凸性策略在債市的應用

袁志輝 劉志龍

摘要：本文通過數學推導結合實證分析，對凸性策略的盈利來源進行了分析，并據此提出息差保護策略、凸性水平策略和綜合策略三種具體建倉策略。本文還實證對比了不同建倉策略、長短端債券配比權重調整、持有期長短、建倉門檻等不同變化對凸性策略效果的影響，以期為投資者提供參考借鑒。

關鍵詞：凸性策略? 蝶式交易? 杠鈴權重? 息差保護

基于收益率曲線凸性特征進行債券交易的方法（以下簡稱“凸性策略”）是海外機構投資者最常用的主動型固定收益策略之一，但該策略在國內市場尚未得到足夠的重視和應用。本文將對此進行分析和探討。

凸性策略簡介

凸性策略是收益率曲線交易的重要手段，其通過構造久期中性的蝶式（butterfly）交易頭寸，保證投資組合對收益率曲線水平變動的免疫，并將風險敞口置于收益率曲線的形態特征變化上。

收益率曲線的凸性特征直觀地表現為曲線的平坦/陡峭化程度。具體而言，當收益率曲線過于平坦、預期中期債券收益率相對于短期和長期會出現明顯上升時，可以采用做空中期債券、持有長短期債券的方式進行蝶式交易;反之，則可通過持有中期債券、做空長短期債券的方式進行蝶式交易。如果曲線形態變化與預期一致，則可在收益率曲線得到修復后獲取超額收益。

凸性策略的數學推導

通過對凸性策略進行數學推導，結合典型收益率曲線的形態特征，可以更好地了解該策略的盈利來源。

假設在初始時刻，判斷收益率曲線過于平坦，于是賣空1單位收益率為的年期國債，同時買入收益率分別為、的和年期國債，其中，為國債平倉時的久期，賣空數量分別為與。由于凸性策略需要對持有頭寸保持久期中性，因此有：

上述頭寸存在息差，表現為組合建倉成本（收益），即：

當收益率曲線出現所預期的修復后平倉，此時頭寸持有期限為年，，各頭寸的資本利得包含由于騎乘效應所獲得的收益，分別為：

其中為持有各期限國債的利得收入（負數為支出），為整個交易的超額收益。

在上述公式中，收益率的變動可以分為兩部分：其一是當前收益率曲線下的期限利差，其二是相同期限下的收益率變動。以為例：

由于投資組合滿足久期中性，將式（1）帶入式（8）（9）中，兩端同時除以，并令，則有：

結合圖形來看，圖1給出了一條具有典型特征的收益率曲線，其收益率向右上方傾斜，且斜率逐漸減小，對應期限利差曲線向右下方傾斜。隨著的變動，的值在圖中的線段上移動，決定息差保護正負的關鍵在于期限利差曲線的凹凸特征。由于圖中期限利差曲線向上凹，在絕大情況下。另外，值與短端頭寸的持有量相關，這取決于所具體采取的杠鈴交易策略，一般而言50-50策略、到期日加權等策略對長短端的風險暴露大致均衡，會運行到連線中端即點A附近，其具體影響將在后面實證中進一步分析。

蝶式交易的理想回報條件包括兩點，一是端的息差保護盡可能大;二是端的收益率曲線凸性變動符合預期。因此，對應蝶式交易也相應存在兩條不同的建倉邏輯。其一是息差保護策略：通過雙向交易鎖定息差保護，即不考慮收益率曲線形態變動情況下保證持有收益始終為正，此時只要收益率曲線的凸性調整幅度不足以完全抵消該息差收益，即可獲得超額收益。其二是凸性水平策略：主動對收益率曲線凸性變動進行判斷，賺取預測凸性變動的超額收益。另外還可以綜合考慮上述兩種策略進行建倉，兼顧息差保護和凸性變動。

凸性策略在中國市場的實證效果

在進行完理論分析后，下文嘗試通過實證研究解決如下幾個問題：（1）凸性交易的不同建倉策略在中國債券市場的有效性如何，應當如何選擇？（2）長短端債券權重應該如何配置？（3）持有期間對凸性交易的超額收益有何影響？（4）是否可以進一步增強凸性交易的表現？

（一）樣本與數據整理

本文以 2007年1月至2018年8月的中債國債收益率月度數據進行凸性策略的回測，數據取自Wind。圖2為部分時點的國債收益率曲線和期限利差曲線，可以發現期限利差曲線的波動在短端較為明顯，說明在此位置息差保護策略存在一定的收益空間。圖3為不同期限國債組合在樣本區間內的凸性變動，其中凸性定義為，此處取。從圖3可見，以年為單位的期限組合1-7-10、3-7-10、1-5-7、1-5-10的凸性變動幅度較大，更加有利于凸性水平策略的實施。

