對稱性及其在解題中的應用

王建忠

(江蘇省啟東中學 江蘇 南通 226200)

對稱是一個常用詞，現代漢語詞典的解釋是指圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系．數學家外爾教授給出了對稱性的一個極好的定義，意思是如有一件東西，你有可能對它做某種操作，使得你完成了操作之后，它看起來同操作以前是一樣的，那么那件東西就是對稱的[1]．這里說的對稱主要表現在空間形式上，對稱還可以表現在時間過程中，對稱性是自然界的普遍規律，對稱性方法和對稱性原理的廣泛應用，使物理學取得了許多令人振奮的成果．庫侖利用對稱分析的思想確立了庫侖定律．在驗證靜電力與電荷量成正比時，當時人們只知道物體有沒有電荷，但沒有辦法精確地測定物體所帶的電荷量．為了尋找靜電力與電荷量間的關系，庫侖用了一個雖不夠嚴格但極為巧妙的方法．他從對稱性的物理思想出發，令一個帶電金屬球與半徑、材料相同的另一個不帶電金屬球接觸后分開，每球的電荷量應為原帶電球的電荷量的一半，庫侖就用這種對稱均分的方法驗證了靜電力與電荷量成正比的規律[2]．對稱守恒觀是物理學科形成的認識自然界的基本思想方法和處理問題的基本思維方式．

本文從研究對象、物理過程、物理量3個方面討論對稱性在物理解題中的應用．

1 研究對象的對稱

【例1】圖1所示的網狀電路中含有4個六邊形，已知六邊形每邊的電阻都是r，求A，H間的電阻．

圖1 含有4個六邊形的網狀電路

解法1：等勢點短接法．等勢點間無電流，可視問題的需要將其做短路或斷路處理．

設想將A，H兩端接入電源，由于電路關于過ACFH的直線對稱，所以，各對稱電路段上分布的電流應相等.因此，B，D為等勢點；同理E，G也為等勢點，可以將等勢點短路，電路等效為圖2(b)所示．

圖2 圖1的等效電路

這樣A,H間的電阻可以看成A和B，B和E，E和H3個部分串聯而成．B，E間是3部分并聯，可求得

所以

解法2：對稱軸折疊法．電路以ACFH為軸上下對稱，沿ACFH對稱軸對折，兩電阻重疊，即為兩電阻并聯，得到如圖3所示等效電路．易得

圖3 對稱折疊的等效電路圖

點評：通過對研究對象(電路)的對稱性分析，確定解題的總體思路或入手方向，作必要的等效處理，變復雜電路為簡單電路．對稱性既是一個理論概念，也是人們思考和解決問題的一種方法，對稱性在物理學中有著舉足輕重的作用，合理地使用對稱性方法可使復雜問題簡單化．

【例2】一玻璃齒輪，每個齒均為相同的正三角棱鏡(頂角為60°)，若此裝置能使光繞著齒輪轉，求齒數為N時，玻璃的折射率n為多少? 當N=6時，折射率n為多少?

解析：當光繞著齒輪轉時，由對稱分析可知，光線在每個棱鏡中的偏轉情況必須是相同的，光路一定是對稱的，在棱鏡中的光線一定與棱鏡底邊平行，如圖4所示．

由折射定律

得

當N=6時

點評：解題的第一步是選取研究的對象．通過審題，由結構對稱分析出光路對稱；經過科學推理，得出每個棱鏡對光線的偏轉情況相同，棱鏡中光線平行于底邊是解題的關鍵．對稱分析是我們解決問題的一把鑰匙，通過定性和定量兩個角度對問題進行科學推理，找出規律，形成結論.

2 物理過程的對稱性

物理過程對稱又分時間對稱和空間對稱．

【例3】從地面上同一點以相同初速度v0=30 m/s先后豎直向上拋出2個小球，兩小球拋出的時間間隔Δt=2 s，問第二個小拋出后多久與第一個小球在空中相遇？取重力加速度g=10 m/s2．

解法1：利用上拋運動規律求解．兩個小球以相同的初速度上拋，不可能在第一個小球的上升過程中兩球相遇，只能在第一個小球的下落過程中兩球相遇．設第二個小球拋出后ts兩球在空中相遇，此時先拋出的小球運動了(t+2) s．以拋出點為原點，豎直向上為y軸正方向，由上拋運動規律

相遇的條件是

y1=y2

聯立得

t=2 s

解法2：利用上拋運動“上升過程和下落過程經過同一高度處的速度等大反向”這一空間對稱性求解．相遇時有

v2=-v1

即

v0-gt=-[v0-g(t+Δt)]

30-10t=-[30-10(t+2)]

