矩形薄板的參數共振失穩理論與試驗

鐘子林，劉愛榮

(廣州大學-淡江大學 工程結構災害與控制聯合研究中心，廣州 510006)

0 引 言

關于板在動力荷載作用下的穩定性問題已有學者開展研究。Bolotin[1]推導了單邊簡諧荷載作用下四邊簡支矩形板的Mathieu-Hill方程，給出了橫向位移函數只含單個諧波時的不穩定域解。Ostiguy等[2]推導了周期荷載作用下四邊簡支矩形板的Mathieu-Hill方程，探討了長寬比對板動力失穩的影響。Pierre等[3]運用諧波增量平衡法求解出板在有、無阻尼情況下的不穩定域與非線性曲線。Nguyen等[4-5]對4種不同邊界條件各向同性矩形板在動力荷載作用下的穩定和非線性振動進行了研究。鐘子林等[6]利用伽遼金法將周期荷載作用下的四邊簡支矩形板的動力控制方程轉化為馬奇耶方程，運用特征值法求解了板的動力不穩定域和非線性振動曲線并與有限元數值解進行了對比分析，驗證了解析解的正確性。Ganapathi等[7]基于位移和應力連續條件，對周期性面內荷載作用下板的非線性不穩定行為進行了研究。Robinson等[8]采用微分求積法求解了平面內運動矩形粘彈性板的凹凸截面微分方程,給出了橫截面形狀對板的穩定性影響的曲線圖，并觀察到板的發散失穩。傅衣銘等[9]推導出在縱橫周期荷載共同作用下四邊簡支中厚板的非線性運動控制方程，探討了板厚、長寬比、縱橫周期荷載大小對不穩定域的影響。袁尚平等[10]通過Galerkin法得到四邊簡支矩形板在周期荷載作用下的非線性動力方程，求解出板在2倍超諧振動下的振幅，并運用仿真模擬的方法討論了2倍超諧振動對屈曲薄板非線性振動的影響。Minh等[11]對具有中心裂紋的矩形FGM板的穩定性問題進行了研究，通過一階剪切變形理論，建立動力穩定方程，分析了厚度變化對中心裂紋的矩形FGM板動力的穩定的影響。Wu等[12]分析了對邊周期動力荷載作用下加強石墨烯板的動力穩定性，得到具有不同條件的石墨烯板的動力不穩定域，給出不同工況的激勵荷載的臨界頻率值。杜菲等[13]分析了集中質量對各向同性板自由振動頻率的影響。Darabi等[14]基于薄板大撓度理論，運用Bolotin法建立了層合板的非線性動力穩定方程，分析了不同鋪層對板非線性失穩的影響。Sayed等[15]基于時間多尺度擾動法研究了對稱交叉層復合材料層合壓電板在復合激勵下的穩定性。

本文運用特征值法求解四邊簡支矩形薄板的動力不穩定域和幅頻響應，并設計相應的試驗模型展開試驗研究，應用時域分析法計算無附加質量和攜帶附加質量板參數共振失穩的臨界頻率，通過與理論解的對比分析，驗證特征值法的正確性，闡明矩形薄板在周期荷載作用下動力失穩時外荷載與板自振頻率的變化關系，揭示附加質量對板動力失穩的影響機理，為工程結構中板的設計與運用提供參考。

1 動力方程

圖1所示為四邊簡支矩形薄板在x方向受到周期動力荷載

p(t)=α0Pcr+β0Pcrcosθt

作用的受力簡圖,其中:α0為靜力荷載系數;β0為動力荷載系數;α0Pcr為動力荷載的靜力分量;β0Pcr為動力荷載的動力分量;Pcr為板的屈曲荷載。圖中:O為直角坐標系的原點;u、v和w分別為板在x、y和z方向的撓度;板的長度、寬度和厚度分別為a、b和h。

圖1 板的受力簡圖

基于Von-Karman薄板大撓度理論，忽略板面內位移u、v與初始缺陷的影響，運用能量變分法分別得到板動力穩定的控制方程：

(1)

(2)

(3)