（二）對凸性策略有效性的實證

本文根據中國債券市場的國債收益率數據依次對息差保護策略、凸性水平策略和前兩者相結合的綜合策略進行回測。

息差保護策略：根據式（11）計算出對應組合的值，若則做陡，即做空中期債券、持有長短期債券;反之則做平。由此，保證蝶式交易的息差保護始終為正，并進一步計算蝶式交易的超額收益。

凸性水平策略：計算出對應組合的凸性，用表示，當其值大于歷史均值時做平，反之則做陡。

綜合策略：當且僅當息差保護和凸性歷史水平信息所指示的蝶式交易方向相同時進行建倉，即且組合凸性水平低于歷史均值則做陡，且組合凸性水平高于歷史均值則做平。

上述回測結果如圖4所示。

由圖4可見，除期限組合3-7-10利用息差保護策略獲得的平均超額收益為負外，其他各期限組合的蝶式交易平均超額收益率均顯著大于 0，且對應的勝率普遍較高。部分組合平均超額收益率甚至可以達到150BP左右。總體來看，凸性策略在中國債券市場具有很大的實施空間。

橫向對比來看，凸性水平策略的效果要普遍優于息差保護策略，特別是對于凸性變動幅度大、均值回歸趨勢明顯的組合，例如期限組合1-5-7、1-5-10、3-7-10、1-7-10，在凸性水平策略下的平均超額收益相較于息差保護策略，分別多出104BP、137BP、152BP和251BP，勝率也相應提高10%左右。息差保護所提供的盈利空間較預測凸性變動而言較為有限。

另外，綜合策略建倉的收益狀況最好，息差保護策略和凸性水平策略對于收益具有協同貢獻。其中期限組合1-3-5、1-3-7、1-3-10的綜合策略建倉協同性表現更好，平均超額收益和勝率較單一策略有大幅提高;而期限組合1-5-7、1-5-10、1-7-10、3-7-10的息差保護策略收益貢獻相對較小，其綜合策略的收益狀況與單獨依靠凸性水平策略相差不大。

（三）杠鈴的長短端權重配比

觀察公式（11）（12）可以發現，加大短端債券的持倉，系數取值逐漸加大。對于息差保護策略而言，當其做陡時增大將加厚蝶式交易的安全墊，相反在做平時其息差保護將減小。對于凸性水平策略來說，增大意味著對于短端收益率變動的押注在增加。

通過在[0，1]范圍內動態調整值，并重復之前的回測步驟，可得如圖5至圖7所示的實證結果。

觀察圖5中的左圖可知，在息差保護策略下，增加杠鈴交易短端債券的配比權重無法有效提高蝶式交易的平均超額收益率;觀察圖6和圖7中的左圖可知，在凸性水平策略和綜合策略下，隨著的提高，組合的平均超額收益呈現趨勢性上升，且組合的凸性變動幅度越大，平均超額收益上升斜率越大。這主要是由于短期限債券相對于長端的波動更大，更多配置短期債券在策略勝率基本穩定的情況下，可以顯著提高平均收益。實踐中，在風險可控的情況下，為獲取更高的收益，可以適當加大短期債券的配置比例。

觀察圖5至圖7中的右圖可知，各策略的夏普指數隨的變動表現出相當程度的一致性：先上升后下降，存在局部的最優點。這表明理想的蝶式策略需要平衡好長短端債券的配比。

另外，在傳統的凸性交易中，存在諸如50-50策略、到期日加權等配置策略，這些策略的理論杠鈴配比比重與實際經驗最優值是否一致？

根據50-50策略：

根據到期日加權策略：

計算可得上述兩種策略所對應的k值分別是和，將其與實證所得的最優經驗值對比，可得圖8。可以看到，息差保護策略、凸性水平策略和綜合策略所對應的經驗最優值相差不大，且與到期日加權策略給出的短端配比權重基本一致。這表明杠鈴交易的短端最優配比與長短端收益率變動的幅度相關，而與具體采用何種建倉策略關聯較小。考慮到經驗最優值可能存在過度擬合的問題，造成對該樣本外數據的適用性較差，建議蝶式交易以到期日加權策略為基準（即令k=）進行配置。

（四）持有期間對超額收益的影響

根據公式（11）（12），有，和。超額收益，可知持有期間對平均超額收益的影響主要包括兩部分。一是隨著持有期增加，系數項將會下降，從而拖累蝶式交易最終的收益。二是隨著持有期增加，利差曲線將更平穩，過度凹凸特征有所緩解。對于息差保護策略而言，持有期增加則其安全墊整體呈現下降趨勢;對于凸性水平策略來說，持有期增加使得對收益率曲線的預測更為困難，凸性非預料變動的風險加大。

