船舶艉軸承剛度和螺旋槳陀螺效應對軸系回旋振動特性影響的分析

李小軍，朱漢華，范世東，鄭良焱

（武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063）

0 引 言

船舶軸系上旋轉質量的不平衡離心力，以及來自不均勻伴流場、作用在螺旋槳上的流體激振力將使軸系產生回旋振動?；匦駝訃乐貢r將導致軸系運行不穩定，甚至影響船舶航行安全[1]。

一般滑動軸承的水平方向的剛度相對于垂直方向要低一些。隨著船舶的大型化，船體尾部剛度逐漸下降，而螺旋槳質量和轉動慣量卻比較大。后艉軸承的位置比較特殊，起著支撐艉軸和螺旋槳的作用，其承受著來自螺旋槳劇烈的動載荷作用，工作條件惡劣，潤滑狀態不穩定，載荷呈邊緣效應，甚至導致干摩擦，這些都會引起總支承剛度的變化[2]。因此對于大型低速船舶，為了保證軸系運轉正常和船舶航行安全，進行尾軸承剛度各向異性下的軸系回旋振動研究是有必要的。

目前對于軸系回旋振動的研究，由于資料的缺乏，以及軸承剛度的難測性，大多是建立在剛性軸承、或者軸承剛度各向同性的基礎之上的，而未將軸與軸承作為“柔性軸-柔性支撐”來進行研究；還有學者將其退化為橫向振動進行研究，而忽略了螺旋槳在轉子結構中產生的陀螺效應[3]。

陳之炎等[4]對回旋振動的機理進行了詳細的研究，并從理論上討論了支承剛度各向異性的情況。王磊等[5]借助有限元軟件，分析了螺旋槳陀螺效應、應力剛化效應和旋轉軟化效應等對回旋振動的影響。

本文以某TEU集裝箱船的推進軸系為研究對象，借助于有限元軟件ANSYS，計入螺旋槳的陀螺效應，分析船舶推進軸系后艉軸承各向異性時回旋振動的特性，包括其固有頻率、坎貝爾圖臨界轉速和回旋振動響應。

1 考慮陀螺效應的軸系振動方程

根據彈性力學，對于軸系這樣的多自由度彈性系統，其通用動力學運動方程為：

式中：［M］、 ［C］和 ［K］分別代表質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；｛u¨｝、 ｛u˙｝和 ｛u｝分別代表加速度向量、速度向量和位移向量；｛F｝代表廣義外力。

由于船舶螺旋槳的質量和慣量都比較大，會對軸系回旋振動產生較大影響，因此在軸系回旋振動的計算中需要考慮螺旋槳的陀螺效應。

當軸承各向同性時，螺旋槳的陀螺力矩：

式中：Jp為極轉動慣量，Jd為徑向轉動慣量，j0為轉動慣量比為頻率比可知，陀螺力矩包含2項為哥氏慣性力矩為牽連慣性力矩。陀螺力矩為正值時，其方向與轉軸旋轉方向相反，減少了軸系的彎曲變形量，相當于軸的彎曲剛度變大了，軸系的固有頻率因此增加；反之，則使軸系的固有頻率下降。

當軸承支承剛度各向異性時，其陀螺力矩為：

式中：x方向為軸線方向為z方向的轉角速度為z方向的轉角加速度；同理為y方向的轉角速度為y方向的轉角加速度。

式中：［Ggyr］為陀螺效應矩陣，主要取決于自轉角速度ω，與公轉角速度Ω無關[6]。［］B為旋轉阻尼矩陣，在低轉速下影響較小，在本文中不計入。

在有限元軟件ANSYS的固定坐標系中，計入螺旋槳陀螺效應后的轉子的動力方程為：

2 分析模型

2.1 軸系主要參數

本文采用的研究對象是某TEU船推進軸系，軸系從主機至螺旋槳全長47.763 m，中間軸軸徑為795 mm，艉軸外徑975 mm，內徑330 mm，含三個中間軸承和一個前艉軸承、一個后艉軸承。螺旋槳為6葉定距槳，根據Jasper給出的計算公式，螺旋槳附連水的質量、極轉動慣量和徑向轉動慣量系數分別取1.1、1.25和1.5，得螺旋槳附水質量為120 353 kg，附水極轉動慣量為454 250 kg·m2，附水徑向轉動慣量為 272 550 kg·m2。

