彰顯過程分析 考查科學思維
——液柱移動問題的解決策略

陳慶煒 朱廣天

(華東師范大學教師教育學院 上海 200062)

新修訂的《普通高中物理課程標準》將三維目標修改為物理核心素養(yǎng), 明確指出了物理學科核心素養(yǎng)包括物理觀念、科學思維、科學探究、科學態(tài)度與責任4個方面. 其中科學思維是基于經(jīng)驗事實建構理想模型的抽象概括過程；是分析綜合、推理論證等方法的內(nèi)化. “科學思維”主要包括了模型建構、科學推理、科學論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素.由此可見，“科學思維”是原有三維目標中“過程與方法”中“方法”維度在物理學科中的傳承與發(fā)展[1].

以往已有不少教師對液柱移動問題進行分析.姜煒星利用判別式法對氣體動態(tài)過程進行分析[2]，并提出壓力的變化才是分析液柱移動的根本這一觀點；顧愛芬在姜煒星基礎上增加了運動狀態(tài)變化影響液柱移動的分析[3]；華興恒則是從方法分類的角度，從假設法、超(失)重法、特殊值法等多種方法對液柱移動問題進行歸納[4].前人的論文對液柱移動問題的分析要么只針對一兩個子問題，要么以方法分類而缺乏多種方法解決同一道題，因此,本文將圍繞溫度變化、運動狀態(tài)變化、試管位置變化及液體增減4種不同的情境，結合不同的物理方法解決液柱移動問題.

1 溫度變化導致液柱移動

1.1 橫截面積相等的液柱移動分析

【例1】 如圖1所示，兩個體積不等的容器A和B通過一根水平細管連接，玻璃管中有一段水銀柱將兩部分氣體隔開，此時A氣體溫度為17 ℃，B氣體溫度為67 ℃(細管的體積不計)，水銀柱溫度穩(wěn)定，若兩邊溫度都升高40 ℃，問

(1)水銀柱如何移動？

(2)氣體A，B初末狀態(tài)的壓強變化量ΔpA和ΔpB是什么關系？

圖1 例1題圖

分析：本題中，兩段封閉的氣體由于溫度發(fā)生變化而導致液柱移動.液柱移動的本源其實是受力狀態(tài)發(fā)生變化.因此,解題的突破口是找出氣體A對液柱左側面的壓力變化ΔFA和氣體B對液柱右側面的壓力變化ΔFB之間的大小關系.由于溫度變化會導致壓強、體積均發(fā)生變化，因此,需要先假設液柱不動，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.然后,運用理想氣體狀態(tài)方程計算出氣體A和B升溫后的壓強變化ΔpA和ΔpB，再乘以面積便可得出ΔFA和ΔFB的關系.本題還可用極限分析法在假設法和反推法的結合下快速解答.但需要注意的是,假設液柱不動的壓強變化是在非穩(wěn)定狀態(tài)下的，與穩(wěn)定狀態(tài)下的壓強變化量并不相同.

解析：(1) 解法1,假設液柱不移動，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程，pA,pB,TA,TB分別是氣體A,B的初始狀態(tài)參量，而ΔpA,ΔpB,ΔTA,ΔTB則是氣體A,B狀態(tài)參量的改變量.

氣體A,B的壓力比值可由壓強公式得出

(1)

根據(jù)查理定律，對氣體A有

(2)

所以

同理，對B氣體有

將ΔpA和ΔpB的表達式代入式(1)中，得

(3)

在該情境下，氣體A,B初始時處于平衡狀態(tài)，所以pA=pB，而液柱左右兩側橫截面積相等，則SA=SB，升高溫度相同，則ΔTA=ΔTB.所以式(3)為

氣體升溫，壓強均增大，因此壓力也均增大.根據(jù)牛頓第二定律可推出氣體將向右移動.

解法2,假設液柱不移動，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.假設氣體A,B均緩慢降溫至0 K.因為氣體B的初溫比氣體A的高，所以氣體A先到達0 K.由理想氣體狀態(tài)方程pV=nRT可知，當T=0 K時，壓強也為0 Pa.所以當pA=0時，pB>0,因此液柱向左移動.氣體A,B降低溫度，液柱會向左移動.升高溫度則是降低溫度的逆過程，則在升高相同溫度的情況下，液柱將向右移動.

(2) 題目(1) 中的ΔpA>ΔpB,ΔFA>ΔFB均是在假設氣體做等容變化的條件下獲得的，而實際情況氣體并非等容.初末狀態(tài)氣體均達到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此液柱受力平衡，氣體A,B初末狀態(tài)的壓強變化量ΔpA和ΔpB相等.

【例2】 如圖2所示,粗細均勻的兩端封閉的U形管,內(nèi)裝有一段水銀柱,兩管水銀面高度差為H,水銀面上封有理想氣體,現(xiàn)把U形管浸沒在熱水中,則管內(nèi)水銀面高度差將如何變化？

圖2 例2題圖

分析：本題中，兩段封閉的氣體由于溫度發(fā)生變化而改變了自身的壓強，左管中高H的水銀柱所受到的壓力也隨之改變，進而使得液柱發(fā)生了移動，高度差發(fā)生變化.因此本題可以利用例1中的式(3)計算出氣體A,B壓力變化量的關系，也可以利用極限分析法快速解題.