式中:ρ為單位質量密度；h為板的厚度;Mu為附加質量的大小;δ為狄拉克函數;xu與yu表示附加質量在板上所處的坐標。

假設橫向撓度函數和應力函數為：

W(x,y,t)=Wkl(t)?k(x)Ψl(y)

(4)

Φ(x,y,t)=

(5)

式中:Wkl和Φpq分別為與時間相關的無量綱函數;?k(x)=sin(kπx/a);Ψl(y)=sin(lπy/b)。假設特征函數Xp(x),Yq(y)為：

Xp(x)=cosh(αpx/a)-cos(αpx/a)-

λp(sinh(αpx/a)-sin(αpx/a))

(6)

Yq(y)=cosh(αqy/b)-cos(αqy/b)-

λq(sinh(αqy/b)-sin(αqy/b))

(7)

1-cosαp,qcoshαp,q=0

(8)

(9)

系數αp,αq通過求解式(8)的超越方程得到。

將撓度函數和應力函數代入控制方程中，運用伽遼金法進行積分計算。考慮線性阻尼的作用，得到攜帶三次方非線性項的Mathieu-Hill方程：

(10)

式中:ξ為阻尼系數;Ω為外荷載作用下板的振動頻率;Λ為激發系數;γ為非線性彈性系數。由下式計算得：

(11)

可知，隨著附加質量M的增加，γ減小。

將橫向撓度函數W周期為2T的解寫成傅里葉級數的形式：

(12)

式(12)代入式(10)，令sin(nθt/2)和cos(nθt/2)的同類項系數相同，得到關于振幅系數an和bn的線性方程組，令其系數行列式為零，通過整合行列式中的矩陣得到特征方程：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:Cn=nζ/π，Dn=n2，(n=1,3,…,2i-1,i=1,2,…)。

通過求解特征值的方法求解四邊簡支矩形薄板的動力不穩定域。

當僅研究主要參數共振下的非線性振動時，可以忽略其余諧波的影響，對橫向撓度函數進行一階伽遼金截斷，將其代入式(10)，令sin(nθt/2)和cos(nθt/2)同類項系數相同，得到關于定態振幅系數an和bn的線性方程組，要使方程組有非零解，則其系數行列式為零，即：

(17)

式中:ζ為阻尼比，通過實驗測得;A為板的振動幅值。同樣，利用求解特征值的方法，求解得出非線性振動定態振幅的解。i=0、j=1時，求得非線性振動的穩定解；i=1、j=0時，求得非線性振動的不穩定解。

2 試驗模型

為驗證理論結果的正確性，綜合考慮試驗設備、邊界條件、加載等方面對試驗的影響，對長、寬、厚分別為a=1.2 m,b=1.0 m,h=2 mm，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比μ=0.33的各向同性鋁制薄板開展動力不穩定性的試驗研究。

本試驗主要采用德國TIRA激振器與ECON控制系統進行板的激振實驗以及丹麥B&K的振動測量系統收集與分析數據。激振系統包括激振器、振動控制器、功率放大器和排風機，測量系統包括傳感器、前端模塊、電荷放大器和PULSE分析系統。

激振系統的工作原理為：在電腦端設置相關的參數并發出激振指令，指示振動控制器發出相應的振動數字信號，然后功率放大器將振動數字信號進行功率轉換，將其轉換成相應的電壓信號并傳輸給激振器，激振器在線圈產生的電磁力作用下，控制激振器產生的激振力。當電腦端發出的振動信息超出試驗控制值時，固定在激振頭上的加速度傳感器將該信號反饋給振動控制系統，激振器將會進行自我保護而停止激振試驗。

板的振動信號由B&K加速度傳感器收集,然后傳輸給電荷放大器，通過電荷放大器進行功率的轉換，將電荷信號轉換為電壓信號，按振動規律變化的電壓信號通過前端模塊的儲存處理功能轉化為筆記本中Lab shop軟件能夠識別的振動數字信號，最后將板的振動信號進行處理與分析。

