微分求積法求解梁的位移方程

吳 明 明

(河北工程大學土木工程學院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

功能梯度材料[1](FGM)是一類復合材料，其從一個表面到另一個表面具有連續的材料特性變化，因此消除了在層壓復合材料中界面處的應力集中。通常，FGM由陶瓷和金屬的混合物制成，陶瓷可以在熱環境中抵抗高溫，而金屬可以降低在陶瓷表面上發生的拉應力。FGM廣泛用于機械，航空航天，核能和土木工程。

微分求積法[2](Differential Quadrature Method，簡稱DQM)被認為是一種需求的離散點少而數值精度又較高的數值方法，它的基本思想是把解函數在給定離散點上的導數值用計算域內全部離散點處函數值的加權和近似地表示。以高階剪切梁為例，介紹了DQM法在結構中的應用[3]，并著重討論了DQM所得的數值解與精確解的一致性，體現了該方法實用性。

通過微分求積法進行數值求解。分析了不同的邊界條件及節點數對梁彎曲的規律。

1 基本理論

如圖1有長度L、寬度b和高度h的矩形橫截面功能梯度梁。坐標x，y和z分別指向梁的長度、寬度和高度方向，如圖1所示。根據線彈性假設，該功能梯度梁的位移場為：

(1)

其中，u為梁中面上某點的軸向位移;wb,ws分別為梁中面上某點的橫向位移的彎曲和剪切分量;f(z)為形狀函數，可確定橫向剪切應變和剪切應力沿梁厚度的分布形式。非零應變由下式給出：

(2)

2 控制方程

根據虛功原理來推導控制方程。該理論形式可以表述為：

0=δU+δW

(3)

其中，δU為虛應變能；δW為虛功。梁的應變能的變化可以表示為：

(4)

由橫向載荷q和彈性地基引起的虛功可以表示為：

(5)

將式(4)和式(5)中δU和δW代入等式(3)，并對空間變量進行積分，可得功能梯度梁的控制方程：

(6)

FGM梁的本構關系可以寫成：

σx=Q11(z)εx
σxz=Q55(z)γxz

(7)

將式(2)代入式(7)，可得到力、力矩和剪力的合力的表達式：

(8)

將式(8)代入式(6)，控制方程可以用位移(u，wb，ws)表示為:

(9)

(10)

(11)

3 微分求積法的應用

微分求積法(DQM)的本質是將函數在求解區域內的全部節點處的導數值，近似地用其相應節點處的函數值的加權和來表示，也就是說我們可以把微分方程轉化為一組用節點處的函數值作為未知量的代數方程組，進而求解該代數方程組，即可得微分方程的數值解。例如將控制方程式(9)進行DQM離散，可轉化為代數方程組：

(12)

4 數值算例與討論

選用金屬和陶瓷合成的功能梯度材料，以驗證現有理論在解決簡支FGM梁的彎曲變形問題時的準確性。上部為鋁和下部為氧化鋁材料組成的FGM梁。鋁的材料特性為Em=70 GPa，νm=0.3，氧化鋁的材料特性為Ec=380 GPa，νc=0.3。為方便起見，使用以下無量綱形式：

(13)

4.1 不同節點個數時的彎曲結果比較

為了說明DQM法求解高階剪切變形梁彎曲力學行為的有效性和準確性，取節點數為不同值時梁橫向位移的數值解與精確解進行了比較，在兩種L/h和不同梯度因子p變化時的橫向位移如表1所示。可以看出與參考文獻[4]中的結果非常接近，誤差非常小，這說明該方法有很高的精度，是一種有效的數值方法。

表1 不同節點數值下的橫向位移變形對比

4.2 不同邊界條件的彎曲結果分析

為了說明不同邊界條件對均勻載荷下FGM梁彎曲變形的影響，我們給出了三種不同邊界條件下梁的橫向位移(見圖2)。簡支條件和固支條件下梁的位移呈對稱分布，一端簡支一端固支時梁的最大位移沒有在梁的中心，表明通過DQM得到的數據很好的體現了梁的撓度變化規律。

5 結語

1)本文建立了各種高階剪切變形梁理論，用于FGM梁的彎曲。用微分求積法求解了梁的彎曲問題的計算公式。

2)通過數值算例的分析比較體現了微分求積法具有較高的計算效率和計算精度，用了很少的節點得到較好的結果，是一種較好的計算方法。