組合KdV-Burgers方程扭狀孤波解的漸近穩定性

鄧升爾， 張衛國

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

組合KdV-Burgers方程是非線性研究領域重要的模型方程，在等離子體物理、量子場理論以及固態物理中有著廣泛的應用[1-6]。其中，，，是非線性項系數。當，，給定一些值時，方程（1）可以改寫成其他著名的非線性方程。例如，當，方程（1）即為人們熟知的KdV-Burgers方程

方程（2）可作為許多具有某種耗散作用的實際問題的控制方程，如粘性液體中的淺水波、彈性管內液體的流動和波動、等離子體中的磁聲波等。當方程（2）中，則為著名的KdV方程

文獻[7-10]研究了方程（1）孤波解的求解問題，在文獻[7]中求出了方程（1）的扭狀孤波解；文獻[8-9]分別運用齊次平衡法和直接法與假設法的一種結合得到了方程（1）的精確解；隨后，文獻[10]應用Liapunov穩定性分析法證明了廣義組合KdV-Burgers方程的扭狀孤波解是線性穩定的，并得到了孤波解線性穩定的條件。文獻[11]研究了組合KdV-Burgers方程（1）行波解與耗散系數的關系，找到了2個臨界值，，，，分別為的3個實根，，，，并給出了引理1。

文獻[11]利用平面動力系統的理論和方法研究了方程（1）的行波解。對于引理1中涉及的方程（1）的衰減振蕩解，文獻[11]利用解軌線在相圖中的演化關系、假設待定法，求出了方程（1）衰減震蕩解的近似解，進一步得到了近似解與真解間的誤差估計，證明了誤差是以指數形式速降的無窮小量。對于引理1中方程（1）所具有的波形函數為單調的行波解（也可稱為扭狀孤波解），目前尚未發現有對它的穩定性研究的文獻發表。本文研究當時方程所有的單調遞減行波解的漸近穩定性。

2 方程（1）單調遞減扭狀孤波解的基本性質

利用積分中值定理，將式（4）化為

同理，利用微分中值定理以及式（9），可得

故性質3得證。

3 單調遞減扭狀孤波解的漸近穩定性定理

考慮方程（1）的初值問題，初值條件為

由條件式（11）和式（12）可知，

進一步，該解以最大范數的形式趨近于行波解

定理1的證明可以分為兩部分：第一部分是證明解的整體存在性；第二部分則是證明解的漸近穩定性。

將式（18）線性化，則式（18）化為

其中，

定義初值問題式（18）和式（20）的解空間為

于是，有定理2。

對于定理2的證明也可以分為兩個部分：第一部分證明初值問題式（18）和式（20）解的局部存在性；第二部分證明解的全局存在性。對于初值問題式（18）和式（20）解的局部存在性的證明，可運用Galerkin方法按標準方式進行證明，可參考文獻[12-13]等。本文省略證明而給出定理3。

對于定理2中的初值問題式（18）和式（20）的全局存在性及不等式（21），需要在局部解存在的基礎上給出一致先驗估計。

引理2（Young不等式[14]） a. 令，，且，，則有下列不等式成立：

a. 低階先驗估計。

由于

故式（24）可寫為

其中，

即

b. 高階先驗估計。

將式（15）線性化，有

類似于對式（24）的分析，則式（29）可改寫為

其中，

同理，類似于對式（24）的分析，則式（34）可改寫為

其

再將式（27），式（32），式（37）這 3式相加，有

注意到式（38）右端第4項，利用Young不等式，有

又因為，

所以，

利用Young不等式，可得

即

同樣，利用Young不等式，可得

所以，

從而

由于在局部存在的時間區間內，式（22）成立，可得

由此可知：

據（a）和（b）可以推知

即

故式（13）得證。

根據不等式[15]

可得

由此，根據式（45）即可推得

故定理1得證。

4 方程（1）單調遞減扭狀孤波解擾動的衰減估計

引理 3（Gagliardo-Nirenberg 不等式[16]） 假設，，，，則對任意，有

其中，

由于

故式（48）可寫為

其中，

又由式（49）左邊第2項，有

將式（50）代入式（49）中，有

又由式（23）可知

注意到式（52）中，

類似于對式（41）與式（43）的分析，有

故定理4得證。

類似于對式（48）的分析，式（55）可改寫為

其中，

又由式（56）左邊第2項，有

將式（57）代入式（56）中，有

由式（53）可知

注意到不等式（59）右端第3項，運用Young不等式，

從而，

又

根據式（42），有

故定理5得證。

由式（53）可知

又由式（61），有

由式（62）和式（63），有

再由Gargliado-Nirenberg不等式，得到在范數意義下的衰減速度為

5 結 論

b. 組合KdV-Burgers方程（1）單調遞減扭狀孤波解的擾動在與范數意義下的衰減速率分別為和。