試驗模型主要由激振臺、滑動組件、U1和U3(短邊)、U2和U4(長邊)、槽形塊、開口滾軸、加載梁、鋁板等組成。激振臺的4個邊角用長螺栓和地面連接固定，保證了試驗過程中激振臺的穩定。如圖2所示，4個U型邊框內設置U型空間，兩端的支撐塊設有滑輪槽；鋁板的4邊嵌入到4個開口滾軸上，每個開口滾軸的兩端設置滑輪，滑輪嵌入至U型邊框兩端支撐塊的滑輪槽上并進行固定，從而使開口滾軸可以自由地轉動，以此模擬四邊簡支的邊界條件；U1分別與激振器的加載梁和滑動組件連接固定，U3與激振臺的擋板連接，并在其底部安裝3個滑輪，不僅可以使滑動組件在激振荷載作用下能左右滑動，而且限制滑動組件在加載過程中發生面外位移，影響試驗結果；而U2和U4分別通過3個槽形塊固定在滑動組件上；為了將激振器產生的集中荷載均勻地施加到板的對邊，通過預制加載梁將激振力轉換為均布荷載，由于加載梁的剛度很大，在激振力的作用下不產生變形，且其縱截面的中心與開口滾軸的中心平行，確保激振力施加至板橫截面的中面上，避免產生偏心荷載影響試驗結果。

通過振動控制器設置激振器輸出的動力荷載類型為簡諧荷載，并設置輸出的最大激振力與掃頻速率，激振力通過加載梁施加至U1并帶動滑動組件向左滑動，由于U3被激振臺的擋板限制，使得該激振力同時加載到U3的板邊，從而實現對邊加載的目的，解決了圖1力學模型的模擬。

圖2 試驗模型

3 自振頻率與阻尼比測定

采用丹麥B&K的振動測量系統進行數據的收集與分析。待結構模型安裝完成后，將傳感器粘貼在鋁板測點上下對應的位置，并將各傳感器和力錘的信號連接至功率放大器和前端模塊，待相關的線連接完成后打開測量軟件，然后用力錘敲擊滑動組件，將激勵同時施加到U1和U3，使鋁板產生自由振動，待振動信號收集完畢后，進行OMA分析，得到鋁板的自振模態與其對應的自振頻率。由測量得到的衰減曲線，利用自由衰減法計算鋁板的阻尼比，計算公式為:

(18)

式中:Ati和At(i+j)分別表示第i和第(i+j)時刻的振幅;j為從i時刻起鋁板自由振動經過的周期數。圖3為無附加質量作用下板的自由振動衰減曲線。

圖3 自由振動衰減曲線

4 時域分析法

通過掃頻試驗發現，當外荷載的激振頻率在板自振頻率的2倍左右時，板發生強烈的面外豎向振動。為獲得板參數共振失穩的臨界頻率，運用時域分析法觀察其在不同激振力下時域曲線周期變化的特點，以此判斷板發生參數失穩的時刻，結合掃頻范圍與掃頻速率，通過計算獲得不穩定域的臨界頻率值。

由圖4所示時域圖可知，板的振動幅值除了發生較大發散的現象之外，A時間段還出現較小突增的情況，其最大的振幅是穩定狀態下的2～3倍，但板在該時間段是否發生參數共振失穩或者共振失穩仍不能確定，還需要進一步地分析。由圖5可知，A時間段的時域曲線顯示板的振動完成了16周循環，即該時間段板的振動頻率為16 Hz，表明外荷載的激振頻率(16.067 Hz)與板的振動頻率近似相等，但與板實測的自振頻率(一階：8.275 Hz，二階：18.775 Hz)不相等，且與參數共振失穩的特點不同，即在此時間段板未發生參數共振失穩和共振失穩，故該時間段外荷載激振頻率未達到致使板發生參數共振失穩的臨界值。