2.2 模型建立與簡化

（1）建模時為了盡可能模擬船舶推進軸系的狀態，同時考慮螺旋槳的陀螺效應，選用beam188單元對軸段進行模擬，對于軸段上的聯軸器，通過設置梁的截面來模擬。

（2）螺旋槳的槳轂部分，通過適當延長尾軸長度來模擬。螺旋槳及附連水的質量和轉動慣量較大，采用mass21質量單元，施加在螺旋槳的幾何中心位置。

（3）對于徑向軸承，采用combine14彈簧單元進行模擬，在每個支撐位置的垂直和水平方向分別設置一個彈簧單元。彈簧的一端與軸系上的軸承對應節點相連，另一端設置為固定端。

（4）由于進行回旋振動分析，因此對彈簧單元的固定端施加全約束，對主機端的節點約束其全部自由度，約束軸系在UZ和ROTZ上的自由度[7]。

簡化后的軸系模型如圖1和圖2所示。

圖1 軸系有限元模型（顯示單元） Fig.1 Finite element model of shafting (unit displayed)

圖2 軸系有限元模型（顯示約束）Fig.2 Finite element model of shafting(constraints displayed)

3 計算結果分析與討論

徑向軸承的支承剛度是軸系回旋振動的重要影響之一，它是由若干因素決定的，例如軸承結構、軸承材料、軸承間隙、油膜等，所以精確測量支承剛度是很困難的。

在船舶軸系實際運轉中，滑動軸承垂直方向上的剛度要比水平方向上的剛度值大，軸的中心環繞著的旋轉中心的軌跡是一個橢圓而不是一個圓形，因此在回旋振動時可能出現水平和垂直方向上兩個臨界轉速[7]。但是其差距并不大，為研究后尾軸承水平方向剛度值單獨變化對回旋振動影響，在本文中將兩個方向上的剛度差距放大至一個數量級，以便觀察其對軸系振動影響的變化規律。

由于篇幅有限，在本文以下的研究中，用剛度符號①代指后艉軸承剛度特性為水平剛度4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×108/N·m-1，用剛度符號②代指后艉軸承剛度為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1，用剛度符號③代指后艉軸承剛度為水平剛度 4.6×109/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1。其他軸承各方向上的剛度為定值，均保持水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1。

3.1 固有頻率計算

由于引入了螺旋槳的陀螺效應，采用QR阻尼法，所得的特征值為復數，其虛部為進動（回旋）頻率，實部為衰減系數，且特征值成對出現，對應正回旋和逆回旋的固有頻率。按照上面的代指規則，依次改變后艉軸承剛度，分別在計入陀螺效應和不計入陀螺效應這兩種情況下進行模態分析，得到其前三階正逆回旋固有頻率，如表1和表2所示。

表1不計陀螺效應時正逆回旋固有頻率Tab.1 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration without considering the gyroscopic effect

表2計入陀螺效應時正逆回旋固有頻率Tab.2 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration considering the gyroscopic effect

得到不同剛度下各階回旋振動在計入（不計入）螺旋槳陀螺效應時的相對變化量，如表3所示。

對數據進行處理，采用以下公式：

表3相對變化量Tab.3 The relative change amount

由表1-3可知，不計入陀螺效應時，回旋振動便退化為橫向振動。當后尾軸承垂直方向的剛度與水平方向剛度相同時，軸系會出現兩個成對（共軛方向）的回旋振動固有頻率，其值大小相同；當后尾軸承垂直方向的剛度與水平方向剛度不相同時，例如保持垂直方向剛度不變，當水平方向的剛度單獨降低，則水平方向上對應的回旋振動固有頻率降低，即相應臨界轉速降低，而垂直方向上的回旋振動固有頻率不變化。這說明，不計陀螺效應時，軸承某一方向上的剛度變化只會影響到該方向上橫向振動固有頻率（臨界轉速），而不會影響其他方向。

