基于全序排列帝國(guó)主義算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化仿真研究

陳功貴，曹 佳，劉 耀，郭艷艷

(1.重慶郵電大學(xué) 重慶市復(fù)雜系統(tǒng)與仿真控制實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065；2.四川外國(guó)語大學(xué) 教育學(xué)院，重慶 400031；3.武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械與電子學(xué)院，湖北 武漢 430205)

0 引 言

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化(Optimal Reactive Power Dispatch,ORPD)是多目標(biāo)，多變量，多約束的非線性規(guī)劃問題[1-4]，其中網(wǎng)絡(luò)損耗[5](Ploss)是無功優(yōu)化主要考慮的目標(biāo)，但僅考慮單個(gè)目標(biāo)并不一定能滿足實(shí)際需求，因此多目標(biāo)無功優(yōu)化[6-7](Multi-Objective ORPD,MOORPD)的提出對(duì)解決實(shí)際工程問題具有重要意義。針對(duì)MOORPD問題，確立了兩個(gè)雙目標(biāo)無功優(yōu)化案例：最小化網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓偏移量以及最小化網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓穩(wěn)定性指標(biāo)。

帝國(guó)主義算法(Imperialist Competition Algorithm,ICA)是一種受帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)行為啟發(fā)的智能優(yōu)化算法[8-9]，在優(yōu)化問題上具有一定優(yōu)勢(shì)。ICA在處理單目標(biāo)問題時(shí)，算法中國(guó)家位置更新以及國(guó)家優(yōu)劣判斷主要依賴國(guó)家權(quán)力值(目標(biāo)函數(shù)值)大小，但在多目標(biāo)問題中，由于存在多個(gè)相互影響的目標(biāo)函數(shù)，故無法直接通過目標(biāo)函數(shù)值判斷國(guó)家權(quán)力。因此，本文結(jié)合非劣排序和擁擠距離計(jì)算提出了全序排列帝國(guó)主義算法(Total Rank Imperialist Competition Algorithm,TRICA)用于度量多目標(biāo)問題中國(guó)家權(quán)力，將國(guó)家排序順序作為國(guó)家權(quán)力大小的判斷法則。

為了將該算法應(yīng)用到MOORPD問題中，提出了多目標(biāo)全序排列帝國(guó)主義算法(Multi-objective TRICA,MOTRICA)。在Matlab[10]基礎(chǔ)上，以IEEE30節(jié)點(diǎn)為例針對(duì)所建立的兩個(gè)雙目標(biāo)無功優(yōu)化模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過與多目標(biāo)粒子群算法(Multi-objective Particle Swarm Optimization,MOPSO)的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究，結(jié)果表明，MOTRICA算法具有更好的實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)。通過對(duì)算法的改進(jìn)運(yùn)用可以提高學(xué)生對(duì)智能算法的理解，通過Matlab仿真圖形有利于學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，加深學(xué)生對(duì)多目標(biāo)問題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生利用仿真平臺(tái)解決實(shí)際問題的能力。

1 多目標(biāo)無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

一般情況下，MOORPD問題中目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為：

minF(x,y)

(1)

式中：F為目標(biāo)函數(shù)；g和h為約束條件；x為狀態(tài)變量或非獨(dú)立變量；y為控制變量。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

(1)網(wǎng)絡(luò)損耗最小。網(wǎng)絡(luò)損耗(Ploss)是電力系統(tǒng)ORPD中經(jīng)濟(jì)運(yùn)行最常見的目標(biāo)之一，其表達(dá)式為：

minf1=minPloss=

(2)

式中：f1表示第1個(gè)目標(biāo)；NE為總支路數(shù)；gk(i,j)為節(jié)點(diǎn)i、j之間k的電導(dǎo)；Ui和Uj分別為節(jié)點(diǎn)i和j的電壓值；δij節(jié)點(diǎn)i、j之間的電壓相角差。

(2)電壓穩(wěn)定性指標(biāo)最小。局部電壓穩(wěn)定性指標(biāo)[11-12]Lj表達(dá)式如下：

(3)

