威布爾分布在滾動直線導軌副精度保持性分析中的應用

張 爍，舒啟林

(沈陽理工大學 機械工程學院，遼寧 沈陽,110159)

數控加工技術是評價一個國家制造業現代化水平的重要標志，關系到生產力的發展[1].其中，數控機床技術更是現代化集成制造技術的代表.滾動直線導軌副因具有定位精度高、磨損小、承載能力強等優點，在數控機床中得到了廣泛使用.滾動直線導軌副在數控加工機床應用中最主要的性能是其精度保持性.精度保持性是指滾動直線導軌副在規定條件下、規定時間內精度保持在某一范圍而不喪失的能力[2].目前，我國對于滾動直線導軌副精度保持性的研究相對滯后，開展關于滾動直線導軌副精度保持性的壽命分析至關重要.

威布爾分布在產品的壽命分析中被廣泛應用，尤其適用于分析機電類產品磨損累計失效的形式分布.它的主要優點是能提供較準確的失效分析和小數據樣本的失效預測，在數據不充足的情況下也能進行恰當的失效分析.鄒輝等基于滾動直線導軌副的主要失效形式為疲勞磨損，結合機械產品本身的試驗和失效特性，證明威布爾分布可用于描述各種因素對機械零件疲勞壽命的影響[3].

本文通過滾動直線導軌副精度保持性試驗，對數據進行分析處理，并采用標準二參數威布爾分布評估方法對試驗進行整體評估，計算導軌副的精度指標值，為精度保持性試驗的評估提供一種思路.

1 威布爾分布

1.1 威布爾分布的數學模型及其特性

威布爾分布是目前應用最為廣泛的壽命分布之一.當其形狀參數(威布爾分布數學模型中3個參數之一)不同時，威布爾分布可轉化為指數分布或瑞利分布.由此可見，威布爾分布對各種產品的壽命分析都具有很強的適應性.威布爾分布是由最弱環節模型導出的.若一個整體的任何部分失效則整體失效，這就是最弱環節模型[4].作為精密滾動功能部件，滾動直線導軌副即是最弱環節模型.威布爾分布可以很好地表達產品壽命“浴盆曲線”的3個失效期，不僅能充分反映材料缺陷和應力集中源對材料疲勞壽命的影響，而且具有遞增或遞減的失效率，這符合實際中遇到的問題.因此，威布爾分布作為材料或機械產品的壽命分布模型是十分合適的[5].分析可知，滾動直線導軌副精度保持性的壽命分析基本上服從威布爾分布，故本文選取威布爾分布作為研究模型，對滾動直線導軌副的精度保持性試驗進行評估.

威布爾分布的概率密度函數為：

(1)

式中：β為形狀參數；θ為尺寸參數；δ為位置參數；

t為試驗運行里程，km.

威布爾分布的累積分布函數為：

(2)

令位置參數δ為0，可將式(2)轉化為二參數威布爾分布，即：

(3)

根據定義，尺寸參數代表試驗產品的特征壽命；形狀參數決定了分布曲線的形狀，在可靠性評估中，產品的可靠壽命和特征壽命隨著形狀參數的增大而提高[6].根據形狀參數，可分析機械產品的失效機理.

機理1:β<1.0,表示早期失效.

機理2:β=1.0,表示隨機失效.

機理3:1.0<β<4.0,表示早期耗損.

機理4：β≥4.0,表示快速耗損.

在設計壽命之內,一方面，形狀參數β較大，表示此時整個系統存在完全失效的風險；但另一方面,在威布爾分布的特征壽命大大超過設計壽命的情況下,大的β值是好的跡象.通常，具有陡峭的威布爾分布曲線的產品在失效發生前都有一個安全期,斜率β越大,失效前的變化就越小,結果也就越可被估計[7].

1.2 基于小子樣的虛擬增廣理論

在滾動直線導軌副的精度保持性研究中，綜合考慮試驗時間、人力、物力等因素，一般采取小樣本抽樣試驗，而威布爾分布模型是基于大樣本試驗數據的理論.研究表明，在試驗數據服從威布爾分布時,滾動功能部件可靠性統計分析中最少需要16個壽命數據[8].因此，小子樣條件下需要對試驗數據進行擴充.可基于虛擬增廣理論，對試驗數據進行虛擬增廣，從而滿足大樣本的要求.為了保證增廣樣本的科學性,增廣后大樣本數據的壽命必須具備以下3個條件：①平均值與小子樣的平均值相等；②標準差與小子樣的標準差相等；③增廣后壽命數據在威布爾概率紙圖上大體沿一條直線分布[9].

1.3 二參數威布爾分布評估方法

在了解威布爾分布的特性后，實際應用中需將問題量化，根據原始試驗數據得到威布爾分布參數的估計值，從而確定試件壽命與失效概率之間的關系.威布爾的參數估計方法很多，本文選用一種最常用的二參數威布爾分布評估方法——線性化最小二乘法.線性化最小二乘法計算簡便直觀，被廣泛應用于工程實踐中.它本質上屬于一元線性回歸問題，主要適用于完全樣本試驗數據的處理.

根據式(3)得到的可靠度函數為：

(4)

對等式兩邊取兩次對數，將其線性化，有：

(5)

Y=aX+b+e

(6)

式中,e為隨機誤差.

上述過程稱為威布爾變換.經過威布爾變換，x-y坐標系下的圖形就是威布爾概率紙圖.若產品壽命服從威布爾分布，則其在威布爾概率紙圖上的分布應能大致擬合成一條直線[10].

(1) 將故障間隔時間或失效時間數據從小到大排列.

