平面閉曲線流幾何演化性質的研究

丁丹平, 程永婷

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮江 212013)

1 背景與問題

基于物理現象和現實問題的需要，曲線和曲面受外力的影響產生相應流的性質得到愈來愈多的關注和研究。其中收縮曲線流是其典型問題之一。即設X(s,t):[a,b]×[0,T]→R2是一族平面簡單閉曲線，X0(s)=X(s,0)是初始曲線，則收縮曲線流定義為：

(1)

其中κ是曲線上點(s,t)處的高斯曲率，N是對應內法向量。1984年，Gage Hamilton證明當初始曲線為凸的平面簡單閉曲線時，則在演化過程中曲線流(1)將保持凸的，并在有限時間內收縮成點[1]。1986年，Gage[2]討論了上述平面曲線收縮流(1),得出了如果M是嵌入在平面中的凸曲線,則熱方程將縮小到一個點,在某種意義上,曲線保持凸起并隨收縮而變成圓形。

(2)

(3)

其中L，N和κ分別是長度，單位法向量和曲線的曲率。證明了平面閉凸曲線在演化過程中始終保持凸起，當減小其長度并保留閉區域時，曲線在演化過程中變得越來越圓，最后隨著時間t變為無窮大其收斂到C度量中的有限圓。MIKULA K等也做了類似的工作[9-11]。

本文主要考慮如下簡單閉曲線伸縮流X(s,t):S1→R2

(4)

其中T單位切向量，N單位內法向量，X0(s)是t=0時給定的平面簡單閉曲線。

切線、法線、曲率、角度、弧長和面積由標準方法定義，即

2 若干幾何量的演化控制方程

直接計算：

曲線流(3)對應的度量g、角度θ、弧長L的演化控制方程(詳見[8])，即：

進一步計算，

故

(5)

(6)

故

(7)

又因為

可得

再由(6)得到曲率κ的演化控制方程

3 弧長、面積和曲率的有界性

由(5)、(6)、(8)可知L,A,κ的演化控制方程不依賴Xt在切線上的分量。此外，我們由曲線的局部幾何性質約束曲線流的形變,即β應該是曲率函數(詳見[6])。假設Xt=X(.,t)是一族C2經典解曲線流，?t∈[0,t′)(t′<)，考慮α=0這一形式，即

(7)

引理3.1 假設X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

-2πMLt-2πm。

證明：因為β(κ)是光滑函數，所以mβ(κ)M，則有-Mκgds-βκgds-mκgds，即：-2πMLt-2πm。

引理3.2 假設X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解,如果βκ

證明：

因為β>0、βκ>0，那么

引理3.3 假設X(s,t)是(8)的解，那么曲線長度的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

證明：

因此曲線長度的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

引理3.4 假設X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

-ML(t)At-mL(t)

證明：

即：-ML(t)At-mL(t)。

引理3.5 假設X(s,t)是一族具有凸初值條件曲線(8)的解，如果β>dκ，那么At區間[0,t′)上單調遞減。

證明：

因為β>0、βκ>0、βκκ>0，

那么

與引理3.2類似，我們用反證法可以得出如果β>dκ，那么At在區間[0,t′)上單調遞減，即面積的變化速度在區間[0,t′)是遞增的。

引理3.6 假設X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解，那么曲線面積的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

證明：計算

因此曲線面積的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

因為

引理3.8 假設X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解，那么絕對總高斯曲率的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

證明：計算

所以絕對總高斯曲率的變化速度在區間[0,2π]上是均勻的。

引理3.9 假設X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

證明：因為β(κ)是光滑函數，所以β(κ)M。定義

這里q是f(x)=|x|的分段光滑凸近似，

那么

因為βκ>0，且q的凸性得到qκκ<0，我們有qt(t)-[q(κ)-κqκ(κ)](βκg)ds，

同時可以得到:

0q(x)-xq′(x)

因為

β(κ)M,且[q(κ)-κqκ(κ)]≥0，

因此

有

4 曲線行進的距離

在本節中將引用[6]中的部分引理，以此證明曲線演化速度是有限的。

對于子集S?R2，令Nδ(S)表示δ-閉鄰域，定義一個點(R2中的點)到曲線的符號距離為：

令

d(t):=d(p,Xt)

定理4.1 假設p是R2中的一點，如果C1βκC2,那么Xt是有限的。

eC1t+d(0)≥d(t)≥eC2t+d(0)。

其次，考慮點p在Xt內，此時κ(q(t))詳見[6]引理4.1.2)。

則dC1d′(t)=-βdC2，那么C2C1。即：

eC2t+d(o)d(t)eC1t+d(o)。

綜上，Xt是有限的。