系統(tǒng)全局的局部電壓穩(wěn)定指標(biāo)為：

minf2=min(Lindex)=max{Lj},j∈NPQ

(4)

式中:f2表示第2個(gè)目標(biāo)，Lindex表示電壓穩(wěn)定性指標(biāo)，其中，Lindex的數(shù)值大小和電壓穩(wěn)定性關(guān)系定義為如下：

(5)

(3)電壓偏移最小。電壓偏移是衡量電能質(zhì)量的指標(biāo)，也是無功優(yōu)化的安全性指標(biāo)，其表達(dá)式如下：

(6)

式中:f3表示第3個(gè)目標(biāo);Vd為所有PQ節(jié)點(diǎn)電位和理想電位的電偏移的總和;Ui為第i個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)的電壓;UREF表示標(biāo)幺值(per unit,p.u.)為1的理想電壓。

1.2 約束條件

等式約束:

0,i∈N

(7)

0,i∈NPQ

(8)

式中:PGi和PDi分別為PV節(jié)點(diǎn)i和PQ節(jié)點(diǎn)i的有功功率；QGi和QDi分別為PV節(jié)點(diǎn)i和PQ節(jié)點(diǎn)i的無功功率；Gij和Bij分別為節(jié)點(diǎn)i和j間輸電線路的電導(dǎo)和電納；Ni為節(jié)點(diǎn)i相連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)；N為平衡節(jié)點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

不等式約束。不等式約束根據(jù)變量的類型可分為兩類：

(1)狀態(tài)變量不等式約束

PQ節(jié)點(diǎn)的電壓ULi

ULi,min≤ULi≤ULi,max,i∈NPQ

(9)

PV節(jié)點(diǎn)的無功功率QGi

QGi,min≤QGi≤QGi,max,i∈NPV

(10)

視在功率Sij

Sij≤Sij,max,i∈NE

(11)

(2)控制變量不等式約束

發(fā)電機(jī)端電壓UGi

UGi,min≤UGi≤UGi,max,i∈NPV

(12)

變壓器抽頭變比Ti

Ti,min≤Ti≤Ti,max,i∈NT

(13)

無功補(bǔ)償裝置約束QCi

QCi,min≤QCi≤QCi,max,i∈NC

(14)

式中：NT為變壓器臺(tái)數(shù)；NC為無功補(bǔ)償裝置的投切數(shù)；min和max分別為相應(yīng)變量約束值的最小和最大值。

2 多目標(biāo)帝國(guó)主義算法

2.1 原始帝國(guó)主義算法

ICA初始化Npop個(gè)個(gè)體被稱為國(guó)家，根據(jù)國(guó)家權(quán)力不同又將初始個(gè)體分為帝國(guó)主義國(guó)家以及殖民地兩種，其中有Nimp個(gè)較強(qiáng)的帝國(guó)主義國(guó)家和Ncol個(gè)較弱的殖民地國(guó)家。帝國(guó)主義國(guó)家通過占有殖民地形成帝國(guó)，隨著殖民地的革命以及帝國(guó)之間競(jìng)爭(zhēng)和侵占，最后只剩下一個(gè)帝國(guó)主義國(guó)家，而其他國(guó)家都是其殖民地。

(1)帝國(guó)初始化。對(duì)于Nvar維控制變量的優(yōu)化問題，每個(gè)國(guó)家都可以表示為：

country=[p1,p2,p3,…,pNvar]

(15)

式中：pi為影響國(guó)家權(quán)力的社會(huì)屬性如文化、宗教、語言等；Nvar為控制變量的維度。國(guó)家的目標(biāo)函數(shù)cn如下：

cn=f(country)=f(p1,p2,p3,…,pNvar)

(16)

標(biāo)準(zhǔn)化處理帝國(guó)主義國(guó)家的目標(biāo)函數(shù)Cn如下：

(17)

則帝國(guó)主義國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化處理后的權(quán)力pn表示為：

(18)

初始化后分配給帝國(guó)主義國(guó)家的殖民地?cái)?shù)量NCn為：

NCn=round{pnNcol}

(19)

