剩余類環(huán)Zn可分式化為域的判定

莊 穎, 張孝金, 朱子陽

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京 210044)

引 言

分式化和局部化是交換代數(shù)中重要的工具。對于一個交換環(huán)，考慮它在某個乘法閉子集下的分式環(huán)的結(jié)構(gòu)如何。在[1]中提到了給定環(huán)上分式環(huán)的結(jié)構(gòu)與其對應(yīng)的乘法閉子集的包含關(guān)系是有關(guān)的，利用這個想法，我們對一類性質(zhì)比較好的環(huán)進(jìn)行分析。本文對Zn的分式環(huán)進(jìn)行研究，我們得到并證明了Zn可分式化為域當(dāng)且僅當(dāng)存在素?cái)?shù)p整除n且p2不整除n，并且其分式環(huán)的結(jié)構(gòu)是與n有關(guān)的。更多關(guān)于分式環(huán)的研究參見[2-4]。

本文中的環(huán)均為具有單位元的交換環(huán)；環(huán)同態(tài)均保持加法、乘法和單位元；環(huán)A的乘法閉子集S是一個包含單位元而且在A中乘法封閉的子集；環(huán)A對一個乘法閉子集S的分式環(huán)記為S-1A。

1 預(yù)備知識

首先對乘法閉子集與零因子之間的關(guān)系進(jìn)行討論。為了使討論有實(shí)際意義，我們規(guī)定元素0不能在乘法閉子集S里面。

命題1.1[5]設(shè)A是有零因子的環(huán)，如果A的一個乘法閉子集S中不含零因子，則S-1A中必含零因子。

命題1.2[1]設(shè)環(huán)同態(tài)g：A→B使得：

(1)任意t∈T，g(t)是B中的單位；

(2)由g(a)=0可以推出存在u∈T，使得au=0；

(3)B中的任意元素形如g(a)g(t)-1，其中a∈A，t∈T；

那么存在唯一的同構(gòu)h：T-1A→B，使得g=hf，這里f：A→T-1A。

命題1.3 設(shè)A環(huán)，假如存在乘法閉子集S使得S-1A為域，則對任意乘法閉子集T?S，有域的同構(gòu)S-1A?T-1A。

證明：根據(jù)命題1.2，取B=S-1A，g(a)=a/1。由于S-1A是域，命題1.2條件(1)必然成立。(2)、(3)可直接驗(yàn)證。

從命題1.3可以看到，假如A可以分式化為域，則必定存在一個乘法閉子集鏈：

Si:S1?S2?…?Sn?…，

定義1.4 設(shè)a為環(huán)A中的零因子。稱集合A(a)={x|ax=0,x∈A}中的元素為a的伴隨零因子。規(guī)定環(huán)A的一個乘法閉子集S的伴隨集為A(S)=∪s∈ΛA(s)，其中Λ是S中所有零因子所組成的集合。

對于Zn而言，其乘法閉子集S的伴隨集有如下的性質(zhì)：

命題1.5 設(shè)A=Zn為n階剩余類環(huán)，S是一個乘法閉子集，則(i)A(S)∩S=?；(ii)A(S)是Zn的理想。

證明：(i)如果存在x∈A(S)∩S,則有sx=0∈S,這與0?S矛盾；

(ii)對任意a、b∈A(S),存在s、t∈S使得sa=tb=0，所以有st(a-b)=0,因此a-b∈A(S)；對任意r∈A(S),sra=0，因此ra∈A(S)。所以A(S)是Zn的理想。

2 主要結(jié)論

為了給出主要的判定定理，我們需要如下幾個引理：

引理2.1 對于任意正整數(shù)n以及正整數(shù)sn，存在正整數(shù)k，使得

證明：由于有

因此根據(jù)Euler定理[6]，命題成立。

引理2.2 設(shè)素?cái)?shù)p整除n，則S=Zn<[p]>是Zn的一個乘法閉子集，且有環(huán)同構(gòu)S-1Zn?Zn/A(S)?Zk，其中k=n/|A(S)|。

證明：注意到<[p]>是Zn的一個極大理想，所以S是一個乘法閉子集。

下證第1個同構(gòu)。定義映射f：Zn→S-1Zn，f([n])=[n]/[1]，f顯然是同態(tài)。

第二個同構(gòu)是顯然的。

推論2.3 (Zn<[p]>)-1Zn是域當(dāng)且僅當(dāng)A(Zn<[p]>)是極大理想。

至此，我們已經(jīng)可以給出一些特殊的剩余類環(huán)是否可以分式化為域的斷言：

推論2.4Zq不可通過分式化成域，其中q=pk，p是素?cái)?shù)，k≥2。

證明：由于Zn有唯一的極大理想<[p]>，根據(jù)命題1.1和推論2.3即得。

更一般地，下面給出Zn可分式化為域的充分必要條件。

定理2.5Zn可分式化為域當(dāng)且僅當(dāng)存在素?cái)?shù)p整除n且p2不整除n。

而Si是不含<[pi]>的最大乘法閉子集(由命題1.3，我們只需要討論這類閉子集)，根據(jù)引理1.5(i)，Α(Si)?<[p]>。又由于

所以A(Si)是<[pi]>的真子集。因此Zn的任一極大理想都不可能是某個乘法閉子集的伴隨集，由推論2.3，Zn不可能分式化成域，與條件矛盾。

充分性。由于<[p]>是極大理想，則為素理想，故取S=Zn<[p]>為乘法閉子集，下證A(S)=<[p]>。對任意[x]∈A(S)，總存在S中的元素[m]?<[p]>，使得[x][m]=[0]∈<[p]>。因此有[x]∈<[p]>。另一方面，對任意[y]∈<[p]>，由于p2不整除n，取

有

故[y]∈ΑA(S)。由推論2.3，Α(S)是極大理想，因此S-1Zn是域。

3 例 子

假設(shè)Zn是n階剩余類環(huán)，那么

1.當(dāng)n=12時(shí)，取S={[1]，[4]}，不難計(jì)算A(S)=<[0]>,<[3]>,<[6]>或<[9]>是Z12的一個極大理想，因此Z12可分式化為域，且由引理2.2可以確定S-1Z12?Z3。

2.當(dāng)n=36時(shí)，Z36的極大理想只有<[2]>和<[3]>?？梢则?yàn)證不存在乘法閉子集S，使A(S)=<[2]>或<[3]>。因此不可分式化為域。