確定繳費養老計劃退休后期最優投資決策

王靜　伍慧玲

[提要] 考慮到很多退休者不愿意在退休時立刻年金化，選擇在未來的時刻進行年金化，以期購買到更好的年金，獲得更好的退休保障，本文在離散時間模型框架下，研究確定繳費養老計劃退休后期最優投資——年金化時刻決策問題。采用目標定位型模型，根據退休者設定的投資目標值，通過最小化實際財富與投資目標的累積差距，求出最優的投資策略。進而通過最大化退休者終身消費均值之和，求出最優化年金時刻。最后通過數值分析手段，研究風險偏好、折現率、終端偏差系數、年金價格對最優化年金時刻的影響。

關鍵詞：確定繳費養老計劃;退休后期;離散模型;年金化時刻;最優投資策略

中圖分類號：F840.67 文獻標識碼：A

收錄日期：2019年5月5日

一、引言

目前我國老齡化情況甚為嚴重，據國家統計局《2018年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2018年全國60周歲及以上人口高達24，949萬人，占總人口的17.9%，其中65周歲及以上人口16，658萬人，占總人口的11.9%7。然而，國際上通常認為當60歲以上人口占總人口的10%，或65歲以上人口占總人口的7%，這個國家就處于老齡化社會。根據這個評價標準，我國已經進入老齡化社會，且老齡化程度遠高于世界標準。在老齡化程度越來越嚴重的同時，養老金缺口也不斷增大。根據世界經濟論壇的一項分析顯示，2015年包括中國在內的8個主要經濟體養老金缺口共計超過70萬億美元，而且每年還在繼續擴大中。在這樣的背景下，如何選擇養老計劃類型以及如何將養老基金進行優化投資變得異常重要，對于維持社會的健康持續發展，緩解國家的財政壓力都有積極的影響。目前，養老計劃主要分為兩種：一種是確定收益養老計劃，一種是確定繳費養老計劃。在確定收益型養老計劃里，養老金參與者的養老權益是事先確定的，養老金的投資運營風險由雇主承擔。在確定繳費養老計劃里，參與者的繳費水平是事先給定的，在退休時獲得的投資回報取決于養老基金的投資表現，也就是說，投資過程的風險由參與者承擔。由兩種養老計劃的對比可以看出，確定繳費養老計劃將養老基金的投資風險轉嫁到參與者身上，可以緩解政府的財政壓力，有利于解決老齡化問題帶來的社會危機。因此，目前大部分國家都采取確定繳費養老計劃。

確定繳費養老計劃，以退休時刻為分界點，可以分為累積期和退休后期兩個階段。在累積期，養老計劃參與者將其工資按一定的比例交到養老基金賬戶里進行風險投資，試圖選擇最優的投資策略使得退休時刻的財富效用得到最大。在累積期，養老金參與者面臨金融市場價格的波動、通貨膨脹等各種風險。在退休時刻，在允許的前提下，退休者可以選擇將其在累積期積累的財富進行終身年金化，獲得一個終身的消費保障，也可以選擇延遲購買年金，在政府規定的強制年金化時刻之前，選擇一個合適的時刻購買終身年金。然而，Milchell and Poterba（1999），Mirer（1994）和Brown（2001）的研究都表明，雖然在退休時刻立馬進行終身年金化可以獲得一個終身保障，但絕大多數的退休者卻很少在退休時刻就主動購買年金，進行累積財富年金化，這種現象被稱為“年金之謎”。究其原因，歸納為以下三點：第一，強烈的遺產動機。退休者購買終身年金以后，一旦死亡，賬戶中的資金將不能作為遺產被后代繼承。因此，對于有遺產動機的退休者來說，退休后立刻年金化顯然是不合適的。第二，較差的身體狀況。對于身體較差的人來說，參與者預期自己的壽命將低于平均壽命，購買終身年金只能領取幾年的收益，這是不劃算的。第三，年金化后收益率較低。正如Warshawsky（1988）和Mitchell et al（1999）發現的那樣，用相同的資金投資其他金融產品相比，年金產品的回報率要低很多。投資能力較好的參與者更希望自行投資，提高年金化時的財富。確定繳費養老計劃的兩個階段重要性都是平等的，對于退休后期，因為很多退休者不愿意在退休時立刻年金化，因此研究退休后期的資金管理和年金購買是十分重要的。