通過基因編輯改善農作物時，研究人員不僅僅刪除已有的遺傳密碼，他們還探索在DNA斷裂處添加新的遺傳密碼，并且還嘗試在單一植物中編輯多個基因的方法。一部分科學家聲稱在幾年內可以實現這一目標。一家初創公司Inari農業認為，有朝一日農場主可以根據自己農場的種植需要來定制農作物種子。

(2) 按中位秩公式法初步估算各失效時間對應的失效率F0(t)，即：

(7)

式中：i為失效排列順序號；n為試件數量.

(3) 根據最小二乘原理估計回歸系數a和b，即：

(8)

(9)

2 滾動直線導軌副精度保持性試驗

2.1 試驗條件

精度保持性試驗臺是以沈陽機床集團公司生產的VMC850E 立式加工中心為基礎改造而成的.從試驗要求及可行性出發，對該數控機床機械部分和測控部分進行改造，搭建試驗平臺.其整體結構主要包括以下部分：床身、工作臺、工作臺驅動機構、被測導軌載荷施加機構、導軌精度檢測基準、實時溫度檢測系統和行程累積計數器等.圖1所示為搭建的精度保持性試驗臺.

1-床身和滑鞍；2-工作臺；3-數控系統；4-被測導軌載荷施加機構；5-數據采集系統圖1 精度保持性試驗臺

試驗選用南京工藝裝備制造有限公司生產的GGB35BAMN2P12×1680-3型滾動直線導軌副.其額定動載荷為34.97 kN.對選取的3組導軌副分別進行編號，并采用恒定應力加速試驗方法，在負載為450 kg，進給速度為8 000 mm/min的條件下，每跑合10 km測量一次精度指標，共跑合1 200 km.

2.2 試驗結果與分析

判斷滾動直線導軌副精度是否失效，主要依靠導軌副各精度指標值.試驗所用導軌副為3級精度，其精度指標如表1所示.試驗過程中若滾動直線導軌副精度超出誤差允許范圍，則判定導軌副精度失效.

試驗共進行120 d，試驗周期較長，完全樣本的試驗數據量較大.為提高效率，針對3組導軌副各精度指標值，每100 km進行一次記錄，并對4種精度指標分別取平均值后描點連線，可得到精度值隨時間的變化曲線，即滾動直線導軌副的精度值衰退曲線(圖2).

從圖2可以看出，各精度指標在400 km內小幅度變化，此時導軌副處于磨合階段；在400～1 000 km內，導軌副精度指標趨于穩步上升狀態；1 000 km后各精度指標迅速增大，此時導軌副已經進入損耗期；在1 100 km左右,誤差超出了3級精度允許范圍，精度失效.

表1 滾動直線導軌副的3級精度允差 μm

圖2 滾動直線導軌副精度值衰退曲線

3 精度保持性參數估計

對滾動直線導軌副精度保持性試驗的記錄結果分析可知，3組導軌副精度保持性壽命分別為1 079 km，1 030 km，1 048 km.根據所得試驗數據，對該型滾動直線導軌副精度保持性可進行如下參數估計：①算出的試驗數據平均值為1 052.3 km，標準差為20.237 km；②根據虛擬增廣理論，通過MATLAB軟件編程，可生成一組容量為20，平均值為1 052.3 km，標準差為20.237 km的隨機數據；③得到的增廣樣本數據為：1 063.2,1 089.4,1 006.6,1 069.7,1 058.8,1 025.8,1 043.5,1 059.2,1 124.7,1 108.3,1 025,1 113.7,1 067.0,1 051.0,1 066.8,1 048.2,1 049.8,1 082.4,1 080.0,1 081.0(這些數據的單位均為km).該組數據在威布爾概率紙圖上的分布如圖3所示.

圖3 滾動直線導軌副增廣樣本數據的威布爾概率紙圖

由圖3可知，坐標系中的點可大致擬合成一條直線，因此認為滾動直線導軌副精度保持性服從威布爾分布.根據線性化最小二乘法計算步驟得到的回歸系數如下：a=41.59，b=-290.48.由此得到的形狀參數β=41.59，尺寸參數θ=1 074.90.因此可寫出如下威布爾分布函數：

(10)

滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布概率密度函數為：

(11)

滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布概率密度函數曲線如圖4所示.

圖4 滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布概率密度函數曲線

滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布可靠度函數為：

(12)

滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布可靠度函數曲線如圖5所示.

圖5 滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布可靠度函數曲線

滾動直線導軌副精度保持性分析的威布爾分布失效率函數為：

(13)

確定威布爾分布的失效率函數后，就可以通過計算得到它的其他類型壽命指標.

滾動直線導軌副的可靠壽命為：

(14)

當可靠度R(t)=0.5時，t0.5稱為中位壽命；R(t)=exp(-1)=0.368時，t0.368稱為特征壽命；R(t)=0.9時，t0.9稱為額定壽命.

滾動直線導軌副的平均壽命為：

(15)

式中，函數Γ的值可通過查表得到.

滾動直線導軌副的精度保持性指標與可靠度如表2所示.

表2 滾動直線導軌副的精度保持性指標與可靠度

從表2可以看出，在可靠度為0.9的情況下，滾動直線導軌副可在運行1 017.9 km內精度保持性不失效，與試驗過程記錄結果基本一致.

4 結束語

本文在進行滾動直線導軌副精度保持性試驗的基礎上，繪制了其精度衰退曲線，并應用二參數威布爾分布評估方法對試驗進行了評估.針對滾動直線導軌副的精度保持性，討論了威布爾分布的概率密度曲線和可靠度曲線.通過試驗，驗證了威布爾分布在滾動直線導軌副精度保持性分析中的適用性，估算了某型號滾動直線導軌副精度保持性的各類型壽命.