局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性解答及其應用

陸鎖芳，劉 俊，陳偉杰

(1. 上海交通大學 海洋工程國家重點試驗室，上海 200240；

2. 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

0 引 言

對于四邊固支矩形板的彈性解答，很多學者已進行了較為深入的研究，主要針對承受均布載荷的矩形板[1]，鐘陽[2]提出利用辛幾何法推導得到均布載荷下四邊固支矩形彈性薄板彎曲問題的解答；李元媛[3]提出采用多項式函數結合Navier 方法來得到近似的矩形薄板彎曲撓度，IMRAK[4]結合三角函數和雙曲函數，在忽略高階小量的前提下求解了四邊固支矩形板受均布載荷的最大位移。均布載荷下四周剛性固定矩形板解答可用于對船體中板格進行分析，如承受分布貨物荷重的甲板板。但一些特殊情況下，比如海洋平臺或軍用船舶上直升機的起降，滾裝船上輪印載荷的作用[5]，以及極地船舶舷側加強部分承受冰載荷的作用[6]等，此時分布載荷只作用于板格局部位置，不能再將板格視為承受均布載荷四周剛性固定矩形板求解，將其簡化為局部分布載荷下矩形板的問題近似考慮更為合理。對于承受局部分布載荷的剛性固定矩形板，張文福[7]曾嘗試給出了板中彎矩和撓度的計算用表，但僅適用于泊松比為0.2，矩形板的長寬比a/b 為1，1.2，1.4，1.6，1.8 和2，局部載荷的邊長與對應矩形板邊長比c/a 為0.2，0.4，0.6，0.8 和1 的部分情況，應用具有局限性。

本文基于能量法，推導了局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性階段的解答方程組，利用Matlab 編程可方便得到撓度計算值。對于冰級船舶，由于與冰的遭遇工況多，如果采用非線性直接計算，在工況繁多的情況下計算工作量會很大。結合極限載荷準則，將本文提出的解答應用于極地船舶極限冰載荷的快速校核中[8]，可提高初步設計階段的效率。

1 局部載荷作用下四邊固支矩形板的理論解答

圖 1 局部載荷作用示意圖Fig. 1 Diagram of local distributed load

滿足位移邊界條件的撓度 w表達式為：

其中： M ， N 分別為 x ， y 方向展開的項數；為基函數的系數。

板的應變能為：

力函數為：

將撓度表達式代入總位能公式中得到：

由此得到關于系數amn的線性方程組。

2 局部載荷作用下四邊固支矩形板的近似解

隨著項數 M ，N 的增加，撓度計算精度也不斷增加直至收斂，同時隨著項數的增加，求解式（5）的計算量也會陡增，故此借助Matlab 程序進行求解。

將式（5）改寫成如式（6）的形式求解，

并有

求出系數 A后，代入式（1）即可求得矩形板的撓度 w，該方法可以求任意載荷面積下的矩形板撓度。

2.1 均布載荷作用下解答驗證

為驗證本文方法的正確性，與四邊剛性固定矩形板受均布載荷作用的經典解答進行對比。彈性解答矩形板中點的撓度為取值見表1[9]。

表 1 四邊剛性固定的矩形板在均布載荷作用下的撓度解答Tab. 1 Classic solution of rectangular plate by local distributed load with four edges clamped

將本文的計算方法退化到均布載荷情況，即取s=a,h=b，選 取b=100 mm t=4 mm，E=2.06×105MPa 進行驗證，2 種方法計算結果如表2 所示。

表 2 本文方法與經典解答對比Tab. 2 Results comparison between two methods

可以發現2 種方法得到的結果非常一致，本文解答在均布載荷的特殊情況下是正確的。

2.2 局部載荷作用下本文解答與數值解的一致性驗證

表 3 本文解答與數值解對比Tab. 3 Comparison with numerical solution

可知，本文解答與數值解差別很小。

3 局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性解答的應用

3.1 基于2 倍彈性斜率法的快速校核方法

近年來，隨著極地環境不斷變化，越來越多的目光轉向極地船舶的發展。在求解極地船舶所受極限冰載荷作用時，可使用有限元軟件進行非線性有限元計算，但冰船遭遇情況復雜，工況繁多，且對網格精度要求高，需要極大的工作量。陳偉杰等[10]提出結合載荷-變形曲線和2 倍彈性斜率準則得到極地船舶強度評估方法，由此快速得到極限冰載荷的初步設計值，現將本文的矩形板彈性解答應用于該校核方法中。

修正后的矩形板載荷-變形公式的塑性階段解析解[10]

由本文矩形板彈性解答，結合塑性階段的計算公式，得到如下基于2 倍彈性斜率的快速校核方法。

1）利用彈性階段公式得到曲線 Oa；

2）利用塑性階段公式得到曲線 bc ；

3）根據 Oa直線，計算相對于載荷軸的2 倍斜率得到曲線 Od；Od bc U

4）直線 和 交點的縱坐標值即為極限載荷值 。

快速校核方法求解極限示意圖如圖2 所示。

圖 2 快速校核方法求解極限載荷示意圖Fig. 2 Diagram of rapid strength assessment method

通過Matlab 編程實現如圖3 所示的可視化界面，只需輸入簡單的參數即可快速得到極限載荷值。

圖 3 快速校核界面Fig. 3 GUI of rapid strength assessment method

3.2 算例

某極地船舷側結構如圖4 所示。

圖 4 舷側板架有限元模型Fig. 4 Side structure numerical model of an oil tanker

選取以下6 種工況進行2 種方法的對比，結果如表4 所示。

從上面的對比結果可以看到，快速校核方法獲取的舷側冰區加強板格可承受的極限載荷與非線性有限元方法結果相差很小，作為一種快速評估方法，適用于初步設計階段。

5 結 語

本文應用能量法推導了局部載荷作用下四邊固支矩形板的跨中撓度公式，并利用Matlab 編程得到任意矩形板尺寸與局部載荷尺寸下的載荷-撓度曲線。通過快速校核方法的算例可以看出文中所給的方法快速且精確，可供工程設計人員在初步設計時參考。

表 4 快速校核方法與有限元方法計算結果對比Tab. 4 Comparison between rapid strength assessment method and numerical analysis