得

t=2 s

對第二個小球

v=v0-gt10=30-10t

得

t=2 s

圖5 兩小球的位移-時間圖像

點評：利用對稱性進行思考，得到了多種簡潔的解題方法．在分析處理問題時，有意識地利用對稱性，并使思維過程與之相適應，不但可以更好地把握問題的本質，還可以使思維和推理過程更簡潔，更快地打開思路，并能快捷地解決問題，達到事半功倍的效果．

【例4】如圖6所示由細桿組成的軌道，MN,CD兩部分處于水平位置，長度均為L，兩桿間距離為h．MEC是直徑為h的半圓，與MN,CD在同一豎直平面內，且MN,CD恰為半圓弧在M,C兩點處的切線．質量為m，帶正電荷q的小球P，穿在細桿上，已知小球P與兩水平細桿間的動摩擦因數為μ，小球P與半圓軌道MEC之間的摩擦不計，小球P帶的電荷量不變．在MD,NC連線的交點O處固定一電荷量為Q的負點電荷，使小球P從D端出發沿桿滑動，滑到N點時速度恰好為零．求小球P從D端出發時的初速度v0．過程中小球所受庫侖力始終小于重力．

圖6 細桿組成的軌道示意圖

解析：小球P從D端滑到N端全過程，由動能定理

式中Wf,WE,WG分別為摩擦力、電場力和重力對小球P做的功．由對稱性可知，D,N兩點是-Q電場的等勢點，WE=0；WG=-mgh．要求出初速度v0，關鍵是求出摩擦力對小球P做的功Wf．由于電場力是變力，小球在水平桿上運動時，小球對桿的正壓力是變力，因此滑動摩擦力是變力．但由于裝置具有對稱性，我們可以取DC,MN上關于O對稱的兩點P1,P2，設∠P2P1C=θ，如圖7所示．

圖7 例6解析圖

小球P在P1,P2位置時，O點處電荷-Q對小球P的靜電力大小相等，設為F，在P1,P2位置考察一微小位移Δs，摩擦力做功分別為ΔWf1,ΔWf2,有

ΔWf1=-f1Δs=-μN1Δs=-μ(mg-Fsinθ)Δs

ΔWf2=-f2Δs=-μN2Δs=-μ(mg+Fsinθ)Δs

這兩個微小位移上摩擦力做的總功為

ΔWf=ΔWf1+ΔWf2=-2μmgΔs

DC,MN上位移可分成這樣一對一對對稱的微元，全過程摩擦力做的功為

Wf=∑ΔWf=-2μmg∑Δs=-2μmgL

將Wf,WE代入動能定理表達式，可得

點評：通過選取一對對稱的過程微元，解決了滑動摩擦力變力做功問題．對稱性是美的化身，物理學中對稱美是普遍存在的，她可以是顯性的，也可以是隱性的．我們不僅要懂得去欣賞她，更要有意識地去發現和利用她．

3 物理量的對稱

【例5】測量空間某固定點的電場強度大小隨時間的變化，得到如圖8所示圖線．電場是由兩個相同的點電荷產生的，其中一個點電荷不動且到觀察點的距離為d，另一個點電荷以恒定速度運動．求：

(1)每個點電荷的電荷量；

(2)運動點電荷到觀察點的最近距離；

(3)運動點電荷的速度．

圖8 例5題圖

解析：當時間t很長時，運動點電荷與觀察點相距很遠，可以認為觀察點的電場僅由固定的點電荷產生，這時場強為E0．設點電荷的電荷量為Q，則

該電荷可正可負．

從圖8看出，t=0時，觀察點場強為零．此外圖像關于縱軸對稱，又由于是兩個相同點電荷產生的電場，因此，只有這樣才可能，t=0時兩點電荷與觀察點在一直線上且關于觀察點對稱，運動點電荷與觀察點相距d，這是運動點電荷與觀察點的最近距離．運動點電荷的速度方向與固定點電荷和觀察點的連線垂直(這樣才能使場強E關于縱軸對稱)．如圖9所示，為求運動點電荷的速度，考察t=0時刻附近極短時間Δt，設點電荷是正電荷，Δt時間內觀察點P點的場強由零增加到E，在等腰 ΔE0EP中

得

由此得

圖9 例5解析圖

點評：充分利用對稱性的思想方法，可以提高直覺思維能力和形象思維能力，能很容易概括出我們所面對問題的關鍵，從而有效解決問題．

楊振寧先生說：“物理學最重要的部分是與物理思想有關的，絕大部分物理學是從物理思想來的，物理思想是物理學的根源．”[3]對稱性是物理學的一個重要思想．在中學物理中，對稱思想的應用不僅在于方便解題，提高分析問題、解決問題的能力，更重要的是可有效激發學生學習物理的興趣，加深對物理規律、科學本質的理解，提升學生的思維品質，形成物理觀念，進而提高物理核心素養．