試論數學中排列組合在生活中的應用

宋英頡

摘要：隨著對高中數學知識學習的深入，運用不斷重新建構的數學知識與思維方式去觀察和思考生活中的問題時有更多維化的視角。而在掌握排列組合這一重要的數學理論工具后，將其與概率論和統計學知識相結合，對貌似不相關的事物根據某種特質進行分類并建立起數學分析模型，能夠體驗到運用數學知識探究日常生活中事物之間內在聯系和復雜的變化規律的樂趣。與此同時。對數學這一基礎理論工具在分析和解決問題中的應用價值有更深刻的理解一數學知識與理論不止是尋找量化答案的工具，還能夠分析某種復雜關系情況下特定結果的存在性及進行復雜多樣的決策的優化。

關鍵詞：生活應用 排列組合 分類分析 優化選擇

引言：在日常生活中人們通常意識不到自身所做的選擇中蘊含的排列組合思維元素。例如人們選擇穿衣搭配、出行路線以及選購日常用品時，頭腦中都會閃過一些篩選條件，例如服裝或配飾的顏色、出行路上有多少可支配的時間以及一共有多少種潛在選擇等。而在學習排列組合理論知識后，面對這些日常行為時就有了不一樣的思考方向。在工農業生產中，排列組合的思想也是經常困擾著人們，如各種農作物的相互套種，各種機械設備的相互搭配，各種最優化方案的選擇，各種投資合理性的選擇，各種收益和產出的效率分析……排列組合的思維不僅僅是選A或者選B這么簡單，而是根據需要選擇最優、最佳方案，指導實際生活和生產活動：或者是根據離散片段的共同特點，選擇其統一的規律，根據這種規律得出相應結論的思維方式。

一、排列組合理論對解決問題思維方式的改變

（一）發現解決離散型問題的數學方法

隨著高中數學知識學習的不斷深入，雖然學習所需的思維方式的抽象性一直在提高，但是運用新掌握的數學理論知識所解決的問題始終比較具體，研究的對象一般也僅限于二元或三元。而排列組合理論卻打破了常規數學理論知識的解題規律，探究的對象無論是數量、類別還是期間的變化關系都呈現多元化、復雜化。并且通常用于給研究對象分類的特征本身和在此基礎上事物關系的變化表面上與數學問題沒有直接聯系，而是會影響特定問題量化結果的間接條件：通常幾乎都是數據和各種知識的羅列，或者各種原始材料的堆砌，通過蛛絲馬跡發現其共同特點，然后生成同一組合的規律。因此排列組合理論的學習為研究離散型問題并求得科學的量化結果提供了有力工具。

（二）對特定問題從定量到定性的分析

運用數學理論知識去觀察和解決實際問題，往往是基于發現用于對事物之間關系進行定性的數量關系，從最基礎的比較代表事物基本數學特征數量的大小，到計算與數字有關的各種事物之間的數量關系。而且無論是利用方程還是函數關系對現實問題進行數學分析，最終都能夠得出相對明確的答案。即既往的數學理論基本傾向于對數學問題進行定量分析。而排列組合理論所蘊含的數學思想將對問題的定量分析和定性分析有機的結合起來，通過按照不同的特質進行歸類而對事物的規律進行多角度分析，從而對不同的量化結果進行計算和比較，以便找到一個基于特定條件的答案。

