巧用“特殊與一般”提升思維能力

沈小亮

摘 要：數學課堂上，經常出現這樣的場景：學生面對某道幾何解答題抓耳撓腮卻又手足無措時，這時候老師蜻蜓點水般地做了一條輔助線，整道題突然變得明朗起來，學生會驚呼“原來是這樣”。而這樣的驚嘆往往還發生在教師運用賦特值法解客觀題的時候。

關鍵詞：特殊與一般;思維能力;數學

美國數學教育家喬治·波利亞認為：“一般化、特殊化和類比是獲得發現的偉大源泉。”特殊與一般是初中數學的基本思想，特殊性包含著一般性，一般性寓于特殊性之中。運用特殊與一般思想解題，關鍵在于分析特例，探尋規律;利用并推廣特例，啟迪學生思考，提升學生思維能力。下面和大家一起分享筆者在初三復習課堂教學實踐中的幾個案例，體會特殊與一般思想對分析問題和解決問題帶來的幫助。

一、特殊包含著一般

例1.（2017福建省中考題）若直線y=kx+k+1經過點（m，n+3）和（m+1，2n-1），且，則0

A.3? B.4? C.5? D.6

示范解析：本題旨在通過一次函數、方程（組），不等式等核心知識的運用，考查學生的探究能力，運算能力。一般的作法就是將兩個特殊點代入聯立組成方程組，但后續對方程組要進行觀察，消參，運算，不是每個學生都能做到的。而特殊化思想就是要把研究對象或問題從原有范圍縮到較小范圍或個別情形進行考查的思維方法。在解決這類問題時，如果能有效利用“特殊”工具：賦特殊值，取特殊點，考慮特殊位置等，往往能把問題簡單化，這也是我們思考這類問題常用的方法。本題中，根據條件0

答案：C。

二、一般寓于特殊之中

例2.（2018廈門市質檢題）已知a，b，c都是實數，則關于三個不等式：a>b，a>b+c，c<0的邏輯關系的表述，下列正確的是（ ）

A.因為a>b+c，所以a>b，c<0

B.因為a>b+c，c<0，所以a>b

C.因為a>b，a>b+c，所以c<0

D.因為a>b，c<0，所以a>b+c

示范解析：本題旨在通過不等式，不等式的基本性質等核心知識的運用，考查學生的邏輯推理能力、歸納猜想能力。從一個或幾個特例歸納出一般結果猜想，這是探索發現新知的重要手段。歸納猜想題往往給定一些數、式、圖形等，以一般的式推理內在的特殊邏輯關系。在中考中也較為常見，要求學生根據題目條件進行分析歸納，發現變化趨勢，猜測可能的相關結論，若有需要可以進行驗證或證明。

本題中三個不等關系之間內在的因果關系是待確定的，這種情況下要明確它們三者之間的充分必要關系就要進行嚴謹的邏輯推理，哪怕是學習水平較好的學生也不見得能嚴格證明。對于選擇題，要檢驗一般性的結論是否正確，只要通過驗證特殊情況是否滿足要求來判斷結論正確與否，從而使問題的解決達到事半功倍的效果。a，b，c都是實數，選項中的邏輯推理只要能舉出一個反例即可以說明它是錯誤的。比如A選項，a=0，b=1，c=-2，符合題設，但不符合結論，即可排除。同樣的方法也可以排除B、C選項。

答案：D。

三、特殊與一般相融

例3.（2018漳州市質檢題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為OC上動點（與點O不重合），作AF⊥BE，垂足為G，交BC于F，交BD于H，連接OG，CG.

示范解析：本題旨在通過正方形的性質與判定，三角形相似的性質和判定等核心知識的運用，考查學生的探究能力、運算能力、推理論證能力等等。數學課程標準指出：學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。從特殊逐步引向一般，是科學研究與發現的一般方法。

挖掘題目本身的許多特殊：正方形是特殊的圖形，可以有AB=BC，∠ABD=∠BCA=45°，∠ABC=90°，根據同角的余角相等得∠BAH=∠CBE，從而利用全等也就證得第（1）問的結論;特殊的點，點E為OC上動點，將點E特殊化，當點E滿足AE=AB時，△ABE是等腰三角形，加上AG⊥BE，就有“三線合一”，進而得到一些角的特殊度數，再根據三角形內角和180°算出∠AGO為45°。最后根據這個結論再進行嚴格的推理證明。這樣以特殊問題為起點，進行歸納、概括，尋求解決一般問題的方法和規律，第（2）問也就變得有了思路和方向;特殊的基本模型，題目中Rt△ABF中BG⊥AF，出現了特殊的“子母型”相似，△ABH和△OGH屬于“反8型”相似等等，認識到這種種特殊，以及利用這些特殊帶來的性質，求解問題（3）也會變得容易些。

四、教學反思

1.重溫知識，建構整體

特殊與一般是數學的基本思想方法，一些數學概念、定理等都蘊含著特殊與一般思想。從數的角度理解，一次函數的一般形式是y=kx+b（k≠0），而這個等式中包含著無數組對應的特殊和的值。從形的角度理解，一般的直線就是由無數多個特殊的點組成的。例1中題設給出直線過點，由一般做法就可以完成點在線上就代入得到方程組，再對值特殊化，從而問題得到解決。例2中，不等式的基本性質這個一般性的結論得來較為抽象，也蘊含著不完全歸納法，而反過來想說明一個結論不成立卻只需要舉出一個反例即可，選項通過賦特殊值的方法即可以進行排除選擇。在教學過程中，要關注知識之間的聯系，對知識體系進行完整的分析和研究，理清知識脈絡，幫助學生建構良好的認知結構。在概念、法則、定理的新知教學時，引導學生去讀并讀懂隱含的關鍵字詞，掌握其內在規律，為分析問題，解決問題打好基礎。

2.提煉策略，提升能力

在數學解題過程中，特殊與一般思想往往能啟迪我們，找到打開未知大門的鑰匙。在例3的解決過程中，我們可以體會到特殊化使得問題變得容易，當結論沒有方向，要引導學生多探究，退到特殊情形，找到問題的切入點，發現隱藏的規律，從特殊到一般又從一般到特殊，逐步使得學生思維從感性思維提升到理性思維。而“以退為進”是一種智慧，也是一種策略。華羅庚曾說“退到最原始而不失去重要性的地方，把簡單的、特殊的問題搞清楚了，并從這些簡單問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發現一般問題的結論，或者得到化歸為簡單問題的途徑，從而再‘進到一般性問題上來。”比如勾股定理逆定理的證明，“同一法”是很難想到和理解的，但如果先借用幾組特殊的數據畫直角三角形和一般三角形，再經歷拼、疊的過程，可以引導學生逐步過渡到一般性的證明。教學中，滲透特殊與一般思想，學生掌握策略的過程中，也在感受思維之美，提升能力。

數學思想方法的形成存在于知識的發生過程，存在于數學的解題過程，存在于解題之后的反思中。教學中應不失時機地向學生提供良好的探究環境，提供典型的材料，適時地滲透特殊與一般思想，讓學生將這種思想貫穿到整個學習過程中，變成一種自覺行為。

參考文獻：

[1]劉志昂.轉化思想[J].中學數學教學參考，2018.

[2]葉紅.特殊與一般思想[J].中學數學教學參考，2018.

編輯 劉瑞彬