散射作用下粒徑對激光燒結的影響

賀云龍， 李 凌

（上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093）

選擇性激光燒結技術是一種先進的快速制造技術，有對材料適應性廣、精度高、工藝簡單等諸多優點。該技術通過激光逐層地照射燒結選區內的粉末材料從而形成所需要的部件[1]，但燒結過程中由于激光能量密度高、燒結時間短的特點，成型工件的質量對激光及材料的參數非常敏感。為了提高工件質量，對燒結過程中顆粒傳熱現象的研究就顯得尤為重要。很多學者對激光和金屬顆粒之間相互作用的過程進行了研究，包括對不同傳熱機理的對比[2-3]、激光參數對燒結過程的影響[4]以及不同材料的燒結特性[5]。然而上述的研究都是把激光光源假設為沿顆粒表面均勻分布，從而將激光與金屬的相互作用簡化為一維問題，這樣的處理方法簡化了計算。但由于超短激光照射金顆粒的過程中存在著散射效應，這導致顆粒表面光強的不均勻分布，因此一維模型無法反映真實的燒結情況。Zhou等[6]通過追蹤光子的運動軌跡來統計落在顆粒表面各區域的光子數目，獲得了顆粒表面光強不均勻分布函數。Zhong等[7]在此基礎上研究了顆粒間的散射對表面光強分布造成的影響。本文主要采用二維雙溫度模型，并引入由于散射作用所引起的顆粒表面光強不均勻分布結果，結合界面追蹤法模擬了在散射作用下激光照射金顆粒的相變傳熱情況，并研究了在激光燒結過程中顆粒粒徑這一重要參數對燒結的影響。

1 物理模型

圖1給出了物理模型，一束高斯脈沖激光垂直照射到金顆粒表面，顆粒半徑為r0，初始溫度為T0。將顆粒分成n個部分，θ為圓心角。激光束的波長為0.7 μm，寬度為L，且L=4r0，關于圓心對稱，其脈沖寬度為tp，能量密度為J。由于對稱性，論文選取的計算區域為半個顆粒。

圖 1 物理模型Fig.1 Physical model

在球坐標系下描述電子和晶格能量傳遞的經典雙溫度模型如下[8]：

式中：T為溫度；t為時間；r為深度；C為單位體積熱容；k為熱傳導率；下標e和l分別表示電子和晶格；G為電子和晶格的耦合系數；S為熱源；θ為圓心角；β（θ）為顆粒表面光強分布函數。

上述模型中的參數可從文獻[9]中獲得。S的表達式為[10]

式中：δ代表光子穿透深度；δb代表電子碰撞深度；R為金箔表面的反射率。顆粒表面分布函數β（θ）根據Zhou的計算方法[5]，通過模擬光子和顆粒的相互作用過程來獲得。

在激光波長為500 nm，顆粒半徑為650 nm的情況下，獲得顆粒表面光強分布如圖2所示。在θ=0～90°的范圍內，光強分布函數符合蘭貝特定律，β隨θ的增加而減小，并在θ=90°附近達到極小值。在θ=123.75°時，出現了一個小的峰值，這主要是因為受到基板反射光子的影響。θ=180°時，吸收光強達到最大，這是由于顆粒的散射光強較大的區域都集中在顆粒的底部，顆粒底部吸收光強變大，甚至超過了θ=0°處的光強值。

圖 2 金顆粒表面光強分布Fig.2 Surface light intensity distribution function of gold particles

