基于U型統(tǒng)計(jì)量的泊松過(guò)程參數(shù)變點(diǎn)檢驗(yàn)

范梓淼, 田夢(mèng)琴

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830052)

引 言

變點(diǎn)問(wèn)題是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的熱門(mén)研究方向，在金融、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域等方面有廣泛地應(yīng)用。該問(wèn)題源于質(zhì)量檢測(cè)與監(jiān)控?，F(xiàn)今，變點(diǎn)的應(yīng)用不再局限于工業(yè)質(zhì)量的檢測(cè)中，更廣泛地被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域。[1]例如，在醫(yī)學(xué)中，心電圖韻律的檢測(cè)及流行病中傳染病的傳染率檢測(cè)；計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中，圖像識(shí)別和圖形邊界的判斷等都依賴于變點(diǎn)的發(fā)展使用。另外，在生態(tài)環(huán)境和突發(fā)災(zāi)難方面，變點(diǎn)研究方法也發(fā)揮著重大作用。因此對(duì)變點(diǎn)問(wèn)題的深入研究有著重大意義。

泊松過(guò)程由法國(guó)數(shù)學(xué)家Poisson Simeon-Denis首先提出的，是一個(gè)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散隨機(jī)過(guò)程，是記錄隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)累加的獨(dú)立增量過(guò)程[2]。泊松過(guò)程不僅是作為計(jì)數(shù)過(guò)程的重要隨機(jī)過(guò)程模型，也是重要隨機(jī)過(guò)程的特例，且通過(guò)泊松過(guò)程可以構(gòu)造其他獨(dú)立增量過(guò)程，所以其在隨機(jī)過(guò)程中占重要位置。研究泊松過(guò)程變點(diǎn)問(wèn)題，也為進(jìn)一步研究隨機(jī)過(guò)程奠定了一定基礎(chǔ)，是有意義的。本文基于泊松過(guò)程，采用U統(tǒng)計(jì)量方法研究參數(shù)變點(diǎn)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

U統(tǒng)計(jì)量是由W.Hoeffding于1948年引入統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中的，它被廣泛地應(yīng)用于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中。繆柏其、魏登云通過(guò)U統(tǒng)計(jì)量研究了刻度參數(shù)變點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)推斷[3-5]；Horváth通過(guò)U統(tǒng)計(jì)量討論了分布函數(shù)的變點(diǎn)問(wèn)題[6]；Cs?rg?,M，Orasch等在變點(diǎn)問(wèn)題研究的其他應(yīng)用中都使用了U統(tǒng)計(jì)量[7]。

U統(tǒng)計(jì)量的定義為：設(shè)X1,X2,…,Xn為獨(dú)立隨機(jī)變量，φ(x1,x2,…,xm)為其某一對(duì)稱(chēng)函數(shù)，mn。則以φ(x1,x2,…,xm)為核構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量

稱(chēng)為U統(tǒng)計(jì)量。

1 泊松過(guò)程參數(shù)變點(diǎn)模型

X1,X2,…Xτ0～P(λ1)，X(τ0+1),…Xn～P(λ2)

(1)

其中P(λ)為參數(shù)λ的泊松過(guò)程。

關(guān)于泊松過(guò)程變點(diǎn)的問(wèn)題可以化為如下假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題:

H0:λ1=λ2vsH1:λ1≠λ2

(2)

2 U統(tǒng)計(jì)量法

為敘述方便，首先給出以下定義

設(shè)X1,X2,…,Xmi.i.d～F，Y1,Y2,…,Yni.i.d～G，

對(duì)于對(duì)稱(chēng)函數(shù)φ(x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn)，定義

φij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj)=E[φ(X1,X2,…,Xm;Y1,Y2,…,Yn)|X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj]，

σij2=Varφij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj)，1im，1jn。

定理1 若X1,X2,…,Xn為來(lái)自泊松過(guò)程的獨(dú)立隨機(jī)變量，定義

若k滿足

(3)

為了證明定理1，需指出以下引理。

引理1[8]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn，i.i.d.～F，Var(X1)<，φ(x,y)為R2上的二元可測(cè)函數(shù)，且|φ(x,y)|bEφ(Xi,Xj)=0,i≠j。

則存在常數(shù)C>0，對(duì)?ε>0，當(dāng)m充分大時(shí)，

引理2[8]設(shè)X1,X2,…,Xni.i.d～F，φ(x,y)為R2上的二元可測(cè)函數(shù)，且

|φ(x,y)|b，Eφ(Xi,Xj)=0,i≠j，Eφ(Xi,Xj|Xi)=0。

設(shè)Un是以φ(x,y)為核的U型統(tǒng)計(jì)量，則對(duì)?ε>0，δ>0，當(dāng)n充分大時(shí)，有

由Uk的定義知

-φ01(Xj1)-φ01(Xj2)+φ10(Xi1)+φ10(Xi2)+φ01(Xj1)+φ01(Xj2)]

?U1+U2

定理2 若n和k滿足定理1的條件(3)，則

證明:

-φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ12(Xi1;Xj1,Xj2)+φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ02(Xj1,Xj2)-φ10(Xi1)-φ10(Xi2)

-φ01(Xj1)-φ01(Xj2)]

-φ12(Xi1;Xj1,Xj2)]

由φ(Xi1,Xi2;Xj1,Xj2)定義知，|φ(x,y)|

∴當(dāng)Xk+1,Xk+2,…,Xn給定時(shí)，由引理2可得，

同理，當(dāng)X1,X2,…,Xk給定時(shí)，

由引理1

U14和U15符合引理2條件，所以有，

∴存在c(ε)，使得

由定理1條件知，當(dāng)n充分大時(shí)，上述不等式右邊小于n-2，由Borel-Cantelli引理知，該定理成立。

其中c>0為任一常數(shù)。

引理4[8]若{Z(t),t≥0}為一平穩(wěn)高斯過(guò)程，且

ρ(τ)=E[Z(t)Z(t+τ)]=1-|τ|+ο(|τ|),τ→0

定理1證明:

由定義知

設(shè){B(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行如下運(yùn)算，有

由引理4和定理?xiàng)l件，有

作高斯過(guò)程Z(t)=B(t)-B(t-1)，易知Z(t)為平穩(wěn)過(guò)程，

EZ(t)=0

及

∴由引理5，可得

綜上，

該定理給出了檢驗(yàn)假設(shè)模型(2)的方法，假設(shè)給定顯著性水平為α。由

exp{-2e-x}=1-α，

解得

那么當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，拒絕原假設(shè)，也就是接受有變點(diǎn)。

本文構(gòu)造適應(yīng)于泊松過(guò)程的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并證明了該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布為第一型極限分布。如果令k從小到大增加，則|Uk|會(huì)增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)變點(diǎn)位置τ0時(shí)，|Uk|應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)最大值；如果k繼續(xù)增大，|Uk|又會(huì)減小，因此，參數(shù)變點(diǎn)位置的估計(jì)可選取使得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量最大的點(diǎn)作為。

3 結(jié) 論

變點(diǎn)分析理論在科學(xué)研究和實(shí)踐應(yīng)用等方面都有著快速的發(fā)展。變點(diǎn)問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)具體的背景，對(duì)變點(diǎn)做出估計(jì)，并對(duì)估計(jì)量的性質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。本文在泊松過(guò)程模型下，對(duì)其參數(shù)的變點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，在存在變點(diǎn)的情形下，對(duì)變點(diǎn)位置做出了估計(jì)。對(duì)深入研究泊松過(guò)程有一定的幫助。