Mathematica在大學物理教學中的應用舉例*

趙文麗 高峰 王永剛 曹學成

(山東農業大學信息科學與工程學院 山東 泰安 271018)

1 引言

大學物理是理工農林學科學生必修的一門基礎課，每年都會有大批的大學一二年級的學生學習這門課程.作為一門公共基礎課程，大學物理有其自身的特點：一方面，大學物理問題的解決涉及到許多高等數學方面的計算，求解過程復雜，有些情況沒有解析結果，也往往不能得到直觀的物理圖像，這是不利于教學過程的；另一方面，基礎物理課內容多，學時少，每節課授課內容量都很大，很多知識點不能深入講解.近年來更是面臨著學時一再被壓縮的窘境，這就導致學生從課堂中獲取的知識量大為減少.因此，物理教師必須尋找一些新的教學方法，以期在有限的課堂時間里向學生傳遞更多的信息.美國Wolfram公司生產的一款數學軟件Mathematica在設計的過程中考慮了在物理學方面應用的方便性[1]，很適合研究物理問題，它強大的計算功能和圖像功能可以用于輔助物理教學與研究.比如董鍵主編的一部教材討論了Mathematica在力學、光學、電磁學等方面的應用[2].柳宏德用Mathematica獲得了任意擺角下的單擺周期近似公式[3].楊能彪應用Mathematica進行物理理論計算和物理現象可視化的研究[4],獲得了一些有意義的結論.本文則試圖通過Mathematica設計力學、電磁學中一些問題的解決方案，探索Mathematica在大學物理教學中的應用.

2 單擺的小角問題

單擺模型是力學中很重要的物理模型，普通物理教材中提到[5]，在小角度擺幅下，單擺的運動近似為簡諧振動，其周期、振幅等物理量有精確的解析解，并且周期與振動振幅無關.那么究竟這個“小角度”需要小到什么程度呢？現在可以利用教學軟件Mathematic來探索這一問題.

圖1 單擺模型

設系統所在的地球為慣性參考系，擺線不計質量且不可伸縮(如圖1)，單擺的擺長為1.5 m，重力加速度取9.8 m/s2.采用自然坐標系，擺線在豎直方向時擺角取零，擺球在右側擺角取正，切向正方向為擺角增大的方向，考慮擺線帶動下擺球在豎直平面內的運動，顯然小球沒有沿著擺線所在的法線方向運動，而在其垂直的切線方向，切向力為

Gτ=-mgsinθ

切向加速度可以表示為

則根據牛頓第二定律有擺球的運動方程

maτ=-mgsinθ

(1)

兩邊消去小球質量可得

(2)

在小角近似下，sinθ≈θ，該方程有解析解，可以得出周期公式

(3)

如果擺角為任意的角度，單擺的周期也不再有解析解，那么小角近似的周期公式便不再適用了.要求解微分方程(2)，用Mathematica的“NDSolve”命令即可，因為它就是專門求解微分方程的數值解的工具.從數值解容易得出不同初始條件下的振幅和周期.如輸入初始位置θ=0，初速度v=0.3 m/s，可得，角振幅和周期的數值解分別為0.067767°和2.839 27 s.輸入不同的初始條件，就可以得出對應的角振幅和周期.為此，可以求出在擺動角振幅從0～90°范圍內對應的周期的數值解，同時，為了能夠精確找到周期滿足公式(3)的小角近似的定量條件，可以對數值解進行n(n=4，5，6，7)次多項式擬合，取若干不同的角振幅對應周期的數值解和擬合解相比較如表1所示.從表1中所取的6種情況可以看出，n=4,5時，某些角振幅下擬合值與數值計算解不能完全吻合，而n=6,7時，二者則完全吻合，因此，擬合多項式的次數取6已足夠.擬合公式為式(4).

表1 不同角振幅對應周期的數值解和擬合解

T=2.458 18-2.814 99×10-6θ+4.717 02×

10-5θ2-2.044 44×10-8θ3+1.365 28×10-9θ4-

7.230 52×10-12θ5+5.550 18×10-14θ6

(4)

圖2是周期隨著角振幅變化的關系圖，圓點是數值解，曲線是擬合公式所得，從圖中可以看出數值計算點與擬合曲線符合得非常好，要計算任意角振幅對應的周期，可以用該擬合公式.