計算初始條件為

忽略從顆粒表面出去的激光輻射損失，邊界條件為絕熱邊界條件：

2 熔化界面追蹤法

燒結中熔化過程采用基于界面的能量平衡方程、成核動力學方程和液化界面追蹤的方法來計算。將固-液界面位置所在的控制容積的能量方程寫成焓的形式：

式中焓的計算公式為

式中：Cl,s為固態晶格熱容；hm為熔化潛熱；Tl,I為熔化界面溫度；ρl為晶格密度；f為固-液界面所在網格內液相的體積分數，與速度有如下關系，即

式中：rn，rs分別為發生熔化網格前后界面的位置；us為界面移動速度；l為液相界面在控制體中的位置，計算公式為

式中：l0為上一時間步熔化界面位置。

將式（9）帶入式（8）并進行離散化，再與式（10）聯立可以得到固-液界面的速度方程為

式中：T為溫度；上標n+1表示當前時間步；n表示上一時間步；下標P，N，S，E和W為網格節點位置；n，s，e，w為網格界面位置；I為熔化界面。

網格節點劃分如圖（3）和圖（4）所示。對于超短脈沖激光加工金顆粒，固-液界面的移動速度由成核動力學方程控制[11]，可以表示為

式中：Tl,I為熔化界面溫度；Tm為熔點溫度；Rg為金屬氣體常數；V0為熔化極限速度。

在計算過程中，當最外層晶格溫度首次達到熔點時，認為熔化過程開始，之后按照以下過程對金顆粒的熔化和凝固過程進行計算：

a. 假設界面溫度為控制體節點溫度，然后按式（12）確定界面移動速度，并計算固-液界面位置和液相體積分數；

b. 將式（12）與式（13）計算出的界面速度進行比較，如果前者的計算結果大于后者，則減小界面溫度的預設值，反之則增加界面溫度的預設值；

c. 經過步驟b，對預設固-液界面溫度修正后重新對電子和晶格溫度進行計算；

d. 重復步驟a至步驟c，直到用式（12）和式（13）計算出來的界面移動速度差達到設定的差值，這一時間層上的電子、晶格溫度以及界面溫度、界面速度才能滿足計算精度。

圖 3 網格劃分圖Fig.3 Grid map

圖 4 固液界面附近網格Fig.4 Interface grid

3 結果與討論

3.1 算法的驗證

單脈沖激光照射下金顆粒的溫度場采用了交替方向隱式的有限體積法來計算，網格數為502×502。金顆粒的初始溫度為300 K，模擬時間從-2tp開始，tp=15 ps，時間步長為1 ps。為了對算法進行驗證，對每個網格在單位步長時間內焓的變化進行求和，獲得顆粒總的焓變量ΔH，并與該時間步長下激光輸入能量ΔS進行比較，結果如圖5所示（小圖為畫方框部分的局部放大）。激光從t=-30 ps時開始照射，在t=0 ps時達到脈沖峰值，再到t=30 ps時照射結束；ΔH也隨之先增大后減小，在激光照射結束以后，ΔH=0保持不變，ΔH與ΔS基本吻合，能量保持守恒。

圖 5 金顆粒單位時間步長內焓的變化量和激光輸入的能量Fig.5 Enthalpy change and the energy of laser input

3.2 單脈沖激光照射金顆粒的熔化過程

圖6 是一束tp=15 ps，J=0.5 J/cm2的激光照射粒徑為650 nm的金顆粒在不同時刻的溫度場。從圖6可以看出，隨著激光照射的開始，顆粒的兩極出現了明顯的高溫區域，與頂部相比較，顆粒的底部高溫區域的溫度更高，但范圍較小。這是由于散射效應增大了底部光強，使其獲得更多的激光能量。文獻[12]在激光照射金顆粒的試驗中發現顆粒底部出現一個高溫區域，將基板熔化出一個坑洞，這與本文模擬得到的顆粒底部出現局部高溫現象基本一致。之后隨著熱量不斷地向內部低溫區域傳導，顆粒底部的高溫區域逐漸消失，整個顆粒的溫度場趨于均勻。但上半部分溫度整體水平依舊高于下半部分，這是因為上半部分顆粒整體光強水平比較高，獲得更多的激光能量。在圖6（e）顆粒的上半部分，可以看到一條高溫曲線，這是由于熔化結束以后，發生再凝固現象放熱，使界面溫度升高。顆粒的相變情況如圖7所示，其中粉色部分是發生熔化的區域，顆粒底部在t=2 ps時最先開始熔化，此后向周圍區域擴散，并在t=536 ps時熔化體積達到最大之后開始緩慢凝固。顆粒頂部在t=4 ps時開始熔化，并于t=1 862 ps時熔化體積達到最大。顆粒熔化過程主要發生在顆粒的兩極，且底部熔化體積小于頂部。

圖 6 不同時刻顆粒晶格的溫度分布Fig.6 Lattice temperatures at different time

圖 7 不同時刻顆粒的熔化情況Fig.7 Particle melting at different time

3.3 顆粒粒徑對燒結過程的影響

顆粒粒徑的改變會影響顆粒表面的光強分布，在計算顆粒表面光強分布的過程中有兩個非常重要的參數即無量綱粒徑α與反照率a。無量綱粒徑的表達式為α=m1πd/λ，其中λ是入射光在真空中的波長，d為球形顆粒的直徑，m1為顆粒周圍分散介質的折射率。當顆粒在空氣中時，無量綱粒徑參數α=πd/λ。光子被金顆粒吸收或反射是通過反照率a來判斷的，而顆粒的反照率a與無量綱粒徑α的關系如圖8所示[5]。可以看出無量綱粒徑在0～1范圍內，反照率有一個明顯的增加，之后增幅逐漸變小。