圖4 90 N激振力下的時域圖

圖5 A時間段時域圖

由圖6可知，在27～30 s的時間段，鋁板在1 s的時間里同樣只完成了16周循環，即鋁板的振動頻率約為16 Hz，與激振頻率基本一致；在30～33 s的時間段，鋁板的振動幅值不斷地增加，此時鋁板在1 s內完成了8周循環，即鋁板的振動頻率約為8 Hz，與其自振頻率相近，而外荷載的激振頻率大約為16 Hz，是鋁板自振頻率的2倍，且振幅逐漸增加，呈現出參數共振失穩的特征，所以掃頻時間30 s為穩定狀態過渡至參數共振失穩的臨界時間，此時的激振頻率對應著板參數共振失穩的上臨界頻率；同理，由圖7可知，在68～70 s的時間段，鋁板處于參數共振失穩的狀態，而在70～74 s的時間段，鋁板的振動頻率大約為16 Hz，與外荷載的激振頻率基本相等，因此掃頻時間70 s為參數共振失穩過渡至暫態振動[1]的臨界時間，此時的激振頻率對應著板參數共振失穩的下臨界頻率。

圖6 B時間段時域圖

圖7 C時間段時域圖

由上可知，在激振頻率不斷變化的動力荷載作用下，板發生動力失穩經歷了3個主要階段；當外荷載做功的速率小于板能量耗散的速率時，板處于暫態振動；當外荷載做功的速率大于板能量耗散的速率時，板由暫態振動過渡至參數共振失穩，其振動幅值逐漸增加；此時板發生彈性強化行為，產生硬化效應，相當于增加了板的剛度，板能量耗散的速率逐漸增加，當其值大于外荷載做功速率時，板的振動幅值下降，最終恢復至暫態振動。即板在頻率不斷變化的外荷載作用下發生動力失穩時，其振動幅值不會一直增加，但當外荷載的頻率為上下臨界頻率區間的某一定值時，板始終處于動力失穩的狀態。

5 動力失穩測試

5.1 臨界頻率確定

在掃頻測試的過程中，只考慮簡諧荷載中的動力分量，即靜力荷載系數α0=0。通過調整不同的激振系數β=β0Pcr/Pmax進行掃頻試驗，運用時域分析法計算得到鋁板發生參數共振失穩的臨界激振頻率值，其中Pmax是激振器輸出的最大激振力，此次試驗的最大激振力取100 N。

由OMA分析可知，鋁板實測的一階自振頻率為8.275 Hz，由于板發生參數共振失穩的臨界頻率在板自振頻率2倍附近，因此可取板自振頻率的2倍作為中心值，根據中心值設置掃頻試驗的頻率范圍為15.7～17.7 Hz，并設置掃頻試驗時的掃頻速率為1 Hz/min，設定不同幅值的激振力進行激振實驗，通過B&K振動測試系統收集板的振動信號。

當激振系數為0.2時，板的振動幅值未發生變化，即在掃頻激振過程中板始終處于穩定的狀態，如圖8(a)所示。當激振系數分別為0.4、0.6、0.8時，板發生參數共振失穩，振動幅值逐漸增加，如圖8(b)～(d)所示。采用時域分析法確定不同激振系數下板發生參數共振失穩的臨界時間并結合掃頻速率計算上下臨界頻率值。

(a)0.2

(b)0.4

(c)0.6

(d)0.8

由圖9(a)可知，當激發系數為0.4(40 N)時，板的振動周期在39.6 s時發生變化，由暫態振動過渡至參數共振失穩，此時對應的激振頻率為15.7+39.6/60=16.360 Hz，即為該激振系數下板動力失穩的上臨界頻率；由圖9(b)可知，在58 s時板的振動周期再次發生變化，由參數共振失穩過渡至暫態振動，此時對應的激振頻率15.7+58/60=16.667 Hz，即為該激振系數下板動力失穩的下臨界頻率。同理，按照類似的方法可以計算得出其余激振系數作用下無附加質量板以及攜帶附加質量板發生參數共振失穩時對應的上下臨界頻率值，并與解析解進行對比，如圖10所示。