解析：解法1，假設液柱不發(fā)生移動，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.將左管中高為H的水銀柱作為分析對象，其運動狀態(tài)的變化來源于上下表面受到的力大小不一致.水銀柱的上下表面的橫截面積相同，即SA=SB，氣體A,B的初始溫度和變化溫度均相同，即

TA=TBΔTA=ΔTB

則式(3)變?yōu)?/p>

因為

pA+ρgH=pB

所以

因此左管中液柱將向上移動，右管中向下移動，液面高度差將變大.

解法2，假設液柱不發(fā)生移動，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.由極限分析法再假設氣體A,B均緩慢降溫至0 K，由于氣體A,B初溫相同，因此，兩種氣體同時達到0 K.根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV=nRT可知，當T=0 K時，壓強也為零，因此兩種氣體壓強同時降到零.在這種情況下，由于重力作用左管液柱會向下移動.因此可以反推出隨著溫度升高，左管液柱會向上移動，液面高度差將變大.

1.2 橫截面積不相等的活塞或液柱移動分析

【例3】如圖3所示，A,B是兩個固定在地面上的氣缸，它們的活塞用硬桿連接，兩氣缸內(nèi)裝有同種氣體，溫度相同，平衡時體積也相等．若兩活塞間的空間為真空，不計一切摩擦阻力，則當兩氣缸內(nèi)氣體升高相同溫度時，活塞向哪一端移動？

圖3 例3題圖

解析：解法1，先假設活塞不移動，兩側封閉氣體均做等容變化.氣體A,B初溫相同，溫度變化量也相同.由于活塞最開始處于受力平衡狀態(tài)，則

pASA=pBSB

則式(3)變?yōu)?/p>

所以活塞不移動.

解法2,先假設活塞不移動，兩側封閉氣體均做等容變化.由于兩種氣體初溫相同，由極限分析法可知當均降到0 K時，左右兩種氣體壓強為零，活塞不移動.則升高溫度時，活塞亦不移動.

【例4】如圖4，為豎直放置的上細下粗的密閉細管，水銀柱將氣體分隔成A,B兩部分，初始溫度相同．使A,B升高相同溫度達到穩(wěn)定后，水銀柱與原來相比是上升了還是下降了？

圖4 例4題圖

解析：解法1,對液柱進行受力分析，可知其受到重力、氣體A,B對它的支持力和壓力以及肩部對它向下的壓力.因此在考慮了肩部對液體的力學效果后，A氣體實際對液柱作用等效面積應等于液柱下表面面積減去肩部的面積，即S′A=SB.而氣體A,B壓強關系為pB+ρgH=pA，所以pB

所以液柱向上移動.

解法2,利用極限分析法對氣體A,B進行降溫分析也可以得到同樣的結果.

2 運動狀態(tài)變化導致水銀柱移動問題

如圖5所示，在玻璃管處于靜止或勻速直線運動時，玻璃管中的水銀柱受力平衡，氣體A,B對水銀柱的壓力相等，即

FA=FB

又由于水銀柱的左右兩側面積相等，則

pB=pA

當水銀柱向右加速運動或向左減速運動，即加速度方向向右時.由牛頓第二定律對水銀柱進行受力分析，可知

F′A-FB=ma

所以

F′A>FB

即p′A>p′B.所以pA變大，pB變小.對氣體A的等溫變化過程運用玻意耳定律pV=C可知其體積變小，同理可得氣體B體積變大.因此,我們可將該結論對所有因運動狀態(tài)變化導致液柱移動的問題進行推廣：無論水銀柱是水平加減速、豎直加減速抑或是旋轉運動，均先判斷運動的加速度方向，水銀柱移動的方向則與加速度方向相反.

圖5 玻璃管中水銀柱移動問題

【例5】如圖6所示,水平放置的兩端封閉和粗細均勻的玻璃管中有一段水銀柱把氣體分為兩段,若使該玻璃管隨同圓臺一起轉動,則水銀柱如何移動?

解析：由于水銀柱的加速度是指向圓心，因此水銀柱將沿著半徑向外移動.

圖6 例5題圖

3 試管位置變化導致的液柱移動問題

【例6】如圖7所示，外界大氣壓為一個標準大氣壓，當玻璃管豎直放置時，管內(nèi)外水銀面高度差h=70 cm，若保持溫度不變，則當玻璃管繞開口端緩慢轉動時，管內(nèi)水銀柱長度將( )

A.變小 B.變大

C.不變 D.無法確定

圖7 例6題圖

分析：在玻璃管轉動的過程中，液柱在試管中可能會上下移動，導致氣體的體積發(fā)生變化，氣體的壓強也隨之變化.因此，需要假設水銀柱在試管中不動，分析氣體壓強的變化，再由玻意耳定律判斷壓強變化所造成的對氣體體積的影響.