如圖9至圖11中的左圖所示，隨著持有期增長，三種建倉策略下的平均超額收益均出現明顯下滑，系數項的影響相當顯著。需要注意的是，圖10的右圖中，在凸性水平策略下其夏普指數隨著持有期提高普遍下降，當持有期為1年時，部分組合的超額收益甚至全無。這表明持有期增加導致對收益率曲線凸性的預測變難，對凸性水平策略的實施有著很大的干擾，特別是對于期限為1-3-5、1-3-7、1-3-10的組合而言，本身屬于凸性變動幅度不大的組合，相關預測難度大大增加。

相反如圖11右圖所示，在綜合策略下，夏普比率有著顯著的上升。這是因為隨著持有期的增加，綜合策略中雙標準建倉的同向機會減少，但確定性增加。

因此對于息差保護策略和凸性水平策略而言，降低持有期有利于控制風險、提高平均收益。對于綜合策略而言，持有期的適度提高意味著建倉的門檻上升，有助于提高組合的收益風險比。

凸性策略的效率提升探索

（一）門檻指標的構建

在對比了不同建倉策略、杠鈴交易的長短端權重、持有期長短對超額收益的影響后，接下來本文嘗試構建指標進一步優化凸性策略的收益。

根據前文分析，綜合策略的表現整體上要優于任意單一策略，此處試圖在綜合策略的基礎上進一步提高建倉門檻，篩除掉不夠顯著的交易機會，以期獲得更為確定的超額收益。

在息差保護端，息差保護越大其抵御凸性預料外變動的能力越強;在凸性水平端，其所處的凸性水平越極端，未來凸性出現均值回歸的概率越大。因此可設置息差保護門檻系數、凸性水平門檻系數，分別對應閾值、，其中為收益率曲線凸性的平均值，為息差保護絕對值的歷史波動率，為凸度的歷史波動率。

（二）門檻指標實證

選取1、3、5、7、10年期的國債進行組合構造蝶式交易，設持有期年、，當且僅當如下條件滿足時進行建倉：

分別考察門檻系數、對超額收益的影響。令、分別為0、0.2、0.4，得到表1;令、分別為0、0.2、0.4，可以得到表2。

由表1、表2可見，增加建倉門檻后，蝶式交易的平均超額收益和夏普指數較之前普遍得到顯著提高，但與此同時可供交易的機會也在較少。從縱向對比上看，提高息差保護門檻對超額收益的影響相對較弱，部分組合平均超額收益和夏普指數一度出現短暫的回調;而提高凸性水平門檻的效果要更為顯著。另外，從提升效率（增加的平均收益或夏普比率/降低的交易頻率）上看，提高凸性水平門檻也要優于提高息差保護門檻。

（三）凸性水平策略與綜合策略的進一步對比

我們注意到綜合策略收益狀況的提高本身就是通過雙標準增加建倉門檻帶來的，那么是否可以通過在凸性水平策略中提高門檻系數以達到和綜合策略近似甚至更高水平的超額收益呢？

為此可調整凸性水平門檻，分為計算凸性水平策略和綜合策略交易頻率為10%時的平均超額收益和夏普指數，亦即對比兩策略前10%理想建倉點的最終回報狀況。

從圖12可見，在凸性水平策略中提高門檻系數確實可以達到和綜合策略近似的投資回報，部分期限組合如1-5-10、1-7-10表現甚至要優于綜合策略，這主要與組合凸性變動幅度和息差保護貢獻大小有關。但是，綜合策略的穩定性更好，特別是對于期限為3-5-7、3-7-10的中端短跨度組合而言，提高門檻系數預測凸性變動的策略會失效，此時綜合策略的表現要遠優于凸性水平策略。

主要結論

息差保護策略所提供的盈利空間較凸性水平策略而言較為有限，特別是對于凸性變動幅度大、均值回歸趨勢明顯的組合，凸性水平策略的表現更好。綜合策略的收益狀況要優于任一單一策略。

在凸性水平策略和綜合策略下，增加杠鈴交易短端債券的配比權重可以顯著提高蝶式交易的平均超額收益，而息差保護策略并無此效應。從夏普指數的角度看，各策略的長短端債券配比值均存在近似的經驗最優值，且相對水平與到期日加權策略給出的配比基本一致，建議以到期日加權為基準進行調整后再配置。

隨著持有期增加，各建倉策略下的平均超額收益均出現明顯的下滑，凸性水平策略在較長的持有期下甚至會失效。對于息差保護策略和凸性水平策略而言，降低持有期有利于控制風險、提高平均收益。對于綜合策略而言，持有期的適度提高意味著建倉的門檻上升，有助于提高組合的收益風險比。

在增加建倉門檻后，蝶式交易的平均超額收益和夏普指數普遍較之前顯著提高。從提升效率（增加的平均收益或夏普比率/降低的交易頻率）上看，提高凸性水平策略的門檻要優于提高息差保護策略的門檻。提高建倉門檻后凸性水平策略確實可以達到和綜合策略近似的投資回報，但是穩定性仍弱于綜合策略。

作者單位：恒泰證券機構投資顧問部

責任編輯：劉穎? 鹿寧寧