(2)同化過程。為了更好的掌控其占有的殖民地，帝國(guó)主義國(guó)家會(huì)將本國(guó)的思維模型和文化習(xí)俗推行到殖民地國(guó)家[13]。在此期間，殖民地會(huì)受到所屬帝國(guó)主義國(guó)家的影響更新自己的位置，如圖1所示。圖中，更新距離s為：

s～R(0,β×d)

(20)

式中：R為s到β×d內(nèi)均勻分布，β>1；d為兩者的直線距離。偏離角度θ定義如下：

θ～R(-γ,+γ)

(21)

式中：0<γ<π為偏移角度的變化范圍。

圖1 同化過程

(3)革命過程。殖民地除了同化過程有機(jī)會(huì)改變自己的社會(huì)屬性，ICA算法也允許殖民地通過突變來改變自己的社會(huì)屬性，這一過程稱為殖民地的革命過程。殖民地社會(huì)屬性發(fā)生改變后，如果其cn低于帝國(guó)主義國(guó)家，則互換兩者的位置。

(4)競(jìng)爭(zhēng)過程。競(jìng)爭(zhēng)過程用于模擬現(xiàn)實(shí)社會(huì)中帝國(guó)主義國(guó)家之間相互競(jìng)爭(zhēng)以提高自己權(quán)力的過程。帝國(guó)的權(quán)力大小是衡量帝國(guó)在競(jìng)爭(zhēng)過程中勝利或失敗的決定性因素，其總目標(biāo)函數(shù)值表示如下：

TCn=Cost(imperialistn)+ζmean{Cost(colonies of empiren)}

(22)

式中,ζ是殖民地對(duì)帝國(guó)主義國(guó)家的影響因子。

根據(jù)帝國(guó)總目標(biāo)函數(shù)值可以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的目標(biāo)函數(shù)：

(23)

然后由此可以計(jì)算出帝國(guó)主義國(guó)家的侵占概率：

(24)

對(duì)于Nimp個(gè)帝國(guó)，可以將侵占概率生成一個(gè)1×Nimp的矩陣P，定義為如下：

P=[pp1,pp2,pp3,…,ppNimp]

(25)

再生成一個(gè)與P同型矩陣R，定義為如下：

R=[r1,r2,r3,…,rNimp],r1,r2,r3,…,rNimp～

U(0,1)

(26)

由此可得矩陣D:

D=P-R=[D1,D2,D3,…,DNimp]=[pp1-r1,

pp2-r2,pp3-r3,…,ppNimp-rNimp]

(27)

在矩陣D中，元素最大值的索引為侵占該殖民地的帝國(guó)主義國(guó)家：

(5)帝國(guó)滅亡。隨著帝國(guó)間的競(jìng)爭(zhēng)，權(quán)力較小的國(guó)家會(huì)被權(quán)力更大的國(guó)家所侵占。最終只剩下一個(gè)帝國(guó)主義國(guó)家，而其他的國(guó)家成為其殖民地，該帝國(guó)主義國(guó)家的位置即為算法的最優(yōu)解。

2.2 全序排列帝國(guó)主義算法

帝國(guó)主義算法的尋優(yōu)過程主要根據(jù)國(guó)家權(quán)力大小進(jìn)行。在單目標(biāo)問題中，國(guó)家權(quán)力大小通過目標(biāo)函數(shù)值大小就可以確定，但是在多目標(biāo)問題中，由于存在多個(gè)相互沖突或互相影響的目標(biāo)函數(shù)[14]，因而無法直接通過目標(biāo)函數(shù)值來確定國(guó)家權(quán)力的大小。針對(duì)ICA在多目標(biāo)應(yīng)用中存在的問題，提出了全序排列帝國(guó)主義算法優(yōu)化國(guó)家權(quán)力的度量法則，該法則首先根據(jù)約束情況對(duì)國(guó)家進(jìn)行非劣排序?qū)崿F(xiàn)層級(jí)劃分，然后對(duì)同一層級(jí)的國(guó)家根據(jù)擁擠距離計(jì)算進(jìn)行排序，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)所有國(guó)家的全序排列。

