基于GNSS系統的整周模糊度解算算法仿真

張晟歌 程乃平 倪淑燕

摘 ?要： 利用載波相位觀測值可以大大提高導航定位精度，但整周模糊度的存在會嚴重影響結果的準確性。為了解決整周模糊度對載波相位觀測值的影響，對LAMBDA算法求解整周模糊度的過程進行分析和設計，提出利用協方差分解來降低模糊度組數之間相關性的算法，設計相應的Matlab仿真驗證系統并進行仿真。比較分析不同分解算法下的搜索域的大小以及修正解的準確性。結果表明，下三角分解算法的整周模糊度解算算法在搜索域大小上比上三角分解算法大，且解算速度較快，能運用于后續的姿態解算。

關鍵詞： 整周模糊度算法; Z變換; 協方差矩陣分解; LAMBDA算法; Matlab仿真; 仿真分析

中圖分類號： TN911.5?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2019）15?0131?03

Simulation of integer ambiguity resolution algorithm based on GNSS system

ZHANG Shengge， CHENG Naiping， NI Shuyan

（Department of Optoelectronic Equipment， Space Engineering University， Beijing 101400， China）

Abstract： The use of carrier phase observations can greatly improve navigation positioning accuracy， but the presence of integer ambiguities can seriously affect the accuracy of the results. In order to eliminate the influence of the integer ambiguity on the carrier phase observations， the process of solving the whole?period fuzzy of the LAMBDA algorithm is analyzed and designed in this paper. An algorithm that uses covariance decomposition to reduce the correlation between the numbers of ambiguity groups is proposed. The corresponding Matlab simulation verification system was designed and simulated. The size of the search domain of different decomposition algorithms and the accuracy of the correcting solution are compared and analyzed. The results show that the integer ambiguity resolution algorithm of the lower triangular decomposition algorithm is larger than the upper triangular decomposition algorithm in the size of the search domain， and its solution speed is faster and can be used in subsequent pose calculation.

Keywords： integer ambiguity algorithm; Z transform; covariance matrix factorization; LAMBDA algorithm; Matlab simulation; simulation analysis

0 ?引 ?言

目前整周模糊度解算算法[1]是應用最廣泛且解算成功率及效率很高的一種方法，是Teunissen教授在1993年提出的LAMBDA（The Least?squares Ambiguity Decorrelation Adjustment，最小二乘去相關模糊度搜索）算法[2]。其主要思想是基于最小二乘方法的搜索方法。通過對基于最小二乘搜索法中出現的協方差矩陣進行處理，降低模糊度相關性，以此來提高搜索的效率。

本文進行了整周模糊度搜索的主要算法相應的Matlab仿真，比較了LAMBDA算法在不同協方差分解方式下整周模糊度搜索域即搜索性能，可以為整周模糊度解算方案的選擇提供參考依據。

1 ?最小二乘搜索

載波相位觀測模型[3]如式（1）所示：

整數最小二乘估計算法解算算法通常分為兩步：

1） 忽略[a]的整數約束，利用一般最小二乘法估計出[a]與[b]的浮點解[a]，[b]及其協方差矩陣：

2） 利用浮點解搜索使目標函數最小的整數作為整周模糊度固定解[a]，搜索方式為：

在進行搜索求解時，搜索空間表示為：

式（7）是一個以[a]為中心的[n]維超橢球體，[χ2]與[Q-1a]分別控制其大小和形狀。其中，假設各個模糊度之間互不相關，[Qa]為對角陣，此時搜索域所表示的橢球退化為球體。只需對[a]就近取整即為固定解[a]。但在動態定位或快速定位的應用中， 較短的觀測時間及雙差觀測模式使得各模糊度間高度相關，[Qa]遠非對角陣，此時搜索橢球被拉的很長。搜索過程異常復雜。

2 ?LAMBDA算法

LAMBDA算法主要采用Z變換的降相關處理方法來降低整周模糊度之間的線性關系。LAMBDA算法還利用矩陣分解原理將搜索過程中整周模糊度浮點的協方差進行分解以此來使Z變換后搜索過程中的協方差矩陣[QZ]盡量的對角化，以此來降低搜索的難度。

2.1 ?算法基本原理

由于在利用最小二乘法進行整周模糊度解算過程中，各模糊度間高度相關所導致的搜索橢圓過于狹長，不利于整周模糊度的解算。為了提高搜索效率，將整周模糊度未知量進行相應變換來降低相關性，使搜索橢圓更接近球體。其基本原理如下：

尋找一個[Z]矩陣滿足：[Z]中所有元素為整數;det（[Z]）=[±]1;可逆的整數變換，即變換前后參數的整數特性保持不變。變換后參數的協因數陣盡量接近對角陣。

搜索使目標函數達到最小的[z]，作為變換后的模糊度的固定解[z]反變換得到原始模糊度的固定解。

LAMBDA算法所使用的Z變換主要有：迭代算法、聯合去相關算法、高斯Z變換。

根據式（7），式（9）可以描述出搜索空間是一個[n]維的超橢球體，[χ2]與[Q-1a]分別控制其大小和形狀。為了解決由于[Qa]，[Qz]中元素相關性較高所導致的搜索橢圓被拉得過長的問題。將協方差[Qz]進行一定的處理，將其分解成一個固定的組合。使分解后的搜索方程的協方差盡量逼近對角陣，降低整周模糊度搜索的難度。

2.2 ?協方差分解算法

協方差分解方式主要分為上三角分解[5]（[UD]）與下三角分解[6]（[LDLT]），這兩類都是將對稱正定矩陣分解成單位三角矩陣與對角線矩陣之間的組合乘積。以此對協方差矩陣去相關化，降低搜索的難度。

協方差分解算法的主要步驟是通過已知的協方差矩陣先計算出對應的對角線矩陣。通過對角線矩陣，將協方差矩陣分為兩個部分，分別為上三角部分和下三角部分，再獲得單位三角矩陣。

3 ?仿真分析

為了進行整周模糊度解算仿真實驗，利用式（10）中的方式構造整周模糊度浮點解及協方差矩陣：

設置最大[n=15]，整周模糊度備選解的個數為3。

對協方差分解的兩種方式以及后續的整周模糊度解算進行仿真，結果如圖1所示。并記錄算法的運行時間以及搜索域的大小，見表1。

表1 ?整周模糊度算法搜索域與搜索時間

圖1 ?整周模糊度解算組數

通過圖1和表1可以看出，下三角分解算法的整周模糊度解算算法在搜索域大小上比上三角分解算法大，且解算速度相對較快，可以用于將來的研究。

4 ?結 ?語

協方差分解是LAMBDA算法中重要的一步，是算法中核心的一個部分。文章較為細致地闡述了在解算過程中對角線矩陣形成的兩種不同的分解算法的基本實現過程，并設計了Matlab仿真實驗。經過驗證，發現將協方差陣的對角線元素作為分解后對角陣元素的分解方式，能有效地提高整周模糊度解算的精確度以及降低搜索過程的范圍以及時間。但是，隨著整周模糊度位數的不斷增加，在解算過程中出現計算量過大的問題。需要進一步的研究來提高高維模糊度解算速率問題。

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