目前，已經有很多學者對確定繳費養老計劃退休后期管理問題進行了深入的研究。按照優化目標不同，退休后期管理可以分為三類：第一類是最小化財富水平低于抽取消費金額的概率，代表作可以參考Milevsky and Robinson（2000）和Bayraktar and Young（2009）。Bayraktar and Young（2009）還發現推遲年金化可以得到最小破產概率，肯定了延遲化年金的作用。第二類是最大化整個退休后期的財富和消費的CARA或CRRA效用均值之和，代表作可以參考Milevsky and Young（2007）和Stabile（2006）。第三類是目標定位型模型。一些學者認為，推遲年金化的一個重要原因是退休者希望在年金化時能買到更好的產品，因此采用以目標為導向的模型。在目標定位型模型里，退休者會事先設定一系列的投資目標值，通過最小化財富與目標間的差距，找到最佳的年金化時間、投資和消費策略。由于本文采取的目標定位型模型，為了說明本文工作與現有研究的不同，突出本文創新之處，在此我們重點回顧采取目標定位型模型的退休后期最優管理問題的已有研究。Gerrard Haberman and Vigna（2004）不考慮死亡隨機率，在連續時間框架下研究了確定繳費型養老計劃的最優投資策略。該模型假定退休者所提取的消費金額為常數，并沒有遺產動機，得到了最優的投資策略。Gerrand et al.（2004）將Gerrard Haberman and Vigna（2004）的研究進行了拓展，假設消費和年金化時刻是固定的，對有遺產動機的最優策略進行討論。Gerrard Haberman and Vigna（2006）進一步研究了在死亡率隨機的情況下，固定年金化時刻的退休者的最優投資和消費策略。Dadashi（2018）同樣假設年金化時刻固定，為了最終能購買到更好的年金，退休者消費率也被限制，同時對最終年金設定最低保證以消除破產概率，然后研究最優的投資-消費問題。Gerrard H jgaard and Vigna（2012）討論了在政策允許的條件下，從退休到強制年金時刻之間，退休者可選擇的最優年金化時刻、消費和投資策略。Wolfram（2008）對選擇延遲購買年金的退休者最佳的年金化時間進行了研究，還得出若退休者具有中等風險厭惡的性質，在80歲至85歲之間年金化更合適的結論。

上述目標定位型模型，不管其模型設定如何，其共同點歸納為：（1）他們都是連續時間模型;（2）他們認為，最佳年金時刻為財富水平和財富目標值的差距以及消費水平和消費目標值的差距累積和達到最小的時刻。到目前為止，只有Lin Zeng and Wu（2019）采取目標定位型模型，在離散時間框架下研究了退休后期的最優投資策略，但他們沒有研究最優的年金時刻。然而，在何時購買年金，不管是政府部門還是個人退休者，都非常關心這個問題。與連續時間模型相比，離散模型的研究也很重要。首先，離散模型在現實生活中更加實用，因為我們不能連續地調整決策。其次，離散模型和連續模型在研究結果上有許多不同，例如，離散模型中最優投資金額與連續模型中的不完全一致等。最后，離散時間模型和連續時間模型采取的理論基礎截然不同，也就是說，我們無法借鑒連續時間模型的求解方法和步驟，去解決離散時間模型決策問題。另外，最佳年金時刻，按照正常的思維理解，應該是使得退休者終身（年金化前和年金化后）消費保障之和達到最大的時刻。鑒于上述原因以及現有的研究現狀，本文擬求解退休后期的離散時間動態多期最優投資-購買年金決策模型。

本文的創新之處在于：（1）采取目標定位型模型，首次在離散時間框架下對最優年金時刻進行了討論;（2）在目標定位模型框架下，摒棄傳統的最優年金時刻的評價標準，以最大化累積消費為目標，建立了全新的最優年金時刻的評價標準;（3）詳細分析了風險偏好、折現率、終端偏差系數、年金價格對最優化年金時刻產生的影響，結果能和年金之謎的現象吻合。

本文結構如下：第2節介紹了本文所使用的模型，第3節詳細論述如何求解最優化年金時刻，第4節進行數值分析，探討當影響因素發生變化時，最優年金時刻如何變化，然后是全文的總結。

二、模型介紹

（一）消費倍數（即風險偏好）對最優年金化時刻的影響

1、年金價格不帶附加費用。消費倍數k代表著退休者的風險偏好程度，若k取值比較小，說明退休者對退休后的投資目標值設置較低，不喜歡承受太高的投資風險。然而，退休者之所以延遲退休，是希望在退休后期通過投資活動，在最終的年金化時刻得到更好的消費保障，因此一般來說，k是大于1的。表1表明，哪怕消費倍數只有1.06的低值，退休者都不會在退休時刻立馬將其財富年金化，這個結果和年金之謎呈現的結果完全一致。另外，隨著消費倍數的增加，最優時刻向后推遲。消費倍數越高，消費者對未來消費的目標設定越高，對未來財富期待越高，喜愛風險的退休者不會在60歲年金化，獲取固定收益，更愿意自己投資。另外，年金化后收益率較低，退休者若想達到更高目標，獲取更高收益，將會推遲年金化時刻。但隨著目標繼續升高，退休者最遲愿意在68歲年金化，可能受限于身體狀況和自身的投資水平，年紀大了更愿意依靠年金保障自己的生活，因此設定過高的目標不會繼續推遲年金化。（表1）