計入螺旋槳陀螺效應時，相較于不計入螺旋槳陀螺效應（橫向振動）而言，當水平方向剛度降低時，逆回旋固有頻率會在水平橫向振動固有頻率的基礎上進一步降低；正回旋各階固有頻率會略微提高，但是其相對變化量與逆回旋各階固有頻率的相對變化量大小相近。這說明螺旋槳的陀螺力矩在正回旋（正進動）時提高了臨界轉速，在逆回旋（反進動）時降低了臨界轉速，且其對正逆回旋的影響相當。

比較上面后艉軸承剛度各向同性與各向異性兩種情況，發現當后艉軸承剛度各向異性時，計入陀螺效應與不計入陀螺效應的相對變化量很小，即此時螺旋槳的陀螺效應遠遠沒有各向同性時顯著。再分析公式（2）和公式（3），推斷這可能是由以下兩個因素造成的：

（1）根據公式（2），支承各向同性時陀螺效應包含科氏力矩（由自轉角速度決定）和慣性力矩JdΩωθ（由公轉角速度和自轉角速度決定）。ANSYS中陀螺效應是建立在高速軸的基礎上，即假定轉子自轉角速度遠遠大于公轉角速度，因此其陀螺力矩主要是由轉子自轉角速度決定的。而本文中研究對象為大型低速集裝箱船，其軸系轉速較低，而公轉角速度有可能與自轉角速度處于同一數量級，甚至更大，因此其牽連慣性力矩在陀螺效應中所作貢獻不可以忽略。根據可以判斷ANSYS在軸承各向同性時所計算的陀螺效應要比實際的陀螺效應大。

（2）根據公式（3），當軸承剛度各向異性時，其相互垂直兩個方向的陀螺力矩主要取決于軸系自轉角速度 ω、轉角速度和轉角加速度而本文中軸系自轉角速度很低，因此陀螺效應影響不大。

3.2 坎貝爾圖計算

通常在船舶軸系回旋振動計算中，由于伴流場的激勵特性，一般只需要求出軸頻、葉頻和倍葉頻的正逆回旋振動臨界轉速就可以了[8]。改變軸系的自轉角速度，分別畫出剛度①、剛度②和剛度③的坎貝爾圖，如圖3-5所示。

圖3剛度①的坎貝爾圖 Fig.3 Campbell diagram of stiffness①

圖4剛度②的坎貝爾圖Fig.4 Campbell diagram of stiffness②

由圖3-5可知，隨著轉速的提高，在陀螺效應的作用下，軸系各階正回旋臨界轉速逐漸提高，逆回旋臨界轉速逐漸降低，這與理論相符。

當后艉軸承剛度由水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度4.6×109/N·m-1變化為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×108/N·m-1時，其正逆回旋各階臨界轉速均降低，但是此時其正逆回旋線仍在零轉速（橫向振動）處重合；當后艉軸承剛度由水平剛度4.6×109/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1變化為水平剛度 4.6×108/N·m-1，垂直剛度 4.6×109/N·m-1（即水平方向剛度單獨變化），其逆回旋線降低，而正回旋線變化不大，此時其正逆回旋臨界轉速線在零轉速（橫向振動）處不重合。

圖5剛度③的坎貝爾圖Fig.5 Campbell diagram of stiffness③

3.3 臨界轉速計算

由于該船軸系的額定轉速為104 r/min，即10.888 5 rad/s，在軸系啟動到額定轉速這段范圍內，有可能出現葉頻和倍葉頻的臨界轉速，通過坎貝爾圖計算得到其前三階正逆回旋的軸頻、葉頻和倍葉頻的臨界轉速，如表4所示。