解析：假設水銀柱在試管中不動，則隨著玻璃管繞開口端緩慢轉動，氣體的壓強由于水銀柱豎直高度減小而增大.由玻意耳定律pV=C可知氣體的體積將減小，因此水銀柱將沿著管上升.而水銀柱是否會上升到原來的高度呢？水銀柱上升后，密封氣體的壓強比最開始的大，由外界氣體壓強與密封氣體壓強的關系式可以推出水銀柱雖然沿著管上升，但比最開始的豎直高度還是要低一些.

【例7】如圖8所示，一個上端封閉的玻璃管豎直插入水中，管中水面在管外水面之下，管上某點A和容器上某點B與管內(nèi)水面等高．如果把管再向上提一些(管口不離開水面)，則管內(nèi)水面相對于A點______，相對于B點______.

圖8 例7題圖

分析：玻璃管向上提的過程，氣體將經(jīng)歷等溫下體積和壓強均發(fā)生變化的過程.因此,可以假設玻璃管中氣體體積不變或液柱與玻璃管相對不動作為前提進行分析，再結合玻意耳定律便可探究出氣體體積的變化.也可以將管中液柱保持原有高度不變作為前提假設.

解析：解法1,假設液柱與玻璃管相對不動，即管內(nèi)氣體體積不變.在玻璃管上提的過程中，液面與管外水面的高度差減小，則管內(nèi)氣體壓強將變小.由玻意耳定律pV=C可知管內(nèi)氣體的體積將變大.因此液柱將向下移動，在A點之下.但最終管內(nèi)壓強比初始壓強小，所以液面高度差將變小，管內(nèi)液柱的上表面在B點之上.所以管內(nèi)水面相對于A點下降，相對于B點上升.

解法2,假設管中液柱保持原有高度不變，在玻璃管向上提的過程中，氣體體積變大.由玻意耳定律pV=C可知氣體壓強變小.結合內(nèi)外液面高度差可知管中液柱將向上爬升，但最終需保證氣體體積比初始體積大且壓強比初始壓強小的結果.因此管內(nèi)水面相對于A點下降，相對于B點上升.

4 試管液體增減引發(fā)的液柱移動

【例8】如圖9所示，一定質(zhì)量的空氣被水銀封閉在靜置于豎直平面的U形玻璃管內(nèi)，右管上端開口且足夠長，右管內(nèi)水銀面比左管內(nèi)水銀面高h，沿管壁向右管內(nèi)加水銀，h將變______.

分析：研究對象鎖定為左管中的氣體，左管中氣體體積的變化會導致水銀面高度差發(fā)生變化.需要假設左管氣體體積不變，探究在此假設前提條件下加水銀對氣體壓強的影響，再利用玻意耳定律分析出氣體體積的變化.

圖9 例8題圖

解析：假設左管氣體體積不變，在往右管中加水銀的過程中，高度差h將變大.設左管中的氣體壓強為p1，空氣壓強為p0，則p1=p0+ρgh,則氣體壓強變大.由玻意耳定律pV=C可知氣體的體積將變小.所以左管中液柱向上爬升.但由于最終結果是左管中氣體壓強比初始壓強大，因此由p1=p0+ρgh可知最終的液面高度差h將變大.

【例9】如圖10所示，上端封閉的連通器A，B，C 3管中水銀面相平，管中水銀上方的空氣柱長lA

圖10 例9題圖

分析：打開閥門后，3管中的水銀均會下降.平衡后3管中水銀面的高度關系其實是3管中氣體的壓強關系.因此本題需要尋找一個相同量作為前提假設——平衡后3管液面高度相同.

解析：假設流出水銀后3根管中的高度依舊一致，即

ΔVA=ΔVB=ΔVC

假設A管中氣體的初始體積和壓強分別為VA,pA，流出水銀后的體積和壓強分別為V′A,p′A，由玻意耳定律可知

V′Ap′A=VApA

得

因為初始氣體體積

VA

pA=pB=pC

ΔVA=ΔVB=ΔVC

所以流出水銀后氣體壓強為p′A

因此,在假設流出水銀后3根管高度保持一致的條件下，液體將流向氣體壓強較低的地方，因此最終水銀面的高度關系為lA>lB>lC.

課程標準指導著高考命題的走向.在新課程標準的指導下，高考題更應該注重過程分析與科學思維的考查.熱力學中液柱移動問題由于其本身所蘊含的豐富的科學思維方法，如假設法、控制變量法、反推法、模型法、極限分析法等，使學生在解題過程中往往需要經(jīng)歷完整的模型建構——由液柱移動的情境建立起受力狀態(tài)變化的物理模型，科學推理——在提出不變量的假設后圍繞理想氣體狀態(tài)方程探討p,V和T3個物理量之間的聯(lián)系，科學論證——多種解法得出相同的結論之后對自己的思維過程進行科學論證，因此這類題目在新高考中更能彰顯其價值.