2、年金價格帶附加費用。年金價格帶附加費用，隨著消費倍數增加，最優時刻也向后推遲，與不帶附加費用的結論一致。隨著目標繼續升高，退休者同樣最遲愿意在68歲進行年金化，設定過高的目標不會繼續推遲年金化。（表2）

將是否帶附加費用的兩種情況進行對比，帶附加費用的年金價格較高。在其他條件不變的情況下，年金價格越低，退休者越會提前購買年金。年金的低價格會讓退休者在年金化后，實現更多消費，更容易達到設定的目標，因此提前年金化。

（二）終端系數？著對最優年金化時刻的影響

1、年金價格不帶附加費用。當消費倍數k=1.2時，ε=1～6時，退休者最優年金化時刻都是在67歲;當消費倍數k=1.02時，ε=1～6時，退休者最優年金化時刻都是在60歲。這說明，年金價格較低時，無論消費倍數取較大值還是較小值，終端系數對最優年金化時刻的影響都較小。當退休者的終端系數發生小范圍變化時，其最優的年金化時刻不變。

2、年金價格帶附加費用。當k=1.2時，ε=1～6，退休者最優年金化時刻都是在67歲;當k=1.02時，最優年金化時刻見表3。（表3）

年金價格較高時，只有當消費倍數的數值較低時，終端系數的影響才會敏感一點，說明終端偏差系數對年金時刻的影響較小。消費倍數數值較大時，改變終端系數，不足以影響退休者選擇終身年金化的時刻，退休者最優年金化時刻都是在67歲。但當消費倍數數值較低時，終端系數越大，退休者對最后一期是否達到目標越看重，會推遲年金化。

將年金價格的兩種情況進行對比，較高的年金價格，會讓最優年金化時刻對終端系數更敏感一些。同時，年金價格越高，退休者越傾向于推遲購買年金。因為在年金化之前，退休者均自行投資，終端系數會對其選擇年金化時刻產生影響。

（三）折現率對最優年金化時刻的影響

1、年金價格不帶附加費用。當k=1.2時，得到表4。（表4）

消費倍數取值較高時，當折現率越高，退休者對等待未來回報的耐心越小，他就越偏向于提前購買年金。當折現率在4.17%附近進行波動時，退休者的最優年金化時刻在67歲。

當k=1.02時，無論折現率取何值，最優年金化時刻都是60歲，不敏感。消費倍數值較低，說明退休者是風險厭惡者，希望提前購買年金，而不帶附加費用的年金價格也較低，退休者很容易達成設定目標，所以會在退休時就選擇年金化。

2、年金價格帶附加費用。當消費倍數k=1.2時，我們得到表5。（表5）

表5表明，消費倍數取值較高時，當折現率越高，退休者越偏向于提前購買年金。當折現率在4.17%附近進行波動時，退休者的最優年金化時刻在67歲。當消費倍數k=1.02時，我們得到表6。（表6）

表6表明，消費倍數取值較低時，最優化年金時刻對折現率的不敏感，當折現率在4.17%附近進行波動時，退休者的最優年金化時刻在63歲。將年金價格是否帶附加費用的兩種情況進行對比，較高的年金價格讓最優化年金時刻對折現率更敏感一些。同時仍能得出結論，年金價格越低，退休者越傾向于提前購買年金。在年金化之前，退休者均自行投資，折現率的大小會對其選擇年金化時刻產生影響。

五、結語

本文研究了在離散時間模型下確定繳費型養老計劃最優的年金化時刻，采用目標定位型模型，通過最小化實際財富與目標的差距，求出了最優的投資策略。進而通過最大化退休者終身消費均值的積累和，求出最優化年金時刻。通過數值分析，證明了幾乎很少人在時刻0就立馬年金化累計財富?？隙搜舆t化年金的優勢。并對會影響年金時刻的變量進行分析，探討其敏感性。得到的相關結果如下：（1）隨著消費倍數k增加，最優時刻向后推遲，退休者最遲愿意在8時刻年金化，設定過高的目標不會繼續推遲年金化。（2）只有當k的數值較低時，終端系數的影響才會敏感一點，說明終端偏差系數對年金時刻的影響較小。當k較低時，終端系數越大，退休者越會推遲年金化。（3）當k取較大值時，折現率會對最優年金化時刻產生影響。折現率越大，退休者對等待未來回報的耐心越小，就越偏向于提前購買年金。k取值較小時，折現率不敏感。（4）將年金價格是否帶附加費率的兩種情況進行對比，較高的年金價格，會讓最優化年金時刻對終端系數和折現率更敏感一些。并且年金價格越低，越會提前買年金。

雖然本文對離散時間模型下最優年金化時刻及其敏感性進行了分析，但仍存在一些局限，比如本文提到的目標形式，會造成上方懲罰，未對沒有上方懲罰的目標形式進行討論，這也是接下來要繼續研究的方向。

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