表4 前三階正逆回旋臨界轉速（rad/s）Tab.4 Critical speed of first three forward and inverse whirling vibration(rad/s)

由表4可知，上面三種剛度下，在該船額定轉速范圍內，均不會經過軸頻所對應的臨界轉速，但是會經過葉頻和倍葉頻所對應的臨界轉速。不管是葉頻還是倍葉頻，當軸承水平方向上的剛度單獨從K1降低到K2時，逆回旋的臨界轉速也隨之降低，介于K1和K2對應的臨界轉速ω1和ω2之間，接近ω2；正回旋的臨界轉速略微降低，也是介于K1和K2對應的臨界轉速ω1和ω2之間，接近ω1。

3.4 振動響應評估

螺旋槳在船尾不均勻伴流場中運轉時，螺旋槳受水動力以葉頻為基頻的激振力和激振力矩作用，通過軸承傳遞給船體，這是軸系振動的主要原因。在該節中，采用的正弦激振力為8.45 kN，橫向施加在螺旋槳對應的節點上。

通過上一節的分析發現，這三種剛度下的軸系一階固有頻率均在10 Hz以下，選定強迫振動的頻率范圍為0~10 Hz，仍然選取與上節相同的三種剛度，進行諧響應分析。選取螺旋槳、后尾軸承、前尾軸承這幾個具有代表性的位置，分析其受力方向的最大振動響應位移，其結果如表5所示，幅頻曲線如圖6-8所示。

表5軸系各關鍵位置最大位移（mm）Tab.5 Maximum displacement of the key positions(mm)

從表5和圖6-8可以看出，在一定軸承剛度下，軸系的振動響應位移大致從螺旋槳至推力軸承呈遞減趨勢，即螺旋槳處振動位移響應最大。一般情況下，軸承某方向上的剛度越大，則該方向的振動響應位移越小。

軸承剛度各向異性時，例如當軸承水平方向上的剛度從K1降低到K2時，在水平方向的激勵下，該方向上的最大響應位移ζ也隨之增大；而在其相互垂直的方向上產生的位移相對來說較小，可忽略不計。當在垂直方向施加同樣的激勵時，垂直方向上最大位移響應略小于K1對應的最大位移響應ζ1，這需要進一步探討。

圖6剛度①的幅頻曲線Fig.6 The Amplitude-Frequency curve of stiffness①

圖7剛度②的幅頻曲線Fig.7 The Amplitude-Frequency curve of stiffness②

圖8剛度③的幅頻曲線Fig.8 The Amplitude-Frequency curve of stiffness③

4 結 論

本文以轉子動力學為基礎，分析了公式法與ANSYS有限元法在計算陀螺效應時的異同，建立了某船舶推進軸系的有限元模型，并在后艉軸承剛度各向同性和各向異性的情況下，分析了其在額定轉速下的回旋振動固有頻率，得到軸頻、葉頻和倍葉頻的臨界轉速，以及對振動響應做出了分析與評估。其結論如下：

（1）不計陀螺效應時，軸承某一方向上的剛度變化只會影響到該方向上橫向振動固有頻率（臨界轉速），而不會影響其他方向。計入陀螺效應時，螺旋槳的陀螺力矩在正回旋（正進動）時提高了臨界轉速，在逆回旋（反進動）時降低了臨界轉速，且其對正逆回旋的影響相當。有限元軟件ANSYS在后艉軸承各向同性時計算陀螺效應與實際有一定偏差。

（2）隨著轉速的提高，在陀螺效應的作用下，軸系各階正回旋臨界轉速逐漸提高，逆回旋臨界轉速逐漸降低。在坎貝爾圖中，后艉軸承剛度各向同性時，其正逆回旋曲線在零轉速（橫向振動）處重合；后艉軸承剛度各向異性時，其正逆回旋曲線在零轉速（橫向振動）處不重合。

（3）在一定軸承剛度下，軸系的振動響應位移大致從螺旋槳至推力軸承呈遞減趨勢。一般情況下，軸承某方向上的剛度越大，則該方向的振動響應位移越小。