預測復雜裝備研制費用的GM(0,N)模型

吳利豐，于 亮，文朝霞

(1.河北工程大學管理工程與商學院，河北 邯鄲 056038；2.中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

1 引言

大型復雜裝備是指客戶需求復雜、產品組成復雜、產品技術復雜、制造過程復雜、項目管理復雜的一類裝備，如航天器、飛機、航空母艦、武器系統等。隨著科技飛速發展及其在軍事領域的廣泛應用，大型復雜裝備費用增長在國內外都成為普遍現象。費用成為影響裝備發展的首要問題。為有效控制費用增長，提高經費使用效率，準確預測裝備各階段的費用成為重要問題。

由于對復雜裝備費用有影響的參數很多，樣本較少，劉銘等[1]利用GA和BP融合的算法估算裝備費用。Deng和Yeh[2]利用最小二乘向量機方法估算機體機構的制造成本。Curran等[3]利用genetic causal技術估算飛機全壽命周期的費用。Lin等[4]利用一種混合方法估計轉子葉片的制造成本。Hart等[5]從系統工程的角度提出一種估算船舶全壽命周期費用的方法。Trivailo等[6]總結了在航空計劃的早期階段，硬件成本估算的方法、模型和工具。文獻[7-11] 分別用GM(0,N)模型及其改進模型預測復雜裝備的費用。我們建模的目的是為了預測，不僅僅為了擬合，但是文獻[7-11]所用的模型沒有從理論上證明該方法對提高預測精度有幫助。本文從理論上分析已有GM(0,N)模型的穩定性，提出一種可以充分利用與待預測對象相似數據的GM(0,N)，實例說明了該模型的有效性和實用性。

2 GM(0,N)模型的穩定性分析

相關證明過程見戴華[12]。

由于所有矩陣范數是等價的，不管采用哪種范數，本質上是一致的，為討論方便，這里取矩陣的m1范數，與之相容的向量范數為向量1范數。

參數的最小二乘估計滿足

其中

定理2設GM(0,N)模型

參數的解為x，如果只發生擾動

證明:如果只發生擾動

證明：如果只發生擾動

如果只發生擾動

證畢。

3 原始數據序列的排序方法

何莎偉等[7]僅僅數據的增長規律對原始數據排序，但是難以從理論上嚴格證明這種排序方法對改善模型對未來的預測精度是有幫助的。本文將依據樣本相關因素數據與待預測對象相關因素數據的相似度排序。

為樣本Ai與An+1的相似度，其中

(i=1,2,…,n,j=2,3,…,N)

相似度越小，表示Ai與An+1越相似，如果γp<γq，表示樣本Ap比樣本Aq更相似An+1。在預測c0時，Ap的權重大于Aq。

定理4若樣本的系統數據發生仿射變換，即

樣本Ai與An+1的相似度保持不變。

依據相似度排序，數據矩陣第1行的數據是與待預測對象An+1最相似的樣本數據，依次排列，第n行的樣本數據與待預測對象An+1最不相似的樣本數據，最終排列的數據矩陣記為

其中

進一步預測待預測對象的費用。

4 實例分析

為便于比較，本文采用劉建[13]的實例。設序號1-7的導彈為樣本，預測序號為8的導彈研制費用。擬合精度的比較、預測精度的比較分別見表2、表3。

從表2、3看，無論是擬合精度，還是預測精度，本文模型都明顯高于多元線性回歸，說明本文模型能夠挖掘系統的演化規律。

4 結語

1)由于原始序列樣本量較小,解的擾動界較小，所以從擾動界大小的角度看，本文的GM(0,N)模型適合于小樣本建模。并不是樣本越小模型越好，模型的優劣包括模型的擬合和預測效果、模型的穩定性等。本文只是從穩定性的角度考慮，當樣本量較小時，GM(0,N)模型相對穩定。

表1 導彈研制費用與性能參數原始數據表

表2 擬合精度比較表

表3 預測結果比較表

如果模型的原始數據完全滿足線性關系，樣本量再多，模型也是穩定的；如果模型的原始數據完全滿足線性關系，也不需要建立GM(0,N)模型，可以建立一般的多元線性回歸模型，但是我們經常遇到的數據不一定完全滿足線性關系。

2)本文所建GM(0,N)模型中，與待預測對象An+1越相似的樣本數據對GM(0,N)模型解的影響越敏感，從敏感性角度說明與待預測對象An+1越相似的樣本數據，其影響權重越大。