分數階微分方程組邊值問題解的存在性與唯一性

郭莉莉， 劉錫平， 賈 梅， 蹇星月

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

在工程技術和科學研究中，有許多現象是由微分方程來描述的。隨著科學技術的發展，人們對分數階微分方程的研究越來越多，取得了很多成果[1-13]。

微分方程組通常用來描述涉及到多個狀態變量的運動系統，文獻[14-15]研究了具有Caputo導數的分數階微分方程組邊值問題解的存在性。

本文研究一類高階Riemann-Liouville分數階微分方程組邊值問題。

2 預備知識與引理

為了后面證明的需要，現給出一些定義和引理。

定義1[16]設函數當時有定義，且積分（是一個復變量）在s的某一個域內收斂，則由此積分所確定的函數稱為函數的Laplace變換，記F(s)稱為的像函數. 在相同條件下，稱

引理1[16]若則

定義2[16]函數的階Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義3[17]函數的階Riemann-Liouville分數階導數定義為

引 理2[17]對 任 意 的函 數的階Laplace變換公式為

定義4[17]令，函數的定義為當級數收斂時，稱級數是關于參數的二元Mittag-Leffler函數。

引理3[17]Mittag-Leffler函數的Laplace變換公式為

引理4[17]廣義Mittag-Leffler導數定義為

其中，

因為，

因為，

結合Leibniz判別法可知，

由引理5可知，級數

證畢。

存在唯一解

證明 由引理2可知，

整理得到

又因為，

所以，

由引理3可知，

將式（5）代入式（4）并整理，得到

對式（6）兩邊進行Laplace逆變換，得到

將 d1，d2帶入式（7），可得式（3）成立。

證畢。

由引理7即可得到引理8。

引理8 邊值問題（1）等價于積分方程

其中，

引理9[18]（Leray-Shauder抉擇） 令是Banach空間，假設是全連續算子，令存在使得，則集合是無界集或者算子T至少存在1個不動點。

3 解的存在性與唯一性

即

證明 由假設條件可知，任意

a. 證明算子T是全連續。

由引理6和式（11）可知，

由式（11）可得|fi(t,U(t))|≤

ki0+tα-2(ki1||u1||+ki2||u2||+···+kin||un||)≤

ki0+Mtα-2max{ki1,ki2,···,kin} （12）

由不等式（13）可得

由式（8）和式（11）可知，

因此

由式（14）可得

所以，

證畢。

接下來證明邊值問題（1）解的唯一性，采用Banach壓縮映射原理。

為了證明的方便，引入一些記號：

因此,

即

r。，

則有

由式（18）可知，

由三角不等式和式（19）可得

證畢。

4 例 題

為了說明所得結論具有較好的適用性，考慮幾個具體的問題。

例1 考慮分數階微分方程組邊值問題

通過計算。得到

令

即

所以，

因此，所有的條件都滿足定理1，所以，由定理1可知，微分方程組（20）至少存在1個解。

即

所以，