(1)國(guó)家權(quán)力層級(jí)劃分。首先根據(jù)約束違反情況對(duì)所有國(guó)家劃分非劣層級(jí)，其中約束違反總合計(jì)算如下：

(28)

式中：Svio為約束違反總合；M是狀態(tài)變量的不等式約束總數(shù)。

對(duì)于任意兩個(gè)國(guó)家y1和y2，其占優(yōu)情況可以由如下法則進(jìn)行判斷：

若Svio(y1)

若Svio(y1)>Vio(y2)，則y2優(yōu)于y1;

若Svio(y1)= Vio(y2)

若fi(x,y1)≤fi(x,y2)?i∈{1,2,…,Npop}且fj(x,y1)

(2)國(guó)家權(quán)力全序排列。由非劣排序可以將國(guó)家進(jìn)行初步的層級(jí)排序，即將所有國(guó)家劃分在了不同的權(quán)力層，對(duì)于同一層級(jí)的國(guó)家i和國(guó)家j，國(guó)家權(quán)力大小比較通過擁擠距離的大小進(jìn)行判斷，若idistance大于jdistance表明在當(dāng)前層級(jí)中國(guó)家i更強(qiáng)，則該國(guó)家在所在層級(jí)的排序更靠前，即權(quán)力更大。由此通過國(guó)家的兩個(gè)屬性：國(guó)家所在的非劣層級(jí)irank和國(guó)家的擁擠距離idistance可以確定所有國(guó)家的全序排列關(guān)系。其全序排列法則如下：

若irank

若irank=jrank且idistance>jdistance，則inj；

(3)最優(yōu)折衷解確定。改進(jìn)算法應(yīng)用到多目標(biāo)問題中得到帕累托前沿[15]后，利用模糊群決策法[16]可以從帕累托前沿中找到最優(yōu)折衷解，第k個(gè)目標(biāo)的隸屬度定義為：

(29)

(30)

式中:Nobj是目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)，yfi最大的帕累托解為所求的最優(yōu)折衷解。

2.3 改進(jìn)算法處理多目標(biāo)無功優(yōu)化問題

全序排列思想不僅應(yīng)用于國(guó)家權(quán)力大小的比較，還應(yīng)用于多目標(biāo)問題中外部?jī)?chǔ)存空間中個(gè)體的更新。在算法迭代過程中，通過全序排列實(shí)現(xiàn)對(duì)所有國(guó)家權(quán)力的度量?jī)?yōu)化找到最優(yōu)的國(guó)家個(gè)體集。外部?jī)?chǔ)存空間則保留下每一代的優(yōu)秀個(gè)體，并且通過全序排列再次對(duì)保留的所有個(gè)體進(jìn)行二次篩選，保留住最優(yōu)秀的N0個(gè)個(gè)體，維持外部?jī)?chǔ)存空間的容量不變。改進(jìn)算法處理MOORPD問題的流程圖如圖2所示。

圖2 MOTICA無功優(yōu)化流程圖

3 基于Matlab的無功優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證MOTRICA的有效性和性能，采用IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)為例證明MOTRICA在MOORPD問題上的有效性。3個(gè)控制變量的變化范圍分別為：發(fā)電機(jī)端電壓上、下限值為1.1p.u.和0.9p.u.;變壓器抽頭變比上、下限值為1.1和0.9;無功補(bǔ)償容量的上限值為0.3p.u.;其中功率的基準(zhǔn)值等于100 MVA。將MOTRICA分別應(yīng)用到案例1(最小化網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓穩(wěn)定性指標(biāo))和案例2進(jìn)行優(yōu)化(最小化網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓偏移量)，每種算法分別運(yùn)行30次，并將所得結(jié)果與MOPSO算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 算法參數(shù)設(shè)置