圖2 單擺周期隨角振幅的變化

另外,圖2還表明周期是隨著角振幅的增大而增大的，盡管變化是很緩慢的.那么究竟角振幅要小到多少之內，周期就不會變化了？基于這樣的疑問，可以用擬合公式計算相同初始條件下的周期，再與數值計算的結果相比對，表2列出了若干角振幅在0.1°到1.2°對應的周期，結果發現，角振幅小于0.5°時，周期便不再變化，該體系做簡諧振動.

所以，從計算所得到的6位有效數字來看，0.5°以下才算是小角度.這樣，關于單擺“小角度”的說法獲得了定量的表示.但是，有的物理教材認為這個角度可以是15°甚至可以超過20°[6,7]，這是因為，基礎物理實驗室用來測單擺周期所用的秒表，精度為0.01 s，計算發現如果取這樣的精度，角振幅在10°以內周期完全相同，即使角振幅達到20°，誤差也不會超過0.1%.

表2 0.1°～1.2°之間不同角振幅對應的周期

3 均勻帶電細圓環全空間的電勢分布和場強分布

均勻帶電細圓環是靜電場的一個重要的物理模型.如圖3所示，設環的半徑為R，環的電荷線密度為λ(λ>0)，根據帶電圓環的對稱性，選擇柱坐標如圖3所示，設環心位于O點，帶電圓環在Oxy平面，φ是圓環上任意點P′與O點的連線P′O與y軸之間的夾角.空間任意一點P距離Oxy平面為z，與z軸的距離為ρ，P所在的與z軸垂直的平面上距離z軸相等的點電勢相同，所以可以認為P點就在Oyz平面上，坐標為(0，ρ，z)，根據電勢疊加原理，P點的電勢是圓環上所有電荷在該點產生的電勢之和

(5)

令

R2+z2+ρ2=a 2Rρ=b

則得到

(6)

該式中的積分為橢圓積分，其結果可以用Mathematica內置的橢圓函數表示

(7)

令

得到電勢全空間的分布如圖4所示，從圖中可以看出，在靠近線圈的位置即(0,ρ,z)=(0,1,0)，電勢有極大值，其他位置電勢依次降低，距離線圈很遠的位置，電勢為零.在線圈內部的平面內，電勢比線圈外部高.

考慮到電荷分布的對稱性，可以先計算Oyz平面內的電場分布，因為電場強度矢量與電勢的微分關系為

(8)

根據式(8)畫出的Oyz平面內的電力線如圖5所示.

圖5 均勻帶電細圓環在Oyz平面內的電力線

很顯然，電力線關于z軸對稱，將y>0或者y<0范圍內的電力線繞z軸旋轉任意角度就可以得出空間其他位置的電力線.

最后，取z軸這個特殊的位置進行計算，可以得出通過圓環中心軸上的場強分布和電勢分布如圖6所示.

圖6 均勻帶電細圓環中心軸的電場強度和電勢分布

以上應用Mathematica處理均勻帶電細圓環的電勢與電場強度問題的過程是先計算全空間的整體分布，再具體到軸線上.解決問題的過程可以加深學生對電場強度和電勢這兩個物理量以及二者之間關系的理解，其結果用圖像的形式表示出來，使學生能夠從整體上把握該體系的電場強度和電勢分布.這種由一般到特殊的方法好處在于能讓學生在處理物理問題的過程中著眼于大局，從更高的層面去分析問題.

4 結論

本文用Mathematica軟件對力學和電磁學中兩個重要的物理模型進行了深入的研究，給出了單擺小角度的定量解釋以及均勻帶電細圓環全空間的電勢和電場強度分布.這種探索對于教師教學過程以及學生學習過程是非常有益的，而且通過編程計算作圖的結果可以直觀呈現給學生，加深學生對知識點的理解，提高課堂效率.物理學的問題五花八門，層出不窮,而Mathematica軟件的計算和繪圖功能強大,所以，Mathematica在物理問題的研究以及輔助物理教學方面的應用前景是非常廣闊的.