底層柱腳連接方式不同時框架柱計算長度

王金鵬 （深圳市建筑設計研究總院有限公司合肥分院，安徽 合肥 230000）

傳統計算長度系數法由于假定較多，且部分假定不合理，導致其精度不理想。文獻[1]擯棄了傳統計算長度系數法的部分不合理假定，根據平面框架整體屈曲的特點，提出了考慮框架層間相互支援的改進計算長度系數法，并介紹了當框架左右不對稱時，采用梁柱合并的方法求解柱計算長度，計算精度很高。但實際工程中，框架左右不對稱的問題并非僅限于梁柱截面剛度的不同，或左右承受荷載的大小不同，也存在框架底層柱腳連接方式不同的情況。本文將針對這種情況，繼續運用改進計算長度系數法和梁柱合并的方法求解其整體屈曲時的各柱計算長度系數。

1 改進計算長度系數法的簡述

為便于使用本文方法，先簡單介紹改進計算長度系數法和梁柱合并的方法。如圖1所示。

框架底層柱腳均為固端，且左右兩側柱截面和受荷情況對稱，據框架各構件線剛度，記求解一元二次方程 aη2+bη+c=0，式中：

c=24x（6y+6z+45yz）-6γx2（9.12+24y+24z+45yz）

當圖1左側為有側移不對稱框架時，可作梁柱合并處理，將上、下層各柱線剛度合并相加得到各層合并后柱剛度，相應將原結構各柱的梁端約束匯總于合并后的柱端，如圖1右側所示，如此便可按前述對稱框架的方法求解合并后各層柱μ值，相應可得各層的層屈曲荷載ΣPcrj，此處便已考慮了層與層相互影響，繼而由同層各柱的相互支援的（1）式便可得到合并前各柱μ值。

由此得到的各柱μ值滿足（2）式關系。

由文獻[1]可知該方法精度良好。

2 底層柱腳連接方式不同的不對稱問題

當框架左右兩側的底層柱腳連接方式不同時，即如圖1所示，底層左側C點固端，右側C3柱腳F點改為鉸接，求解各柱μ值變得較為復雜。可利用前述方法，將C3柱的線剛度ic3乘以一個剛度折減系數β，使之等效為底層柱腳固端的線剛度為βic3的框架柱參與框架整體屈曲分析，則問題便可解決，關鍵是該折減系數如何取值，才能使等效前后其他柱μ值變化最小。

本文嘗試了兩種方案，第一種方案是將圖1右側柱腳鉸接的半榀框架取出，將其等效為柱腳固端的型式，等效前后右側上柱C4柱μ值不變，如圖2所示，這就需使等效前后框架E節點處由梁B1提供給上、下柱的約束分配比例不變。E節點處梁提供的總彈簧約束記為mE，對于有側移框架mE=6ib1，令梁向下柱分配約束為 mE1，向上柱為 mE2，即 6ib1=mE1+mE2。

圖2 等效剛度方法

解方程取正值根即可。至此，便將部分底層柱腳鉸接的問題轉換為柱腳均為固端的問題，按前述方法求解即可，所得其他柱μ值可直接使用，而對于C3柱需結合（2）式求得。該方法需要C3柱K1值足夠精確，但上述方法是取出半榀框架來分析求解η值，理論上該值不夠準確，不過經過大量試算，發現由該方案求得的各柱μ值與有限元機算所得精確值誤差不大，基本在3%以內，精度良好。

第二種方案是由原結構的梁柱線剛度比直接寫出C3柱K1值，代入方程（3）求解β值，進而求解各柱μ值，經試算，該方案精度良好，且計算量較小，故推薦使用。

3 幾種方案在實例中的驗證

以下舉部分實例，圖1中F點鉸接，若lc1=lc2=lb，lc2=lc4=lb1=lb2，ic1=ic3=2ic2，比例加載系數 α1=α2=α3=2α4。按第一種方案，先取右側底部柱腳鉸接的模型計算得 η=6.181，x=2，C3 柱 K1=0.515，代入方程（3）求解，可得折減系數β=0.161，將C3柱轉換為線剛度為βic2的底端柱腳固端的柱參與框架整體屈曲分析，按同層梁柱合并求解可得 C2 柱 μ2=1.244，μ1=μ4=1.759，返回原結構由（2）式可得μ3=1.759。對比精確解μ1=μ3=μ4=1.759，μ2=1.269，誤差為 -2.0%，較理想。按第二種方案，由原結構圖可得C3柱K1=0.333，求解得β=0.135，轉換后算得 μ2=1.248，其余各柱因遵從（2）式關系不再列出，誤差為-1.7%，精度良好。

若 lc1=lb，lc2=10lb，ic4=ic2，ic3=ic1=2ic2，ib1=ib2=3ic2，僅頂層加載，α1=α2=α3=α4，由第一種方案計算得η=0.851，K1=0.0709，β=0.0493，轉換后解得 μ2=1.1223，對比精確解μ2=1.107，誤差為+1.5%；按第二種方案，取 K1=1，解得 β=0.195，轉換后可得 μ2=1.1226，誤差為+1.4%，精度良好。因篇幅關系，其余試例不再列舉。

4 結語

從以上分析可知，針對底層柱腳連接方式不同的不對稱框架，可以將柱腳為鉸接的底層柱剛度折減后轉換為底層柱腳均為固端的框架來求解各柱μ值，其中剛度折減系數β可按文中介紹的第二種方案計算，由原結構的梁柱線剛度比直接得到C3柱上端K1值，代入方程（3）求解β，再按改進計算長度系數法和梁柱合并的方法求解各柱μ值，該方法僅需初等代數運算即可得到精度良好的解。