，連接MF，則MF⊥AB.由已知可得|AM|=a，|MF|=b，|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2，則 = ，所以e= = .選C.

6.已知橢圓C的兩焦點分別為F1（-1，0），F2 （1，0），且經過點（1， ）.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程.

（Ⅱ）設直線l：x=my+1與橢圓C相交于A，B兩點，點B在直線n：x=2上的射影為點D，當m變化時，直線AD是否過定點？寫出判斷依據.

解 （Ⅰ）橢圓C的標準方程為 +y2=1.（解答過程省略）

（Ⅱ）設點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（x2，y2）.由x2+2y2=2，x=my+1，可得（m2+2）y2+2my-1=0，Δ=4m2+4（m2+2）>0，則y1+y2 =- ，y1y2 =- .于是可得 + =2m，則y2= .又點D的坐標為（2，y2），則直線AD的斜率k= = = ，于是可得直線AD的方程為y-y2= ·（x-2），即y = （x- ）.所以，直線AD經過定點（ ，0）.

（胡迷革，中學高級教師，河北省特級教師，長年承擔高三理科重點班教學工作，多次參與邯鄲市模擬考試命題工作，多次被評為市命題工作先進個人）

7.正三角形ABC的邊長為2 ，以A為圓心、3為半徑的圓分別交AB，AC于點E，F，P是優弧EF上的一點，且 =λ + ?μ ，則λμ的取值范圍是

A.[- ， ] ? ? ?B.[- ， ]

C.[- ， ] ? ? ? D.[- ， ]

解 取邊BC的中點為D，以A為原點，AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則點A的坐標為（0，0），點B的坐標為（- ，-3），點C的坐標為（ ，-3）.設點P的坐標為（x0，y0），則 =（x0，y0）， =（- ，-3）， =（ ，-3）.由 =λ + ?μ ，可得x0=- λ+ μ，y0=-3λ-3μ，則λ=- ，μ= ，所以λμ=- · = - =- =- .由y0∈[- ，3]，可得y20∈[0，9]，則λμ=- ∈[- ， ].選C.

8.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交拋物線的準線于點C.若A是BC的中點，則直線l的斜率k=______.

解 過點A，B分別作準線的垂線，交準線于點D，E.由于A是BC的中點，所以 = = .設點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（x2，y2），則-2y1=y2 .設直線l：x=my+ .由x=my+ ，y2=2px，可得y2-2mpy-p2=0，Δ=4m2p2+4p2>0，則y1+y2=2mp，y1y2=-p2.于是可得y1=-2mp，y21= ，則4m2p2= ，解得 =8，即k=±2 .

9.已知函數f（x）=eln x-ax+1.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性.

（Ⅱ）對任意的x∈[1，e]，都有f（x）

解 （Ⅰ）由已知有 f ′（x）= -a，x>0.當a≤0時， f ′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增.當a>0時，在（0， ）上 f ′（x）>0，在（ ，+∞）上 f ′（x）<0，所以f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減.

綜上所述，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增;當a>0時，f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減.

（Ⅱ）由已知有對任意的x∈[1，e]，fmax（x）

當a≤0時，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，e]上單調遞增，則fmax（x）= f（e）=e-ae+1>0>a，與題設條件矛盾.

當a>0時，由（Ⅰ）可知f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減.當 <1，即a >e時，f（x）在[1，e]上單調遞減，則fmax（x）= f（1）=1-a e，即01>a，與題設條件矛盾.當1≤ ≤e，即1≤a≤e時，f（x）在[1， ]上單調遞增，在[ ，e]上單調遞減，則fmax（x）= f（ ）=1-eln a.由1-eln a0.令g（x）=eln x+x-1，x∈[1，e]，則在[1，e]上，g ′（x）= +1>0，可得g（x）在[1，e]上單調遞增.又g（1）=0，所以g（x）>0的解集為（1，e]，即a∈（1，e].

綜上所述，實數a的取值范圍是（1，+∞）.

（袁琳，中學高級教師，骨干教師，榮獲市級優質課一等獎，常年從事一線教學工作，探尋試題命題規律，挖掘思維拓展區，提升考查創新點）

（責任編校 馮琪）