淺談分段連續型隨機微分方程數值方法的收斂性和穩定性

盧樹強

【摘要】近年來，分段連續型隨即分方程被廣泛應用在經濟、物理、天文、生物、工程、信號等領域，因而普遍受到專家學者的關注。分段連續型隨機微分方程不僅具有理論價值，還具有應用價值。本文主要分析分段連續型隨機微分方程的重要意義，又解析分段連續型隨機微分方程數值方法的收斂性和穩定性，并且給出了數值方法應用在分段連續型隨機微分方程穩定的條件，證明這種數值方法保持和實現了精確解的穩定性。

【關鍵詞】分段連續型隨機微分方程;數值方法;收斂性;穩定性

一、分段連續型隨機微分方程的重要意義

分段連續型隨機微分方程與動力系統相對應，主要分為超前型、向前型、振動型等分段連續型微分方程。在現實生活中，對事物變化描述，主要分為兩大類，一類是被內在規律支配，被描述為與時間t有關的一個確定性函數的確定性過程，另一類受外界環境影響，沒有確定表達形式，是一種隨機過程，例如花粉在液體中的無規則運動。

因此，分段連續型隨機微積分方程作為一種有效工具，能夠更加真實的對物理現象、生物進化過程以及控制理論等進行真實的描繪。

二、解析隨機微分方程數值方法的收斂性和穩定性

（一）數值方法的收斂性

Maruyama最早討論和研究隨機微分方程數值方法的收斂性，在1955年他給出最簡的收斂方法是Euler法：

2000年，C.T.H Baker和E.Buckwar在文獻中證明，在全局Lipschitz條件和線性增長條件下用于方程的Euler數值方法是0.5階收斂的。

2002年，Higham等針對方程，證明了當系數f和g滿足局部Lipschitz條件、解析解與Euler數值解的p階矩有界時，Euler數值解是收斂的;并證明了系數f滿足單邊Lipschitz條件、g滿足局部Lipschitz條件、解析解與Euler數值解的p階矩有界時，Euler數值解是收斂的。

（二）數值方法的穩定性

關于數值穩定的定義，最早在1985年由Pardoux和Talay給出，之后很多學者就數值方法的穩定性給出研究和討論。目前最具代表性的定義包括矩穩定、漸近穩定、T-穩定、指數穩定四種。

2000年，D.J.Higham針對線性試驗方程，研究隨機θ-方法的穩定性，引入漸近穩定性概念，并將漸近穩定性的分析轉化成一對含有參數的隨機變量期望值的估計，并將方程θ-方法推廣到隨機微分方程。

在隨機微分方程的研究過程中，數值方法的穩定性和收斂性研究基本趨于完善，并取得較好的結果。

三、解析分段連續型隨機微分方程數值方法的收斂性和穩定性

隨機微分方程的穩定性的研究對隨機微分方程一直有著重要的意義，本章主要考慮線性和半線性分段連續型隨機微分方程穩定性，下面簡單的給出一些收斂性和穩定性的論述。

dx（t）=（a1X（t）+a2X（＼[t]））dt+（b1X（t）+b2X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

上述方程的精確解穩定性，半隱式Euler方法和Millstein方法的穩定性，戴紅玉已經做出研究，將指數Euler方法應用于線性分段連續型隨機延遲微分方程討論了其均方穩定性，并證明出了當方程系數滿足一定條件時指數Euler方法是均方穩定的，將指數Euler方法應用于半線性分段連續型隨機延遲微分方程，討論其精確解和數值解得均方穩定性。給出了均方穩定的充分條件。

2013年，張玲研究了分段連續型隨機微分方程

dx（t）=f（X（t），X（＼[t]））dt+g（X（t），X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

給出了當系數滿足局部李普希茲條件和單調條件時，Euler-Maruyama方法是收斂的。隨后，給出了一組數值試驗來證明均方穩定充分條件，本數值試驗主要通過考慮方程的系數和步長的改變，研究指數Euler方法的均方穩定性。

四、結論

在實際問題的研究中，研究系統很容易受到偶然因素影響，因此研究分段連續型微分方程具有重要的意義，本文主要探討分析數值方法的收斂性和穩定性，運用指數Euler方法進行研究，給出數值方法均方穩定的充分條件，并用數值試驗驗證結論，證明這種數值方法保持和實現了精確解的穩定性。

參考文獻：

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