圖9是在激光波長為500 nm的情況下，通過模擬計算獲得的不同粒徑金顆粒表面光強分布曲線。可以看出，圓心角在-120°～120°的范圍內顆粒表面的光強分布基本沒有受到粒徑變化帶來的影響，但在底部附近，顆粒表面的光強分布有一個明顯的增強，這是粒徑變化導致反照率變大，散射效應被不斷加強的結果。

圖 8 反照率隨無量綱粒徑的變化Fig. 8 Albedo vs. dimensionless radius

圖 9 不同粒徑顆粒表面的光強分布(λ=500 nm)Fig. 9 Distribution of β(θ) at different radii (λ=500 nm)

一束tp=15 ps，J=0.5 J/cm2的激光分別照射不同粒徑的金顆粒，圖10是在t=30 ps，即激光照射剛結束時，顆粒的溫度場分布。從圖中可以看出，顆粒底部的溫度隨著粒徑的增加而不斷升高，當粒徑從200 nm增加到800 nm，顆粒底部溫度從3 801 K下降到5 580 K，這是由于粒徑的增加會加強散射效應的作用，使顆粒底部光強提高，從而顆粒底部獲得更多的激光能量。而顆粒頂部與顆粒球心附近的溫度隨著粒徑的增加而不斷降低，當粒徑從200 nm增加到800 nm，顆粒頂部溫度從3 793.5 K下降到2 558 K，而球心溫度則從1 230 K下降到860 K。球體的體積比表面積為半徑的，隨著粒徑變大，單位光照面積下的傳熱體積增大，導致溫度降低。

圖11為t=2 000 ps時顆粒的溫度場分布。此時粒徑為200 nm的顆粒已經完全熔化，顆粒的最高溫度為2 371 K，最低溫度為2 369 K，整體溫度趨于均勻。當粒徑為800 nm，顆粒的熔化體積占比為10.1%，顆粒最高溫度為1 331 K，最低溫度為1 000 K。在顆粒的下半部分，底部溫度偏高，這是因為相變界面到達底部，凝固過程放熱使溫度升高。在激光照射結束一段時間以后，顆粒的溫度場趨于均勻，顆粒整體的溫度、熔化程度隨粒徑增加而降低。

圖12是不同粒徑顆粒底部表面溫度隨時間變化的曲線。可以看出隨著粒徑變大，顆粒底部表面溫度達到的峰值不斷提高，之后下降的速度也越來越快。這是因為隨著粒徑變大，散射效應增強，顆粒底部獲得更多的能量，溫度也相應提高。但由于散射效應加強的區域較小，而其周圍光強較弱的低溫區域體積隨半徑變大，底部熱量向四周低溫區域擴散，溫度也隨之降低，使熔化不能近一步加深。

圖 10 t=30 ps時顆粒的溫度場Fig.10 Temperature field of particles at t=30 ps

圖 11 t=2 000 ps時顆粒的溫度場Fig.11 Temperature field of particles at t=2 000 ps

圖 12 θ=180°時表面溫度隨時間的變化Fig.12 Surface temperature at θ=180°vs. time

4 結 論

本文將激光照射金顆粒的雙溫度模型應用到二維雙溫度模型，并引入了由于散射效應引起的顆粒表面光強不均勻分布的影響，結合基于界面能量平衡方程與成核動力學相耦合的界面追蹤法，模擬了在散射作用下激光照射金顆粒的熔化情況，并研究了粒徑對燒結過程的影響。研究表明：由于散射效應，當激光垂直照射金顆粒時，熔化現象主要發生在顆粒的兩極，且底部熔化開始時間早，熔化體積較小。在激光照射階段，粒徑的增加會增強散射效應的作用，使顆粒底部光強提高，底部溫度也隨之升高。在激光照射結束以后，由于粒徑變大會增加單位光照表面積下傳熱的體積，所以顆粒的粒徑越大整體的溫度水平越低，顆粒熔化程度也越低，顆粒底部的溫度也下降得越快。