3.1 案例1結(jié)果分析

該案例對(duì)網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓穩(wěn)定性指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，并在IEEE30節(jié)點(diǎn)中進(jìn)行電力系統(tǒng)MOORPD測(cè)試實(shí)驗(yàn)。圖3為MOTRICA和MOPSO兩種算法的帕累托前沿對(duì)比圖。由圖3可見，兩種算法都能獲得帕累托前沿，但MOTRICA算法收斂效果更優(yōu)。圖4標(biāo)注了MOTRICA算法求出的最小網(wǎng)絡(luò)損耗，最小電壓穩(wěn)定性指標(biāo)以及利用模糊群決策法找到的最優(yōu)折衷解。

表2給出了MOTRICA和MOPSO算法在IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)中各目標(biāo)的最小目標(biāo)值以及最優(yōu)折衷解。由表2可見，采用MOTRICA算法獲得的最小Ploss，最小Lindex以及最優(yōu)折衷解都比MOPSO算法得到的結(jié)果好。在最優(yōu)折衷解中，相比于MOPSO，Ploss和Lindex分別減少約1.14×10-4p.u.和1.39×10-3。MOTRICA獲得的最小Ploss和最小Lindex比MOPSO所得結(jié)果減少約5.1×10-5p.u.和8.2×10-3。

圖3 帕累托前沿對(duì)比圖(案例1)

圖4 MOTRICA帕累托前沿(案例1)

表2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比(案例1)

3.2 案例2結(jié)果分析

該案例對(duì)網(wǎng)絡(luò)損耗和電壓偏移量?jī)蓚€(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行同時(shí)優(yōu)化，如圖5所示為算法所獲得的帕累托前沿對(duì)比圖。可以看出采用MOTRICA算法找到的最小網(wǎng)絡(luò)損耗和最小電壓偏移量以及最優(yōu)折衷解都比MOPSO算法所得到的結(jié)果更好，且MOTRICA能夠得到分布更加均勻的帕累托前沿。圖6標(biāo)注了MOTRICA算法求出的最小網(wǎng)絡(luò)損耗，最小電壓偏移量和以及利用模糊群決策法找到的最優(yōu)折衷解。

圖5 帕累托前沿對(duì)比圖(案例2)

圖6 MOTRICA帕累托前沿(案例2)

采用模糊群決策方法獲得的最優(yōu)折衷解以及通過算法求得的最小Ploss和最小Vd結(jié)果對(duì)比如表3所示。從表3可以看出，采用MOTRICA所獲得最優(yōu)折衷解比MOPSO算法所獲得的最優(yōu)折衷解更優(yōu)，且最小Ploss和最小Vd數(shù)值也更小。在最優(yōu)折衷解中，相比于MOPSO，Ploss和Vd分別減少約7.3×10-5p.u.和1.711×10-2。MOTRICA獲得的最小Ploss和最小Vd比MOPSO所得結(jié)果分別減少約6.3×10-5p.u.和3.81×10-3。

表3 優(yōu)化結(jié)果比較(案例2)

4 結(jié) 語

為解決多目標(biāo)無功優(yōu)化問題并將帝國(guó)主義算法應(yīng)用到多目標(biāo)問題中，建立了兩個(gè)雙目標(biāo)無功優(yōu)化模型，引入了非劣排序和擁擠距離計(jì)算對(duì)國(guó)家進(jìn)行層級(jí)排序和全序排列用于解決算法中國(guó)家權(quán)力的度量問題，基于此提出了全序排列帝國(guó)主義算法用于解決MOORPD問題。將從IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與MOPSO算法進(jìn)行對(duì)比研究，結(jié)果表明MOTRICA在兩個(gè)雙目標(biāo)模型中能找到使系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗更小且電能質(zhì)量更高，網(wǎng)絡(luò)損耗更小且電壓穩(wěn)定性更好的解，由此驗(yàn)證了MOTRICA的有效性和優(yōu)越性。將算法改進(jìn)和仿真實(shí)驗(yàn)應(yīng)用到電力系統(tǒng)教學(xué)中，使學(xué)生能夠更形象直接的掌握算法思想，更深入的理解MOORPD問題，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。