（三）發現解決問題途徑的多樣性

以人們的經驗和所謂常識進行日常生活決策時，往往容易忽視解決一個問題選擇的多樣性。例如前文所提到的人們每天都要面臨的各種選擇，人們大多數時候會憑借直覺和本能做出選擇。這與人們日常生活和工作節奏不允許在做出一個選擇時進行詳細分析有關，也因思維形成定式而限制了想象力和失去了更加科學的判斷力。而掌握排列組合理論的思維模式后，經常會對一個簡單的日常問題解決途徑的多樣性而感到震驚，例如在一家五口人拍攝全家福時，按照性別、輩分或者站立與坐姿等不同條件進行位置選擇，可以拍攝出數百種不同的照片，而之前根據直覺會認為潛在的不同選擇最多不會超過兩位數。在排列組合的研究中，有五大經典型問題，都是對排列組合每個角度的演繹，也都是問題多樣性的表現，比如，地圖著色問題（對世界地圖著色，每一個國家使用一種顏色。如果要求相鄰國家的顏色相異，是否總共只需四種顏色）、船夫過河問題（船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運過河。只要船夫不在場，羊就會吃白菜、狼就會吃羊。船夫的船每次只能運送一種東西。怎樣把所有東西都運過河）、中國郵差問題、任務分配問題、大樂透彩票問題等等。了解排列組合之后，才真正了解到事物的多樣性和不同差異之間組合的復雜性。

二、運用排列組合解決日常生活中問題的方法簡析

（一）結合概率論解析常見問題的數學奧秘

在日常生活中人們往往會驚嘆各種數字上的巧合，例如最經典的生日問題。同班的同學在學校的學習生活中大多遇到過與自己同年同月同日出生的同學，并且每一次都有同樣不可思議的感覺。但是如果運用排列組合和概率論知識結合進行分析，就會發現由于同班同學本身就是按照出生年份分組（大多都是在一個簡單的年齡段內，約3-5年內），并且同一年份只有不多于三百六十六天，每一個班級又至少有三十人。綜合上述條件進行排列組合的情況下就會發現發生上述“巧合”的概率之大超出絕大多數人的直覺。這主要是人們從一開始就忽視了班級分組的前提大條件，并且憑借直覺認定每一個人的生日都因無限多的年份、十二個不同月份以及每個月至少三十個日期的無限多種組合而呈現極大的分散性。因此但凡遇到所謂數字上的巧合，都應對這些巧合發生的前提進行細致的分析，從而就會很容易發現其中蘊藏的數學奧秘。

（二）運用量化的分析結果驗證常識的可靠性

數學知識學習的越多就越是發現日常生活中的很多經驗和常識存在誤區，尤其是人們為了盡快做出決策而不假思索使用的一些常識。而在學習排列組合理論知識后，給運用量化的分析結果驗證常識的可靠性創造了條件，例如家里的電氣節能問題，到底選擇哪一種燈具、電器以及各種電氣開關如何設置能夠達到最佳的節能效果，可以進行詳細的分類、分析和計算，結果往往與聽取銷售人員泛泛的建議或者參照鄰里的常用方式截然不同。以往的方式方法和經驗都是結合在原有大前提的條件下得出的結論，如聽取銷售人員的意見大前提就是銷售人員會以利潤最大化作為潛在條件，而參考鄰里意見時每家的條件、習慣、情況都不一定一致，所以得出的結論不同，這就是經驗和常識與數學分析結果不一致的原因所在。

（三）使用排列組合方法輔助日常問題的決策

在學習排列組合理論前，運用數學知識針對某一個問題進行分析時，答案通常是唯一的且可以具體為某一個數字。而運用排列組合理論結合概率論知識，能夠通過計算找到在不同條件下最優化的問題解決方案。并且這一結論性方案的價值不僅體現為一個數字，更重要的是達到這一量化數據所設置的前提條件以及在條件限制下事物各種復雜聯系的演變過程。即找到達到某一目的最佳路徑以及達到這一目的的方法。而這種解決問題的全新模式正是日常生活問題最常需要的解決辦法，即尋找解決問題的最佳路徑往往比得到一個量化的數據更有現實意義。找到最佳路徑是解決問題的現實目標，而數據通常是預先驗證路徑選擇的科學性的量化指標。例如選購日常生活用品的決策過程，數字化的價格和食品中的營養成分只是衡量商品價值的工具，決定購買哪一種產品的最終決策才是人們最想得到的答案。

三、結束語

通過對排列組合理論的學習，讓人們能夠對存在復雜又松散的聯系的事物之間的相互關系進行深入研究，發現在不同的前提條件下事物發生和發展的路徑及其結果有何規律，并且針對特定問題尋求一種科學又合理的解決方案。