5.2 幅頻響應

為研究面內周期動力荷載作用下板非線性振動的性質，對某一激振系數下的時域曲線進行傅里葉變換，得到該激振系數下板的幅頻響應，將其與理論解進行對比，驗證板在周期動力荷載作用下的非線性參數振動的正確性。由圖11所示的激振系數為0.6時無附加質量板的幅頻響應對比可知，試驗結果與解析解基本一致，板在周期動力荷載作用下的非線性參數振動產生牽引現象。試驗結果發現，當外荷載的激振頻率未達到臨界頻率時，板的實測振動幅值不為零，因為外荷載做功的速率不為零，具有一定的能量使板產生微小的振動；當外荷載的激振頻率進入臨界頻率區域時，板發生參數共振失穩，其振動幅值逐漸增加并表現出強烈的非線性性質，牽引其向大頻率方向振動，直到外荷載的激振頻率超出臨界頻率時，板的振動幅值下降，并恢復至穩定的狀態。

5.3 附加質量影響

將質量塊放置在板的中心位置(a/2,b/2)，測試其在不同幅值激振力作用下的瞬態響應，運用時域分析法計算得到對應的臨界激振頻率。需要指出的是，附加質量作用下板的初始缺陷非常微小可忽略不計。

(a)A時間段

(b)B時間段

(c)C時間段

(d)D時間段

(e)E時間段

(f)F時間段

圖10 不同附加質量對臨界頻率的影響

圖11 不同附加質量對幅頻響應的影響

將附加質量平均分成兩部分，分別粘貼在板上下表面相同的位置處，且在激振試驗過程中附加質量始終與板緊密連接，不產生相對位移。由圖10所示的臨界頻率對比圖可知，在附加質量的作用下，板的臨界激振頻率降低，不穩定域寬減小，在相同的激振力作用下，攜帶附加質量的板先失去穩定。當激振系數小于0.3時，攜帶附加質量0.25 kg板的臨界頻率為零，即板在30 N的激振力作用下始終處于穩定的狀態，表明在附加質量的作用下，板的阻尼比與其能量耗散的速率增加，導致臨界激振系數β相應地增加，在外荷載做功速率不變的情況下，需要更大的激振力才能使板發生參數共振失穩。圖11為相同激振系數0.6(60 N)下攜帶不同附加質量板的幅頻響應對比，結果表明隨著附加質量的增加，板的非線性彈性系數γ減小，阻尼比增加，但當外荷載克服阻尼做功時，板發生參數共振失穩時的振動幅值增加。

將不同激振系數下掃頻試驗測試得到的攜帶不同附加質量板的臨界頻率與特征值法求解得到的理論不穩定域進行對比發現，實測的臨界頻率值整體向右偏移，主要的原因是試驗無法完全模擬四邊簡支的邊界條件，如邊界存在的摩擦增大了邊界剛度，使得實測的自振頻率較理論值大，但試驗與解析解吻合較好，兩者的誤差均在合理的范圍之內，其中最大的誤差為1.47%，如表1所示。

表1 臨界頻率誤差對比

6 結 論

(1)通過理論與試驗研究分析了對邊簡諧荷載作用下四邊簡支矩形薄板的參數共振失穩問題。結果表明，試驗與解析解較吻合，證明了特征值法可正確求解板的動力不穩定域與幅頻響應。

(2)提出的時域分析法可用于區別板發生參數共振失穩和共振失穩，計算參數共振失穩的臨界頻率值。

(3)對于對邊周期荷載作用下的四邊簡支矩形薄板，當外荷載的激振頻率是板自振頻率的兩倍左右時，板發生參數共振失去穩定。

(4)板發生參數共振失穩經歷了3個主要階段：當外荷載的做功速率小于板的能量耗散速率時，板處于暫態振動，外荷載的激振頻率與板的振動頻率相同；當外荷載的做功速率大于板的能量耗散速率時，板由暫態振動過渡至參數共振失穩，其振動幅值逐漸增加，外荷載的激振頻率是板自振頻率的兩倍；當板的能量耗散速率大于外荷載的做功速率時，板的振動幅值下降，最終恢復至暫態振動。

(5)板發生參數共振失穩時，幾何非線性限制了板振動幅值的無限增長，并牽引其往大頻率方向振動。

(6)附加質量降低了板的自振頻率，增大了板的阻尼比和振幅，減小了板的動力不穩定域寬，在相同激振力作用下攜帶附加質量的板先失去穩定，且隨著附加質量的增加，板發生參數共振失穩的臨界頻率逐漸減小，臨界激振系數逐漸增加。